1、3 平均值不等式第 1 课时 平均值不等式学习目标 1.理解并掌握平均值不等式的特征结构.2.了解平均值不等式的推广.3.会用平均值不等式解决相关问题知识点一 二元平均值不等式思考 回顾 a2b22ab 的证明过程，并说明等号成立的条件答案 a2b22ab(ab)20，即 a2b22ab，当且仅当 ab 时，a2b22ab.梳理(1)重要不等式定理 1：对任意实数 a，b，有 a2b22ab(当且仅当 ab 时取“”号)(2)二元平均值不等式定理 2：对任意两个正数 a，b，有ab2 ab(当且仅当 ab 时取“”号)定理 2 的应用：对两个正实数 x，y，()如果它们的和 S 是定值，则当且
2、仅当 xy 时，它们的积 P 取得最大值；()如果它们的积 P 是定值，则当且仅当 xy 时，它们的和 S 取得最小值知识点二 三元平均值不等式思考 类比二元平均值不等式：ab2 ab(a0，b0)，请写出 a，b，cR时，三元平均值不等式答案 abc33 abc.梳理(1)定理 3：对任意三个正数 a，b，c，有 a3b3c33abc(当且仅当 abc 时取“”号)(2)定理 4：对任意三个正数 a，b，c，有abc33 abc(当且仅当 abc 时取“”号)(3)平均值不等式的推广对于 n 个正数 a1，a2，an(n2)，把数值a1a2ann，n a1a2an分别称为这 n 个正数的算术
3、平均值与几何平均值，且有a1a2annn a1a2an，当且仅当 a1a2an 时取“”号.类型一 平均值不等式成立的条件例 1 给出以下说法：任意 x0，lg x 1lg x2；任意 xR，ax1ax2(a0 且 a1)；任意 x0，2，tan x 1tan x2；任意 xR，sin x 1sin x2.其中正确的是()ABCD答案 C解析 在中，lg xR，sin x1,1，不能确定 lg x0，sin x0，因此错误；在中，ax0，ax1ax2ax 1ax2，当且仅当 x0 时取等号，故正确；在中，当 x0，2 时，tan x0，有 tan x 1tan x2，当且仅当 x4时取等号，故
4、正确故选 C.反思与感悟 平均值不等式成立的条件(1)各项均为正数(2)当且仅当各项均相等时，“”才能成立跟踪训练 1 设 a，b 为实数，且 ab0，下列不等式中一定成立的个数是()baab2；ab2 ab；1a2 1b2 2ab；b2a a2b ab.A1B2C3D4答案 B解析 ab0，abba2abba2，成立；当 a，b0，b0 时，ab2 ab，bca acb 2bca acb 2c.同理bca abc 2bca abc 2b，acb abc 2acb abc 2a.将以上三不等式相加，得 2bca acb abc 2(abc)，bca acb abc abc，当且仅当 abc 时
5、，等号成立类型三 证明不等式的技巧“1”的代换例 3 已知 a，b，cR，且 abc1，求证：1a1b1c9.证明 方法一 a，b，c 为正实数，且 abc1，1a1b1cabcaabcbabcc3bacaabcbacbc3baab caac cbbc32229，当且仅当 abc13时，等号成立1a1b1c9.方法二 a，b，cR，且 abc1，1a1b1c(abc)1a1b1c 1bacaab1cbacbc13baab caac cbbc 32229，当且仅当 abc 时，等号成立1a1b1c9.引申探究1若本例条件不变，求证：a2b b2c c2a1.证明 a2b22ab，a2b 2ab.
6、同理，b2c 2bc，c2a2ca.a2b b2c c2a(2ab)(2bc)(2ca)abc1，a2b b2c c2a1，当且仅当 abc13时，等号成立2若本例条件不变，求证：a2b2c213.证明 a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，a2b2b2c2a2c22ab2bc2ac，即 2(a2b2c2)2ab2bc2ac，2(a2b2c2)a2b2c2a2b2c22ab2bc2ac(abc)21，a2b2c213，当且仅当 abc13时取等号3若本例条件不变，求证：a2b2 b2c2 c2a2 2.证明 a2b22ab，2(a2b2)(ab)2.又 a，b，cR，a2b2 22|
7、ab|22(ab)同理，b2c2 22(bc)，c2a2 22(ac)三式相加，得 a2b2 b2c2 c2a22(abc)2，当且仅当 abc13时取等号反思与感悟 用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明跟踪训练 3 已知 a，b，cR且 abc1，求证：1a1 1b1 1c1 8.证明 a，b，cR且 abc1，1a11aa bca 2 bca.同理1b12 acb，1c12 abc.由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘得1a1 1b1 1c1 2 bca2 acb2 abc8，当且仅当
8、abc13时取等号.1下列不等式中，正确的个数是()若 a，bR，则ab2 ab；若 xR，则 x221x222；若 xR，则 x211x212；若 a，bR，则 a b2 ab.A0B1C2D3答案 C解析 显然不正确；正确；对虽然 x221x22无解，但 x221x222 成立，故正确；不正确，如 a1，b4.2下列不等式的证明过程正确的是()A若 a，bR，则baab2baab2B若 x0，则 cos x 1cos x2cos x1cos x2C若 x0，则 x4x2x4x4D若 a，bR，且 ab0，则baabba ab2ba ab 2答案 D解析 对于 A，a，b 必须同号；对于 B
9、，cos x 不一定大于 0；对于 C，由 x0，得 x4xx 4x 2x4x4.对于 D，由 ab0，得ba0，ab0，所以baabba ab2ba ab 2.3若直线xayb1(a0，b0)过点(1,1)，则 ab 的最小值等于()A2B3C4D5答案 C解析 xayb1 过点(1,1)，1a1b1.ab(ab)1a1b 2baab224.当且仅当 ab2 时，等号成立4当 x1 时，函数 yx 1x1的最小值是_答案 3解析 因为 x1，所以 yx 1x1(x1)1x112x1 1x113，当且仅当 x1 1x1，且 x1，即 x2 时等号成立故函数的最小值为 3.5已知 a0，b0，且
10、 ab1，求证：a2b212.证明 a2b22ab，2(a2b2)a2b22ab(ab)21，a2b212，当且仅当 ab12时，等号成立1应用平均值不等式证明问题时，如果能熟练掌握一些常见结论，可使应用更加灵活快捷对于二元平均值不等式有以下结论(1)abab22a2b22.(2)ab ab2 a2b22(a，bR)(3)baab2(a，b 同号)(4)(ab)1a1b 4(a，bR)(5)a2b2c2abbcca.2对于三元平均值不等式有以下结论(1)abcabc33.(2)a3b3c33abc.(3)31a1b1c3 abc abc3a2b2c23.上式中 a，b，c 均为正数，等号成立的
11、条件均为 abc.一、选择题1设 a0，b0，若 3是 3a 与 3b 的等比中项，则1a1b的最小值为()A8B4C1D.14答案 B解析 3是 3a 与 3b 的等比中项，3a3b3ab3，ab1.1a1b1a1b(ab)2baab4.2“a1”是“对任意正数 x,2xax1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 当 a1 时，2xax2x1x2 2(当且仅当 x 22 时取等号)，所以 a12xax1(x0)反过来，对任意正数 x，如当 a2 时，2xax1 恒成立，所以 2xax1a1.3设 0a1,0b0，b0，且 ab4，则有()A.1
12、ab12B.ab2C.1a1b1D.1ab14答案 C解析 ab2 ab，ab2，B 错误；00，则下列不等式中恒成立的是()Aa2b22abBab2 abC.1a1b 2abD.baab2答案 D解析 当 ab 时，a2b22ab，选项 A 不恒成立；当 a0，bbc，则 abbc与ac2 的大小关系是_答案 abbcac2解析 abc，ab0，bc0，ac0，(ab)(bc)abbc22ac22，当且仅当 abbc 时取等号，abbcac2.9M3x3y2，N(3)x+y，P3xy，其中 0 xy，则 M，N，P 的大小关系为_答案 PNN，又 0 xy，P3xy 23x y(3)xyN，
13、PN0 时，有不等式：x1x2，x4x2x2x24x23，.受此启发，可以推广为 xaxnn1(nN)，则 a_.答案 nn解析 由题意有 xaxnxnxnxnaxn(n1)n1 xnnn axnn1，所以 ann.三、解答题11已知 x0，y0，求证：(1xy2)(1x2y)9xy.证明 由均值不等式，得1xy233 1xy2，1x2y33 1x2y，分别当且仅当 xy21，x2y1 时，“”成立因此(1xy2)(1x2y)93 x3y39xy，当且仅当 xy1 时，“”成立12已知 a1,0b1,0b1，logab0，logba0，logba 1logab0，(logab)1logab 2
14、logab 1logab 2，当且仅当 a1b时取等号，logablogba2.13设 a0，b0，ab1，求证：1a1b 1ab8.证明 a0，b0，ab1，2 abab1，ab12，1ab4，1a1b 1ab(ab)1a1b 1ab2 ab21ab48，当且仅当 ab12时取等号四、探究与拓展14已知 a，b，cR，且 abc1.求证：(1)a b c 3；(2)3a2 3b2 3c26.证明(1)ab2 ab，2 abab.同理 2 acac,2 bcbc，当且仅当 abc 时，等号同时成立(a b c)2abc2 ab2 ac2 bcabc(ab)(ac)(bc)3(abc)3，a b c 3，当且仅当 abc 时等号成立(2)3a2 3a213a32，且由于 3a21，等号不成立，3a23a32.同理 3b23b32，3c23c32，3a2 3b2 3c2123(abc)96.15设单位圆的内接三角形的面积为14，三边长分别为 a，b，c，且不全相等，求证：1a1b1c a b c.证明 三角形的面积 S12absin C14，csin C2，abc1，1a1b1cabca abcb abcc bcacabbcacacababbc2c aba bcb ac abc(a b c)a b c，当且仅当 abc 时取等号三边长 a，b，c 不全相等，1a1b1c a b c.