1、2015-2016学年山东省淄博市淄川一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1下面使用类比推理恰当的是（）A“若a3=b3，则a=b”类推出“若a0=b0，则a=b”B“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（ab）c=acbc”C“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+（c0）”D“（ab）n=anbn”类推出“（a+b）n=an+bn”2在ABC中，若sin2A+sin2Bsin2C，则ABC的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定3将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有
2、（）A81B64C12D144函数y=Asin（x+）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）Ay=2sin（2x+）By=2sin（2x+）Cy=2sin（）Dy=2sin（2x）5曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）ABCD6为得到函数y=cos（x+）的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位7如图，阴影部分的面积是（）A2B2CD8函数y=sin（2x+）图象的对称轴方程可能是（）Ax=Bx=Cx=Dx=9已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，xR，则f（x）是（）A最小正周期为的奇函
3、数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的偶函数10已知cos（）+sin=，则sin（+）的值是（）ABCD11设二项式的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则n=（）A4B5C6D8二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）12设随机变量N（4，2），且P（48）=0.3，则P（0）=13在复平面内，复数的共轭复数对应的点坐标为14若角的终边经过点P（1，2），则tan2的值为15若（x）6的展开式中常数项是60，则常数a的值为162009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为15的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的
4、平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和30，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为米三、解答题（本大题共6小题，满分75分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤）17已知函数（）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（）求函数f（x）在区间上的值域18设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值（）求a、b的值；（）若对任意的x0，3，都有f（x）c2成立，求c的取值范围19某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立根据该厂现有技术水平，经过
5、第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75，（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X，求随机变量X的分布列，均值和方差20在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：ccosB+bcosC=4acosA（）求cosA的值；（）若，求ABC的面积S的最小值21如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，ABC=60，PA=AC=a，PB=PD=，点E在PD上，且PE：ED=2：1（）证明PA平面ABCD；（）求以AC为棱，EAC与DA
6、C为面的二面角的大小；（）在棱PC上是否存在一点F，使BF平面AEC？证明你的结论22已知函数，g（x）=x+lnx，其中a0（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x21，e（e为自然对数的底数）都有f（x1）g（x2）成立，求实数a的取值范围2015-2016学年山东省淄博市淄川一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1下面使用类比推理恰当的是（）A“若a3=b3，则a=b”类推出“若a0=b0，则a=b”B“若（a+b）c=a
7、c+bc”类推出“（ab）c=acbc”C“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+（c0）”D“（ab）n=anbn”类推出“（a+b）n=an+bn”【考点】归纳推理【分析】判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程另外还要看这个推理过程是否符合实数的性质【解答】解：对于A：“若a3=b3，则a=b”类推出“若a0=b0，则a=b”是错误的，因为0乘任何数都等于0，对于B：“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（ab）c=acbc”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误，对于C：将乘法类推除法，即由“（a+b）c=ac+b
8、c”类推出“=+”是正确的，对于D：“（ab）n=anbn”类推出“（a+b）n=an+bn”是错误的，如（1+1）2=12+12故选C2在ABC中，若sin2A+sin2Bsin2C，则ABC的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定【考点】余弦定理的应用；三角形的形状判断【分析】由sin2A+sin2Bsin2C，结合正弦定理可得，a2+b2c2，由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围【解答】解：sin2A+sin2Bsin2C，由正弦定理可得，a2+b2c2由余弦定理可得cosC=ABC是钝角三角形故选C3将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（）A81B6
9、4C12D14【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】第一个小球有4众不同的方法，第二个小球也有4众不同的方法，第三个小球也有4众不同的放法，即每个小球都有4种可能的放法，根据分步乘法原理得到结果【解答】解：本题是一个分步计数问题对于第一个小球有4众不同的方法，第二个小球也有4众不同的方法，第三个小球也有4众不同的放法，即每个小球都有4种可能的放法，根据分步计数原理知共有即444=64故选B4函数y=Asin（x+）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）Ay=2sin（2x+）By=2sin（2x+）Cy=2sin（）Dy=2sin（2x）【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解
10、析式【分析】根据已知中函数y=Asin（x+）在一个周期内的图象经过（，2）和（，2），我们易分析出函数的最大值、最小值、周期，然后可以求出A，值后，即可得到函数y=Asin（x+）的解析式【解答】解：由已知可得函数y=Asin（x+）的图象经过（，2）点和（，2）则A=2，T=即=2则函数的解析式可化为y=2sin（2x+），将（，2）代入得+=+2k，kZ，即=+2k，kZ，当k=0时，=此时故选A5曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）ABCD【考点】导数的几何意义【分析】（1）首先利用导数的几何意义，求出曲线在P（x0，y0）处的切线斜率，进而得到切线方程；（2）利用切线方程与
11、坐标轴直线方程求出交点坐标（3）利用面积公式求出面积【解答】解：若y=x3+x，则y|x=1=2，即曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是（，0），（0，），围成的三角形面积为，故选A6为得到函数y=cos（x+）的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用诱导公式将y=cos（x+）转化为y=sin（x+），利用平移知识解决即可【解答】解：y=cos（x+）=cos（x）=sin（x）=sin（x+），要得到y=sin（x+）的图象，只需将函数y=sinx的图
12、象向左平移个长度单位，故选C7如图，阴影部分的面积是（）A2B2CD【考点】定积分在求面积中的应用【分析】利用定积分的几何意义表示出阴影部分的面积，然后计算【解答】解：由题意，结合图形，得到阴影部分的面积是=（3x）|=；故选C8函数y=sin（2x+）图象的对称轴方程可能是（）Ax=Bx=Cx=Dx=【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】令2x+=求出x的值，然后根据k的不同取值对选项进行验证即可【解答】解：令2x+=，x=（kZ）当k=0时为D选项，故选D9已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，xR，则f（x）是（）A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的奇函数C最小正
13、周期为的偶函数D最小正周期为的偶函数【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法【分析】用二倍角公式把二倍角变为一倍角，然后同底数幂相乘公式逆用，变为二倍角正弦的平方，再次逆用二倍角公式，得到能求周期和判断奇偶性的表示式，得到结论【解答】解：f（x）=（1+cos2x）sin2x=2cos2xsin2x=sin22x=，故选D10已知cos（）+sin=，则sin（+）的值是（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用【分析】从表现形式上看不出条件和结论之间的关系，在这种情况下只有把式子左边分解再合并，约分整理，得到和要求结论只差的角的三角函数，通过用诱导
14、公式，得出结论【解答】解：，故选C11设二项式的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则n=（）A4B5C6D8【考点】二项式系数的性质【分析】由二项式系数的性质可得S=2n，令x=1，可得其展开式的各项系数的和，即P=4n，结合题意，有4n+2n=272，解可得答案【解答】解：根据题意，对于二项式的展开式的所有二项式系数的和为S，则S=2n，令x=1，可得其展开式的各项系数的和，即P=4n，结合题意，有4n+2n=272，解可得，n=4，故选A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）12设随机变量N（4，2），且P（48）=0.3，则P（0）=0.2【
15、考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】随机变量服从正态分布，=4，由正态分布曲线关于x=4对称，所以P（0）=P（48），求解即可【解答】解：因为随机变量N（4，2），由正态分布曲线的对称性知P（0）=P（48）=0.2故答案为：0.213在复平面内，复数的共轭复数对应的点坐标为（1，3）【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： =1+3i，则其共轭复数为13i，故复数的共轭复数对应的点坐标为（1，3），故答案为：（1，3）14若角的终边经过点P（1，2），则tan2的值为【考点】二倍角的正切；任意角的三角函数的定义【分析】根
16、据角的终边经过点P（1，2），可先求出tan的值，进而由二倍角公式可得答案【解答】解：角的终边经过点P（1，2），故答案为：15若（x）6的展开式中常数项是60，则常数a的值为4【考点】二项式系数的性质【分析】根据二项式定理，可得（x）6展开式的通项，分析可得其展开式中的常数项为15a，结合题意有15a=60，解可得答案【解答】解：根据题意，（x）6展开式的通项为Tr+1=C6rx6r（）r=（1）rC6rx63r，令63r=0，可得r=2，当r=2时，T3=（1）2C62a=15a，又由题意，可得15a=60，则a=4故答案为：4162009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为15的观礼
17、台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和30，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为30米【考点】正弦定理的应用【分析】先根据题意画出简图构造三角形并确定边长和角度值，最后根据正弦定理可得答案【解答】解：设旗杆高为h米，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则在ABC中，CAB=45，ABC=105，所以ACB=30，由正弦定理得，故h=30故答案为：30三、解答题（本大题共6小题，满分75分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤）17已知函数（）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（）求函数f（x）在区间上
18、的值域【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性【分析】（1）先根据两角和与差的正弦和余弦公式将函数f（x）展开再整理，可将函数化简为y=Asin（wx+）的形式，根据T=可求出最小正周期，令，求出x的值即可得到对称轴方程（2）先根据x的范围求出2x的范围，再由正弦函数的单调性可求出最小值和最大值，进而得到函数f（x）在区间上的值域【解答】解：（1）=sin2x+（sinxcosx）（sinx+cosx）=周期T=由函数图象的对称轴方程为（2），因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，f（x）取最大值1，又，当时，f（x）取最小值，所以函数f（x）在区
19、间上的值域为18设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值（）求a、b的值；（）若对任意的x0，3，都有f（x）c2成立，求c的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）依题意有，f（1）=0，f（2）=0求解即可（2）若对任意的x0，3，都有f（x）c2成立f（x）maxc2在区间0，3上成立，根据导数求出函数在0，3上的最大值，进一步求c的取值范围【解答】解：（）f（x）=6x2+6ax+3b，因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f（1）=0，f（2）=0即解得a=3，b=4（）由（）可知，f（x）=2x39x
20、2+12x+8c，f（x）=6x218x+12=6（x1）（x2）当x（0，1）时，f（x）0；当x（1，2）时，f（x）0；当x（2，3）时，f（x）0所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c则当x0，3时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c因为对于任意的x0，3，有f（x）c2恒成立，所以9+8cc2，解得c1或c9，因此c的取值范围为（，1）（9，+）19某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙
21、三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75，（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X，求随机变量X的分布列，均值和方差【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1、A2、A3设E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则P（E）=P（A1A2A3）+P（A1A2A3）+P（A1A2A3），由此能求出第一次烧制后恰有一件产品合格的概率（2）分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格
22、为事件A、B、C，则P（A）=P（B）=P（C）=0.3，XB（3，0.3），由此能求出随机变量X的分布列，均值和方差【解答】解：（1）分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1、A2、A3设E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则P（E）=P（A1A2A3）+P（A1A2A3）+P（A1A2A3）=0.50.40.6+0.50.60.6+0.50.40.4=0.38（2）分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A、B、C，则P（A）=P（B）=P（C）=0.3，P（X=0）=（10.3）3=0.343，P（X=1）=3（10.3）20.3=0.441，P（X=2）=30.320.7=0.189
23、，P（X=3）=0.33=0.027X的分布列为： X 0 12 3 P 0.343 0.441 0.1890.027每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p=0.3，XB（3，0.3），E（X）=np=30.3=0.9D（X）=np（1p）=30.3（10.3）=0.6320在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：ccosB+bcosC=4acosA（）求cosA的值；（）若，求ABC的面积S的最小值【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算【分析】（）在ABC中，利用正弦定理、两角和差的正弦、余弦公式，求得cosA的值（）根据条件，利用两个向量的数量积的定义和基本不等式，求得A
24、BC的面积S的最小值【解答】解：（）在ABC中，由正弦定理得：sinCcosB+sinBcosC=4sinAcosAsin（B+C）=4sinAcosAsinA=4sinAcosA，sinA0，（） 因为，所以， bc64又，故，当且仅当b=c时，21如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，ABC=60，PA=AC=a，PB=PD=，点E在PD上，且PE：ED=2：1（）证明PA平面ABCD；（）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；（）在棱PC上是否存在一点F，使BF平面AEC？证明你的结论【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题【分析】
25、（I）证明PAAB，PAAD，AB、AD是平面ABCD内的两条相交直线，即可证明PA平面ABCD；（II）求以AC为棱，作EGPA交AD于G，作GHAC于H，连接EH，说明EHG即为二面角的平面角，解三角形求EAC与DAC为面的二面角的大小；（）证法一F是棱PC的中点，连接BM、BD，设BDAC=O，利用平面BFM平面AEC，证明使BF平面AEC证法二建立空间直角坐标系，求出、共面，BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF平面AEC还可以通过向量表示，和转化得到、是共面向量，BF平面ABC，从而BF平面AEC【解答】解：（）证明因为底面ABCD是菱形，ABC=60，所以AB=AD=AC=
26、a，在PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2知PAAB同理，PAAD，所以PA平面ABCD（）解：作EGPA交AD于G，由PA平面ABCD知EG平面ABCD作GHAC于H，连接EH，则EHAC，EHG即为二面角的平面角又PE：ED=2：1，所以从而，=30（）解法一以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图由题设条件，相关各点的坐标分别为.所以设点F是棱PC上的点，其中01，则=令得即解得即时，亦即，F是PC的中点时，、共面又BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF平面AEC解法二：当F是棱PC的中点时，BF平面AEC，证
27、明如下，证法一：取PE的中点M，连接FM，则FMCE由，知E是MD的中点连接BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点所以BMOE由、知，平面BFM平面AEC又BF平面BFM，所以BF平面AEC证法二：因为=所以、共面又BF平面ABC，从而BF平面AEC22已知函数，g（x）=x+lnx，其中a0（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x21，e（e为自然对数的底数）都有f（x1）g（x2）成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）通过、x=1是函数h（x）
28、的极值点及a0，可得，再检验即可；（2）通过分析已知条件等价于对任意的x1，x21，e都有f（x）ming（x）max结合当x1，e时及可知g（x）max=g（e）=e+1利用，且x1，e，a0，分0a1、1ae、ae三种情况讨论即可【解答】解：（1），g（x）=x+lnx，其定义域为（0，+），x=1是函数h（x）的极值点，h（1）=0，即3a2=0a0，经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，；（2）对任意的x1，x21，e都有f（x1）g（x2）成立等价于对任意的x1，x21，e都有f（x）ming（x）max当x1，e时，函数g（x）=x+lnx在1，e上是增函数g（x）max=g（e）=e+1，且x1，e，a0当0a1且x1，e时，函数在1，e上是增函数，由1+a2e+1，得a，又0a1，a不合题意；当1ae时，若1xa，则，若axe，则函数在1，a）上是减函数，在（a，e上是增函数f（x）min=f（a）=2a由2ae+1，得a，又1ae，ae；当ae且x1，e时，函数在1，e上是减函数由e+1，得a，又ae，ae；综上所述：a的取值范围为2016年8月16日
