1、2017年四川省名校联考高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合M=x|x2，则MN=（）ABx|1x2Cx|0x2Dx|1x22设双曲线（a0，b0）的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）ABy=2xCD3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（）A相交B平行C垂直D不能确定4函数f（x）=sinx（0），对任意实数x有，且，那么=（）AaBCDa5已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输
2、出的b值为16，则循环体的判断框内处应填（）A2B3C4D56已知函数f（x）图象如图，f（x）是f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（）A0f（2）f（3）f（3）f（2）B0f（3）f（2）f（3）f（2）C0f（3）f（3）f（2）f（2）D0f（3）f（2）f（2）f（3）7一个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为（）ABCD8若（1x）n=1+a1x+a2x2+a3x3+anxn（nN*），且a1：a3=1：7，则a5等于（）A35B35C56D569在ABC中，4sinA+3cosB=5，4cosA+3sinB=2，则角C等于（）A150或
3、30B120或60C30D6010在平面直角坐标系中，A（2，0），B（1，3），O为坐标原点，且=+（+=1），N（1，0），则|的最小值为（）ABCD11设，已知0abc，且f（a）f（b）f（c）0，若x0是函数f（x）的一个零点，则下列不等式不可能成立的是（）Ax0aB0x01Cbx0cDax0b12过点M（2，2p）引抛物线x2=2py（p0）的切线，切点分别为A，B，若，则p的值是（）A1或2B或2C1D2二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡上）13若复数z=（x22x3）+（x+1）i为纯虚数，则实数x的值为14某同学使用计算器求30个数据的平均数时，
4、错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是15在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=ex（x0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是16在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2a2b2c=0且a+2b2c+3=0则ABC中最大角的度数是三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17Sn为数列an的前n项和，已知Sn+1=Sn+1（是大于0的常数），且a1=1，a3=4（）求数列an的通项公式；（）设bn=nan，
5、求数列bn的前n项和18某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：周销售量234频数205030（1）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元），若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望19如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，ACBC，且AC=BC（）求证：AM平面EBC；（）求二面角AEBC的大小20已知：向量=（，0），O为坐标原点，动点M满足：|+|+|=4（1）求动点M的轨迹C的方程；（
6、2）已知直线l1，l2都过点B（0，1），且l1l2，l1，l2与轨迹C分别交于点D，E，试探究是否存在这样的直线使得BDE是等腰直角三角形若存在，指出这样的直线共有几组（无需求出直线的方程）；若不存在，请说明理由21已知函数（1）当a=1时，x01，e使不等式f（x0）m，求实数m的取值范围；（2）若在区间（1，+）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号22已知直线l：（t为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为=2cos（1）将曲线C的极坐标方
7、程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|MB|的值选做题23设不等式|x+1|+|x1|2的解集为M（）求集合M；（）若xM，|y|，|z|，求证：|x+2y3z|2017年四川省名校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合M=x|x2，则MN=（）ABx|1x2Cx|0x2Dx|1x2【考点】交集及其运算【分析】解不等式求出集合N，根据交集的定义写出MN【解答】解：集合M=x|x2，=x|x1，MN=x|1x2故选：B2设
8、双曲线（a0，b0）的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）ABy=2xCD【考点】双曲线的简单性质【分析】依题意可求得a，b，从而可求得该双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的虚轴长为2，焦距为，b=1，c=，a=，双曲线的渐近线方程为y=x=x=x，故选C3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（）A相交B平行C垂直D不能确定【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】由于CD平面B1BCC1，所以是平面B1BCC1的法向量，因此只需证明向量与垂直即可，而与和均垂直
9、，而和又可以作为一组基底表示向量，因此可以证明【解答】解：正方体棱长为a，A1M=AN=，=， =，=+=+=（+）+（+）=+又是平面B1BCC1的法向量，且=（+）=0，MN平面B1BCC1故选B4函数f（x）=sinx（0），对任意实数x有，且，那么=（）AaBCDa【考点】正弦函数的图象【分析】根据得出1是f（x）的周期，再根据f（x）=sinx是奇函数，由f（）求出的值【解答】解：函数f（x）=sinx（0）中，对任意实数x有，f（x）=f（x+1），1是f（x）的周期；又f（）=sin（）=a，=f（2+）=f（）=sin（）=sin（）=a故选：D5已知流程图如图所示，该程序运行
10、后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内处应填（）A2B3C4D5【考点】循环结构【分析】写出每次循环a，b的取值，根据退出循环的条件即可判定答案【解答】解：a=1，b=1第1次循环：b=2，a=2，继续执行循环；第2次循环：b=4，a=3，继续执行循环；第3次循环：b=16，a=4；所以，为使输出的b值为16，循环体的判断框内应填a3，即满足a3则执行循环，否则退出循环，输出b=16；故答案为：B6已知函数f（x）图象如图，f（x）是f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（）A0f（2）f（3）f（3）f（2）B0f（3）f（2）f（3）f（2）C0f（3）f（3）f（2）f（2）D0
11、f（3）f（2）f（2）f（3）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】由题意，作出f（3）、f（3）f（2）、f（2）所表示的几何意义，从而求解【解答】解：如下图：f（3）、f（3）f（2）、f（2）分别表示了直线n，m，l的斜率，故0f（3）f（3）f（2）f（2），故选：C7一个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，代入柱体体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，底面等边三角形的高为，故底面棱长为2
12、，故底面面积S=，高h=1，故体积V=Sh=，故选：D8若（1x）n=1+a1x+a2x2+a3x3+anxn（nN*），且a1：a3=1：7，则a5等于（）A35B35C56D56【考点】二项式定理的应用【分析】本题中由条件a1：a3=1：7通过组合数公式可以搭建n的方程，从而可求出n的值为8，然后即可求出a5【解答】解：由二项式定理可知a1=Cn1=n，a3=Cn3=，由a1：a3=1：7得， =，n=8，a5=C85=C83=56所以选择D9在ABC中，4sinA+3cosB=5，4cosA+3sinB=2，则角C等于（）A150或30B120或60C30D60【考点】三角函数中的恒等变
13、换应用【分析】利用同角函数的关系式求出A，B的关系，可得C的大小【解答】解：由4sinA+3cosB=5，可得：16sin2A+9cos2B+24sinAcosB=25，由4cosA+3sinB=2，可得：16cos2A+9sin2B+24sinBcosA=12，用+可得：25+24（sinAcosB+sinBcosA）=37，sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC，24sinC=12，sinC=，C=150或C=30当C=，即A+B=时，A，cosAcos（）=，4cosA，sinA0，4sinB0，4sinB+3cosA，与题中的4sinB+3cosA=2矛盾故选：
14、C10在平面直角坐标系中，A（2，0），B（1，3），O为坐标原点，且=+（+=1），N（1，0），则|的最小值为（）ABCD【考点】平面向量的基本定理及其意义；向量的模【分析】由题意知A，B，M共线，先求出直线AB的方程，再根据点到直线的距离公式，点N到直线的距离为d，即为|的最小值【解答】解：=+（+=1），A，B，M共线，A（2，0），B（1，3），直线AB的方程为xy+2=0，N（1，0），设点N到直线的距离为d，d=|的N的最小值为N到直线AB的距离，故选：B11设，已知0abc，且f（a）f（b）f（c）0，若x0是函数f（x）的一个零点，则下列不等式不可能成立的是（）Ax0aB0
15、x01Cbx0cDax0b【考点】函数零点的判定定理【分析】在R上是减函数，即f（a）、f（b）、f（c）中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；判断零点的位置即可【解答】解：，在R上是减函数，0abc，且f（a）f（b）f（c）0，f（a）、f（b）、f（c）中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：f（c）0，0f（b）f（a）；或f（a）f（b）f（c）0；由于实数x0 是函数y=f（x）的一个零点，当f（c）0，0f（b）f（a）时，bx0c，此时B、C成立；当f（a）f（b）f（c）0时，x0a，此时A成立；综上可得，D不可能成立；故选：D12过点M（2，2p）引抛物线x2=2
16、py（p0）的切线，切点分别为A，B，若，则p的值是（）A1或2B或2C1D2【考点】抛物线的简单性质【分析】求出直线MA，MB的方程，利用韦达定理，结合弦长公式，即可得出结论【解答】解：由题意设A（x1，y1），B（x2，y2）由x2=2py得y=，y=，因此直线MA的方程为y+2p=（x2），整理可得x124x14p2=0，同理，直线MB的方程为x224x24p2=0，所以x1，x2是方程x24x4p2=0的两根，因此x1+x2=4，x1x2=4p2，又kAB=由弦长公式得|AB|=|x1x2|=4，所以p=1或p=2，故选A二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡
17、上）13若复数z=（x22x3）+（x+1）i为纯虚数，则实数x的值为3【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由实部为0且虚部不为0列式求得x值【解答】解：z=（x22x3）+（x+1）i为纯虚数，解得：x=3故答案为：314某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是3【考点】众数、中位数、平均数【分析】在输入的过程中错将其中一个数据105输入为15少输入90，在计算过程中共有30个数，所以少输入的90对于每一个数来说少3，求出的平均数与实际平均数的差可以求出【解答】解：在输入的过程中错将其中一个数据105输入为15少输
18、入90，而 =3平均数少3，求出的平均数减去实际的平均数等于3故答案为：315在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=ex（x0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先设切点坐标为（m，em），然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=m处的导数，从而求出切线的斜率，求出切线方程，从而求出点M的纵坐标，同理可求出点N的纵坐标，将t用m表示出来，最后借助导数的方法求出函数的最大值即可【解答】解：设切点坐标为（m，em）该图象在点P处的切线l的方程为ye
19、m=em（xm）令x=0，解得y=（1m）em过点P作l的垂线的切线方程为yem=em（xm）令x=0，解得y=em+mem线段MN的中点的纵坐标为t= （2m）em+memt= em+（2m）em+emmem，令t=0解得：m=1当m（0，1）时，t0，当m（1，+）时，t0当m=1时t取最大值故答案为：16在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2a2b2c=0且a+2b2c+3=0则ABC中最大角的度数是120【考点】余弦定理【分析】根据条件可得b=，c=，显然cb，假设c=a，解得 a1或a3，刚好符合，故最大边为c，由余弦定理求得cosC 的值，即可得到C 的值【解
20、答】解：把a2a2b2c=0和a+2b2c+3=0联立可得，b=，c=，显然cb比较c与a的大小因为b=0，解得a3，（a1的情况很明显为负数舍弃了） 假设c=a，解得 a1或a3，刚好符合，所以ca，所以最大边为c由余弦定理可得 c2=a2+b22abcosC，即 （）2=a2+22acosC，解得cosC=，C=120，故答案为：120三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17Sn为数列an的前n项和，已知Sn+1=Sn+1（是大于0的常数），且a1=1，a3=4（）求数列an的通项公式；（）设bn=nan，求数列bn的前n项和【考点】数列递推式；数列
21、的求和【分析】（）由已知数列递推式可得当n2时，Sn=Sn1+1与原递推式作差可得an+1=an，即n2时验证a2=a1，可得数列an是等比数列结合已知求得值，则数列an的通项公式可求；（）把（）中求得的通项公式代入bn=nan，整理后利用错位相减法求数列bn的前n项和【解答】解：（）由Sn+1=Sn+1可知 当n2时，Sn=Sn1+1作差可得an+1=an，即n2时又a1=1，故a2=a1数列an是等比数列由于a3=a12=4，0，解得=2数an的通项公式为：；（）由，可知设数列bn前n项和为Tn，则，得： =2n1n2n18某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的
22、统计结果如下表所示：周销售量234频数205030（1）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元），若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布表【分析】（1）因为样本容量是100，根据表格可知周销售量为2吨，3吨和4吨的频数，根据所给的频数除以100，得到要求的频率（2）表示该种商品两周销售利润的和，且各周的销售量相互独立，根据表格得到变量的可能取值，对应变量的事件，根据相互独立事件同时发生的概率做出分布列和期望【解答】解：（1）
23、根据表格可知周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为=0.2， =0.5和=0.3（2）的可能值为8，10，12，14，16，且P（=8）=0.22=0.04，P（=10）=20.20.5=0.2，P（=12）=0.52+20.20.3=0.37，P（=14）=20.50.3=0.3，P（=16）=0.32=0.09的分布列为810121416P0.040.20.370.30.09E=80.04+100.2+120.37+140.3+160.09=12.4（千元）19如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，ACBC，且AC=BC（）求证：AM平面EBC；（）求二面角
24、AEBC的大小【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定【分析】几何法：（）由已知得AMEC，ACBC，由此能证明AM平面EBC（）过A作AHEB于H，连结HM，由已知得AHM是二面角AEBC的平面角，由此能求出二面角AEBC的大小向量法：（）以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立空间直角坐标系Axyz，利用向量法能证明AM平面EBC（2）求出平面EAB的法向量和平面EBC的法向量，利用向量法能求出二面角AEBC的大小【解答】（本小题满分12分）几何法：（）证明：四边形ACDE是正方形，AMEC，又平面ACDE平面ABC，ACBC，BC
25、平面EAC，BC平面EAC，BCAM，又ECBC=C，AM平面EBC（）解：过A作AHEB于H，连结HM，AM平面EBC，AMEB，EB平面AHM，AHM是二面角AEBC的平面角，平面ACDE平面ABC，EA平面ABC，EAAB，在RtEAB中，AHEB，有AEAB=EBAH，设EA=AC=BC=2a，得，AB=2a，EB=2a，=，sin=，AHM=60二面角AEBC等于60向量法：（）证明：四边形ACDE是正方形，EAAC，平面ACDE平面ABC，EA平面ABC，以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设EA=A
26、C=BC=2，则A（0，0，0），C（0，2，0），E（0，0，2），M是正方形ACDE的对角线的交点，M（0，1，1），=（0，1，1），=（0，2，2），AMEC，AMBC，又ECBC=C，AM平面EBC（2）设平面EAB的法向量为，则，取y=1，则x=1，则=（1，1，0），又为平面EBC的一个法向量，cos=，设二面角AEBC的平面角为，则cos=|cos|=，=60，二面角AEBC等于6020已知：向量=（，0），O为坐标原点，动点M满足：|+|+|=4（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）已知直线l1，l2都过点B（0，1），且l1l2，l1，l2与轨迹C分别交于点D，E，试探究是否
27、存在这样的直线使得BDE是等腰直角三角形若存在，指出这样的直线共有几组（无需求出直线的方程）；若不存在，请说明理由【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系【分析】（1）由：|+|+|=4， =（，0），知动点M的轨迹是以点（，0）为焦点、4为长轴长的椭圆，即可求动点M的轨迹C的方程；（2）设直线方程，求出D，E的坐标，利用BDE是等腰直角三角形，可得|BD|=|BE|，即=，从而可得结论【解答】解：（1）由：|+|+|=4， =（，0），知动点M的轨迹是以点（，0）为焦点、4为长轴长的椭圆，c=，a=2，b=1，所求的方程为=1（2）设BD：y=kx+1，代入上式得（1+4k2）x2+8kx=0
28、，x1=0，x2=xD，l1l2，以代k，得xE=BDE是等腰直角三角形，|BD|=|BE|，=，|k|（k2+4）=1+4k2，k0时变为k34k2+4k1=0，k=1或；k0时变为k3+4k2+4k1=0，k=1或使得BDE是等腰直角三角形的直线共有3组21已知函数（1）当a=1时，x01，e使不等式f（x0）m，求实数m的取值范围；（2）若在区间（1，+）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性【分析】（I）将a的值代入f（x），求出f（x）的导函数；，将x01，e使不等式f（x0）m
29、转化为f（x）的最小值小于等于m，利用1，e上的函数递增，求出f（x）的最小值，令最小值小于等于m即可（II）将图象的位置关系转化为不等式恒成立；通过构造函数，对新函数求导，对导函数的根与区间的关系进行讨论，求出新函数的最值，求出a的范围【解答】解：（I）当a=1时，可知当x1，e时f（x）为增函数，最小值为，要使x01，e使不等式f（x0）m，即f（x）的最小值小于等于m，故实数m的取值范围是（2）已知函数若在区间（1，+）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，等价于对任意x（1，+），f（x）2ax，即恒成立设即g（x）的最大值小于0.（1）当时，为减函数g（1）=a0a（2）a
30、1时，为增函数，g（x）无最大值，即最大值可无穷大，故此时不满足条件（3）当时，g（x）在上为减函数，在上为增函数，同样最大值可无穷大，不满足题意综上实数a的取值范围是请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号22已知直线l：（t为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为=2cos（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|MB|的值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）曲线的极坐标方程即2=2cos，根据极坐标和直角坐标
31、的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论【解答】解：（1）=2cos，2=2cos，x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（51）2+31=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|MB|=18选做题23设不等式|x+1|+|x1|2的解集为M（）求集合M；（）若xM，|y|，|z|，求证：|x+2y3z|【考点】二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法【分析】（）由条件利用绝对值的意义求得M（）由条件利用绝对值不等式的性质可证得不等式【解答】解：（）根据绝对值的意义，|x+1|+|x1|表示数轴上的x对应点到1、1对应点的距离之和，它的最小值为2，故不等式|x+1|+|x1|2的解集为M=1，1（）xM，|y|，|z|，|x+2y3z|x|+2|y|+3|z|1+2+3=，：|x+2y3z|成立2017年3月20日