1、2.5等比数列的前n项和(一)课时目标1掌握等比数列前n项和公式的推导方法2会用等比数列前n项和公式解决一些简单问题1等比数列前n项和公式：(1)公式：Sn.(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q1的情况2若an是等比数列，且公比q1，则前n项和Sn(1qn)A(qn1)其中A.3推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和一、选择题1设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则等于()A11 B5C8 D11答案D解析由8a2a50得8a1qa1q40，q2，则11.2记等比数列an的前n项和为Sn，若S32，S618，则等于()A3
2、B5C31 D33答案D解析由题意知公比q1，1q39，q2，1q512533.3设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则等于()A2 B4C. D.答案C解析方法一由等比数列的定义，S4a1a2a3a4a2a2qa2q2，得1qq2.方法二S4，a2a1q，.4设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a41，S37，则S5等于()A. B.C. D.答案B解析an是由正数组成的等比数列，且a2a41，设an的公比为q，则q0，且a1，即a31.S37，a1a2a317，即6q2q10.故q或q(舍去)，a14.S58(1).5在数列an中，an1can(c为非零常数)，且
3、前n项和为Sn3nk，则实数k的值为()A0 B1 C1 D2答案C解析当n1时，a1S13k，当n2时，anSnSn1(3nk)(3n1k)3n3n123n1.由题意知an为等比数列，所以a13k2，k1.6在等比数列an中，公比q是整数，a1a418，a2a312，则此数列的前8项和为()A514 B513 C512 D510答案D解析由a1a418和a2a312，得方程组，解得或.q为整数，q2，a12，S8292510.二、填空题7若an是等比数列，且前n项和为Sn3n1t，则t_.答案解析显然q1，此时应有SnA(qn1)，又Sn3nt，t.8设等比数列an的前n项和为Sn，若a11
4、，S64S3，则a4_.答案3解析S64S3q33(q31不合题意，舍去)a4a1q3133.9若等比数列an中，a11，an512，前n项和为Sn341，则n的值是_答案10解析Sn，341，q2，又ana1qn1，512(2)n1，n10.10如果数列an的前n项和Sn2an1，则此数列的通项公式an_.答案2n1解析当n1时，S12a11，a12a11，a11.当n2时，anSnSn1(2an1)(2an11)an2an1，an是等比数列，an2n1，nN*.三、解答题11在等比数列an中，a1an66，a3an2128，Sn126，求n和q.解a3an2a1an，a1an128，解方程
5、组得或将代入Sn，可得q，由ana1qn1可解得n6.将代入Sn，可得q2，由ana1qn1可解得n6.故n6，q或2.12求和：Snx2x23x3nxn (x0)解分x1和x1两种情况(1)当x1时，Sn123n.(2)当x1时，Snx2x23x3nxn，xSnx22x33x4(n1)xnnxn1，(1x)Snxx2x3xnnxn1nxn1.Sn.综上可得Sn.能力提升13已知Sn为等比数列an的前n项和，Sn54，S2n60，求S3n.解方法一由题意Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，6254(S3n60)，S3n.方法二由题意得a1，Sn54 S2n60 由得1qn，qn，S3n(
6、1).14已知数列an的前n项和Sn2n24.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnanlog2an，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由题意，Sn2n24，n2时，anSnSn12n22n12n1，当n1时，a1S12344，也适合上式，数列an的通项公式为an2n1，nN*.(2)bnanlog2an(n1)2n1，Tn222323424n2n(n1)2n1， 2Tn223324425n2n1(n1)2n2. 得，Tn232324252n1(n1)2n223(n1)2n22323(2n11)(n1)2n2(n1)2n2232n1(n1)2n22n2n2n2.1在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”2前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q1和q1时是不同的公式形式，不可忽略q1的情况3一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列且公比为q，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减的方法求和