1、课时素养评价 四十二事件的相互独立性 (15分钟30分)1.若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是()A.事件A与B互斥B.事件A与B对立C.事件A与B相互独立D.事件A与B既互斥又独立【解析】选C.因为P()=,所以P(A)=,又P(B)=,P(AB)=,所以有P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B相互独立但不一定互斥.2.如图,在两个圆盘中,指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A.B.C.D.【解析】选A.题图中左边圆盘指针落在奇数区域的概率为=,题图中右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为,所以两个指针同时落在奇数区域的
2、概率为=.【补偿训练】甲、乙两班各有36名同学,甲班有9名三好学生,乙班有6名三好学生,两班各派1名同学参加演讲活动,派出的恰好都是三好学生的概率是()A.B.C.D.【解析】选C.两班各自派出代表是相互独立事件,设事件A,B分别为甲班、乙班派出的是三好学生,则事件AB为两班派出的都是三好学生,则P(AB)=P(A)P(B)=.3.已知A,B是相互独立事件,若P(A)=0.2,P(AB+B+A)=0.44,则P(B)等于()A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6【解析】选A.因为A,B是相互独立事件,所以,B和A,均相互独立.因为P(A)=0.2,P(AB+B+A)=0.44,所以P(A)P
3、(B)+P()P(B)+P(A)P()=0.44,所以0.2P(B)+0.8P(B)+0.21-P(B)=0.44,解得P(B)=0.3.【补偿训练】已知A,B是两个相互独立事件,P(A),P(B)分别表示它们发生的概率,则1-P(A)P(B)是下列哪个事件的概率()A.事件A,B同时发生B.事件A,B至少有一个发生C.事件A,B至多有一个发生D.事件A,B都不发生【解析】选C.P(A)P(B)是指A,B同时发生的概率,1-P(A)P(B)是A,B不同时发生的概率,即至多有一个发生的概率.4.已知P(A)=0.3,P(B)=0.5,当事件A,B相互独立时,P(AB)=.【解析】因为A,B相互独
4、立,所以P(AB)=P(A)P(B),所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.3+0.5-0.30.5=0.65.答案:0.655.甲袋中有8个白球、4个红球,乙袋中有6个白球、6个红球,从每袋中任取一球,则取到相同颜色的球的概率是.【解析】由题意知P=+=.答案:【补偿训练】荷花池中,有只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一叶跳到另一叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示.假设现在青蛙在A叶上,则跳三次之后停在A叶上的概率是.【解析】青蛙跳三次要回到A叶只有两条途径.第一条:按ABCA,P1=;第二条:按ACBA,P2=,所以
5、跳三次之后停在A叶上的概率为P=P1+P2=+=.答案:6.一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令A=一个家庭中既有男孩又有女孩,B=一个家庭中最多有一个女孩.对下述两种情形,讨论A与B的独立性:(1)家庭中有两个小孩.(2)家庭中有三个小孩.【解析】(1)有两个小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形为=(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),它有4个基本事件,由等可能性知概率都为.这时A=(男,女),(女,男),B=(男,男),(男,女),(女,男),AB=(男,女),(女,男),于是P(A)=,P(B)=,P(AB)=.由此可知,P(AB)P(A)P(B),所以事件A,
6、B不相互独立.(2)有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为=(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(男,女,女),(女,男,男),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女).由等可能性知这8个基本事件的概率均为,这时A中含有6个基本事件,B中含有4个基本事件,AB中含有3个基本事件.于是P(A)=,P(B)=,P(AB)=,显然有P(AB)=P(A)P(B)成立.从而事件A与B是相互独立的. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是()A.
7、B.C.D.【解析】选D.由P(A)=P(B),得P(A)P()=P(B)P(),即P(A)=P(B),又P()=,则P()=P()=.所以P(A)=.2.从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,则等于()A.2个球不都是红球的概率B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率D.2个球中恰有1个红球的概率【解析】选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A,B,则P(A)=,P(B)=,由于A,B相互独立,所以1-P()P()=1-=.根据互斥事件可知C正确.3.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军,乙队需要再赢两局才能得到
8、冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为()A.B.C.D.【解析】选D.设Ai(i=1,2)表示继续比赛时,甲在第i局获胜,B事件表示甲队获得冠军.方法一:B=A1+A2,故P(B)=P(A1)+P()P(A2)=+=.方法二:P(B)=1-P()=1-P()P()=1-=.4.一个电路如图所示,A,B,C,D,E,F为6个开关,其闭合的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率是()A.B.C.D.【解析】选B.设A与B中至少有一个不闭合的事件为T,E与F中至少有一个不闭合的事件为R,则P(T)=P(R)=1-=,所以灯亮的概率P=1-P(T)P(R)P(C)P(D)=.【补偿训练
9、】某种开关在电路中闭合的概率为p,现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示),若该电路为通路的概率为,则p=()A.B.C.D.【解析】选B.因为该电路为通路的概率为,所以该电路为不通路的概率为1-,只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路,所以1-=(1-p)4,解得p=或p=(舍去).二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A是“第一枚为正面”,事件B是“第二枚为正面”,事件C是“两枚结果相同”,则下列事件具有相互独立性的是()A.A与BB.A与CC.B与CD.都不具有独立性【解题指南】根据事件相互独立
10、的定义判断,只要P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)成立即可.【解析】选ABC.易知P(A)=0.5,P(B)=0.5,P(C)=0.5,P(AB)=0.25,P(AC)=0.25,P(BC)=0.25.可以验证P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C).所以根据事件相互独立的定义,事件A与B相互独立,事件B与C相互独立,事件A与C相互独立.6.某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券.奖券上有一个兑奖号码,可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.如果两次兑奖活动的中奖概率都是
11、0.05,则两次抽奖中()A.都抽到某一指定号码的概率为0.05B.都没有抽到某一指定号码的概率为0.95C.恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095D.至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.097 5【解析】选CD.记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A,“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B,则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.由于两次抽奖结果互不影响,因此A与B相互独立.于是由独立性可得,两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P(AB)=P(A)P(B)=0.050.05=0.002 5.同理“两次抽奖都没有抽到某一指定号码”的概率P()=P()P()=0.950.95=0.90
12、2 5;“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A)(B)表示.由于事件A与B互斥,根据概率加法公式和相互独立事件的定义,所求的概率为P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.05(1-0.05)+(1-0.05)0.05=0.095;“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可用(AB)(A)(B)表示.由于事件AB,A和B两两互斥,据概率加法公式和相互独立事件的定义,所求的概率为P(AB)+P(A)+P(B)=0.002 5+0.095=0.097 5.三、填空题(每小题5分,共10分)7.事件A,B,C相互独立,如果P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,则P(B)=,P(
13、B)=.【解析】由题意可得解得P(A)=,P(B)=,P(C)=,所以P(B)=P()P(B)=.答案:8.水平相当的四人打麻将,彼此之间互不影响,也不受上局胜败的影响,甲连和4局的概率为,乙4局均不和的概率为.【解析】由题意,每局每人和牌的概率为,且相互独立,故甲连和4局的概率为=;每局每人不和牌的概率都是,且相互独立,故乙4局均不和的概率为=.答案:四、解答题(每小题10分,共20分)9.据大地保险公司统计,某地车主购买车损险的概率为0.5,购买第三者人身安全险的概率为0.6,购买两种保险相互独立,各车主间相互独立.(1)求一位车主同时购买车损险与第三者人身安全险保险的概率.(2)求一位车
14、主购买第三者人身安全险但不购买车损险的概率.【解析】记A表示事件“购买车损险”,B表示事件“购买第三者人身安全险”,则由题意,得A与B,A与,与B,与都是相互独立事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.6.(1)记C表示事件“同时购买两种保险”,则C=AB,所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.50.6=0.3.(2)记D表示事件“购买第三者人身安全险但不购买车损险”,则D=B,所以P(D)=P(B)=P()P(B)=(1-0.5)0.6=0.3.10.A,B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验,每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效,若
15、在一个试验组中,服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为.(1)求一个试验组为甲类组的概率.(2)观察3个试验组,求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.【解析】(1)设Ai表示事件“一个试验组中,服用A有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2.Bi表示事件“一个试验组中,服用B有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2.据题意有:P(A0)=,P(A1)=2=,P(A2)=,P(B0)=,P(B1)=2=.所求概率为P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)=+=.(2)所求概率P=1-=. 1.同学甲参加某科普知识竞赛,
16、需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5,且各题答对与否相互之间没有影响,则同学甲得分不低于300分的概率是.【解析】设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=0.8,P(A2)=0.6,P(A3)=0.5,且A1,A2,A3相互独立,同学甲得分不低于300分对应于事件(A1A2A3)(A1A3)(A2A3)发生,故所求概率为P=P(A1A2A3)(A1A3)(A2A3)=P(A1A2A3)+P(A1A3)+P(A2A3)=P(A1)P
17、(A2)P(A3)+P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3)=0.80.60.5+0.80.40.5+0.20.60.5=0.46.答案:0.462.四人打麻将,老张最后手中牌除了一张6筒和一张一万外,其他都已成牌,他下一张牌会摸到是4筒或5筒.如果听坎5筒和牌的概率是20%,听4,7筒和牌的概率是40%.请计算老张这手牌和牌的概率.(手牌中已有6筒,如果再摸到4筒,此时听牌叫听坎5筒.手牌中有6筒,如果再摸到5筒,此时听牌叫听4,7筒.“筒”即“饼”,“坎”即顺子牌中间的一张.)【解析】有两种情况:(1)手中的牌有50%的概率摸到4筒,则打出一万,听坎5筒,有20%的概率和牌.摸到4筒与听坎5筒和牌相互独立,故和牌概率为:0.50.2=0.1.(2)手中牌有50%的概率摸到5筒,则打出一万,听4,7筒,有40%的概率和牌.摸到5筒与听4,7筒和牌相互独立,故和牌概率为:0.50.4=0.2.以上两种情况互斥,故老张这手牌和牌的概率为0.1+0.2=0.3.