1、山东省淄博市沂源县第二中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.在等差数列an中，a1+a23，a5+a67，则a9+a10（）A8B9C10D112.设函数f（x）x，则（）A0B1C2D13.已知等比数列an的前n项和为Sn，且满足a12，S4S3，则数列an的前4项和为（）ABCD4.明代数学家程大位编著的算法统宗是中国数学史上的一座丰碑其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该
2、塔正中间一层的灯的盏数为（）A3B12C24D485.若曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线过点（1，0），则函数f（x）的单调递减区间为（）A（，0）B（0，+）C（，1）（1，0）D（，1），（1，0）6.已知正项等比数列an中a99a7，若存在两项am、an，使，则的最小值为（）A5BCD7.如图是函数yf（x）的导函数yf（x）的图象，给出下列命题：3是函数yf（x）的极值点；1是函数yf（x）的最小值点；yf（x）在x0处切线的斜率小于零；yf（x）在区间（3，1）上单调递增则正确命题的序号是（）ABCD8.若对于任意的0x1x2a，都有，则a的最大值为（）A2eBeC1D二、多选
3、题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的；错选或多选不得分。9.设数列an是等差数列，Sn是其前n项和，a10且S6S9，则（）Ad0Ba80CS7或S8为Sn的最大值DS5S610.设点P是曲线yexx+上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围包含下列哪些（）A）B，）C0，）D0，），）11.下列说法中正确的是（）A若数列an前n项和Sn满足，则an2n1B在等差数列an中，满足a120，S10S16，则其前n项和Sn中S13最大C在等差数列an中，满足a53，则数列an的前9项和为定值D若tanx2，则12.已知f（x）为函
4、数f（x）的导函数，f（x）3x2+6x+b，且f（0）0，若g（x）f（x）2xlnx，求使得g（x）0恒成立b的值可能为（）A2ln2Bln2C0Dln2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.等差数列an的前n项和为Sn，且S104S5100，则an的通项公式为14.已知函数f（x）f（3）x2+5x，则f（1）15.曲线f（x）sinxcos2x在点（，f（）处的切线方程为16.定义maxa，b且f（x）2e，g（x），令h（x）maxf（x），g（x），则h（x）的极大值为四、解答题（本大题共6小题，共70分请在答题卡指定区域
5、内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在等比数列an中（1）已知a113，q2，求a6；（2）已知a320，a6160，求Sn18.设函数（）讨论f（x）的单调性；（）求f（x）在区间2，2的最大值和最小值19.已知函数f（x）x（a+1）lnx（aR）（）当a2时，求f（x）的极值；（）若0a1，求f（x）的单调区间20.在等比数列an中，a10，nN*，且a3a28，又a1、a5的等比中项为16（1）求数列an的通项公式；（2）设，数列bn的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得对任意nN*恒成立？若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由21.设数列an（nN+
6、）的前n项和为Sn，已知Sn2ana1，且a1，a2+2，a3成等差数列，（1）求数列an的通项公式；（2）记数列的前n项和为Tn，求使得成立的n的最小值；（3）若数列bn满足，求数列bn的前n项和Rn22.已知函数f1（x）ax2+bx+c，f2（x）ex（1）当a，b1，c0时，设f（x）mf2（x）f1（x），且函数f（x）在R上单调递增求实数m的取值范围；设h（x）（x23m）f2（x），当实数m取最小值时，求函数h（x）的极小值（2）当a0，b1，c1时，证明：函数g（x）f2（x）f1（x）有两个零点 高二阶段性测试数学试题参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
7、在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.【答案】D【分析】根据等差数列的性质可得：（a1+a2）+（a9+a10）2（a5+a6），即可求出【解答】解：（a1+a2）+（a9+a10）2（a5+a6），则a9+a1027311，故选：D【知识点】等差数列的性质2.【答案】B【分析】根据题意，由导数的定义可得f（1），求出f（x）的导数，求出f（1）的值，即可得答案【解答】解：根据题意，f（1），又由f（x）x，则f（x）1，则有f（1）1，则有1；故选：B【知识点】导数及其几何意义、变化的快慢与变化率3. 【答案】A【分析】根据题意，设等比数列an的公比为q，分析可得a4，由等
8、比数列的通项公式可得q的值，进而由等比数列的前n项和公式计算可得答案【解答】解：根据题意，设等比数列an的公比为q，若a12，S4S3，即a4，则q3，则q，故数列an的前4项和S4，故选：A4. 【答案】C【分析】根据题意，设从塔顶到塔底，每一层灯的盏数组成数列an，由等比数列的定义可得数列an是公比为2的等比数列，由等比数列的前n项和可得S7127a1381，解可得a1的值，由等比数列的通项公式计算可得答案【解答】解：根据题意，设从塔顶到塔底，每一层灯的盏数组成数列an，则数列an是公比为2的等比数列，又由“共灯三百八十一”，则有S7127a1381，解可得a13，则中间层的灯盏数a4a1
9、q324，故选：C【知识点】等比数列的前n项和5. 【答案】D【分析】先利用导数求出函数在（1，f（1）处的切线方程，然后将点（1，0）代入切线方程，即可求出a的值，最后利用导数的符号大于零即可求解【解答】解：由题意得，所以k，且f（1）故函数f（x）在（1，f（1）处的切线为：，将点（1，0）代入得a1则，由f（x）0得x0且x1故f（x）的单调递减区间为（，1），（1，0）故选：D6.【答案】A【分析】由已知结合等比数列的性质及通项公式可求m+n，然后结合基本不等式即可求解【解答】解：因为正项等比数列an中a99a7，所以q29，即q3，若存在两项am、an，使，则27a12，所以m+n5
10、，m0，n0，mn），则（）5，当且仅当且n+m5即m1，n4时取等号，故选：A【知识点】等比数列的通项公式7. 【答案】D【分析】根据导函数的图象得到导函数的符号，根据导函数的符号判断出函数单调性，根据函数的单调性求出函数的极值及最值，判断出的对错根据函数在切点的导数为切线的斜率，判断出的对错【解答】解：由导函数yf（x）的图象知f（x）在（，3）单调递减，（3，+）单调递增所以3是函数yf（x）的极小值点，即最小值点故对不对0，（3，+）又在（3，+）单调递增f（0）0故错f（x）在（3，+）单调递增yf（x）在区间（3，1）上单调递增故对故选：D【知识点】利用导数研究函数的单调性、函数在
11、某点取得极值的条件8. 【答案】C【分析】整理所给的不等式，构造新函数，结合导函数研究函数的单调性即可求得最终结果【解答】解：，据此可得函数f（x）在定义域（0，a）上单调递增，其导函数：f（x）0在（0，a）上恒成立，据此可得：0x1，即实数a的最大值为1故选：C【知识点】利用导数研究函数的单调性二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的；错选或多选不得分。9. 【答案】BC【分析】由a10且S6S9，利用求和公式可得：a80，d0即可判断出结论【解答】解：a10且S6S9，6a1+d9a1+d，化为：a1+7d0，可得a80，d0S
12、7或S8为Sn的最大值，S5S6故选：BC【知识点】等差数列的性质、等差数列的前n项和10.【答案】CD【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由指数函数的值域，可得斜率的范围，由正切函数的图象和性质，可得倾斜角的范围【解答】解：yexx+的导数为yex，由ex0，可得切线的斜率k，由tan，可得0或，则C，D正确，故选：CD11. 【答案】BCD【分析】直接利用数列的通项公式的求法和等差数列的性质和三角函数的定义判定A、B、C、D的结论【解答】解：对于A：数列an前n项和Sn满足，当n1时，解得a12，当n2时，所以anSnSn12n1，故，故A错误对于B：等差数列an中，满足a120，S1
13、0S16，所以：a11+a12+a13+a14+a15+a160，则a13+a140，由于a10，所以d0，故a130，a140，所以其前n项和Sn中S13最大，故项B正确对于C：等差数列an中，满足a53，则数列an的前9项和为定值，故C正确；对于D：若tanx2，当x为第一象限角时：则，则；当x为第三象限角时，则，故D正确；故选：BCD【知识点】等差数列的性质12. 【答案】BCD【分析】求出函数f（x）的解析式，从而求出g（x）的解析式，问题转化为b2lnxx23x，设（x）2lnxx23x（x（0，+），根据函数的单调性求出b的范围即可【解答】解：f（x）3x2+6x+b，可设f（x）
14、x3+3x2+bc+c，又f（0）0，故c0，从而f（x）x3+3x2+bx，g（x）f（x）2xlnxx3+3x2+bx2xlnx，则g（x）的定义域是（0，+），则g（x）0可化为x2+3x+b2lnx0，即b2lnxx23x，设（x）2lnxx23x（x（0，+），则（x）2x3，令（x）0，解得：0x，令（x）0，解得：x，故（x）在（0，）递增，在（，+）递减，故当x时，（x）取得最大值（）2ln2，要使g（x）0恒成立，则b2ln2即可，故选：BCD【知识点】利用导数研究函数的最值三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.等差
15、数列an的前n项和为Sn，且S104S5100，则an的通项公式为【答案】an=2n-1【分析】设公差为d，可得，解得即可【解答】解：设公差为d，由S104S5100，可得，解得a11，d2，故an2n1，故答案为：an2n1【知识点】等差数列的前n项和14.已知函数f（x）f（3）x2+5x，则f（1）【答案】3【分析】根据题意，求出函数的导数，再x3可得f（3）6f（3）+5，解可得f（3）的值，即可得f（x）2x+5，将x1代入计算可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）f（3）x2+5x，则f（x）2f（3）x+5，令x3可得：f（3）6f（3）+5，解可得f（3）1，则f（x）2x
16、+5，故f（x）3；故答案为：3【知识点】导数的运算15.曲线f（x）sinxcos2x在点（，f（）处的切线方程为【分析】求得f（x）的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求得切点，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程【解答】解：f（x）sinxcos2x的导数为f（x）cosxcos2x2sinxsin2x，可得在点（，f（）处的切线斜率为kf（）coscos2sinsin，又f（）sincos0，可得切线的方程为y（x），即为4x+2y0故答案为：4x+2y0【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程16.定义maxa，b且f（x）2e，g（x），令h（x）maxf（x），g（x），则h
17、（x）的极大值为【分析】对g（x）求导，分析g（x）的正负，g（x）的单调性，作出h（x）maxf（x），g（x）的大致图象如下：h（x）的单调递增区间为，e【解答】解：因为g（x）（x0），所以g（x），令g（x）0，则xe，当0xe时，g（x）0，g（x）单调递增，当xe时，g（x）0，g（x）单调递减，所以g（x）极大值g（e），由f（x）g（x），即x2e，得x，作出h（x）maxf（x），g（x）的大致图象如下：则h（x）极大值g（e），且在（0，），（e，+）上单调递减，在，e上单调递增，则h（x）的单调递增区间为，e故答案为：，e【知识点】利用导数研究函数的极值四、解答题（本大题
18、共6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在等比数列an中（1）已知a113，q2，求a6；（2）已知a320，a6160，求Sn【分析】（1）直接利用等比数列的通项公式，代入可求；（2）结合等比数列的通项公式可求q，a1，代入等比数列的求和公式可求【解答】解：在等比数列an中（1）a113，q2，13（2）5416；（2）a320，a6160，解可得q2，a15Sn52n518.设函数（）讨论f（x）的单调性；（）求f（x）在区间2，2的最大值和最小值【分析】（）求导，令导函数大于0即可得到增区间，令导函数小于0即可得到减区间；（）列表直接可
19、求得最值【解答】解：（）f（x）x2+3x+2（x+1）（x+2），令f（x）0解得x2或x1；令f（x）0解得2x1，故函数f（x）在（，2），（1，+）上单调递增，在（2，1）上单调递减；（）由（）可得x，f（x），f（x）的变化情况，x2（2，1）1（1，2） 2f（x） 00+f（x）减极小值增故函数f（x）在区间2，2上的最大值为，最小值为19.已知函数f（x）x（a+1）lnx（aR）（）当a2时，求f（x）的极值；（）若0a1，求f（x）的单调区间【分析】（）根据题意可得f（x）x3lnx，求导数，令f（x）0得x1或x2，列表格分析当x变化时，f（x），f（x）的变化情况，进而
20、得出f（x）的极大值，极小值（）求导得（x），分两种情况当a1时，当0a1时讨论函数f（x）的单调区间【解答】解：（）因为当a2时，f（x）x3lnx所以f（x）（x0），由f（x）0得x1或x2当x变化时，f（x），f（x）的变化情况列表如下：x（0，1） 1（1，2） 2（2，+）f（x）+ 0 0+f（x）单调递增1单调递减 13ln2单调递增所以当x1时，f（x）取极大值1；当x2时，f（x）取极小值13ln2（）f（x），当a1时，x（0，+），f（x）0，f（x）单调递增当0a1时，x（a，1），f（x）0，f（x）单调递减，x（0，a）或x（1，+），f（x）0，f（x）单调递增
21、，综上所述，当a1时，f（x）递增区间为（0，+）；当0a1时，f（x）递减区间为（a，1）；f（x）的递增区间为（0，a）和（1，+）20.在等比数列an中，a10，nN*，且a3a28，又a1、a5的等比中项为16（1）求数列an的通项公式；（2）设，数列bn的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得对任意nN*恒成立？若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由【分析】（1）设数列an的公比为q，由题意可得，故a316，由a3a28，得a28，由此能求出数列an的通项公式（2）由，得，由此能求出正整数k的最小值【解答】解：（1）设数列an的公比为q，由题意可得，故a316，a3a28
22、，a28，q2，（2），正整数k的最小值为221.设数列an（nN+）的前n项和为Sn，已知Sn2ana1，且a1，a2+2，a3成等差数列，（1）求数列an的通项公式；（2）记数列的前n项和为Tn，求使得成立的n的最小值；（3）若数列bn满足，求数列bn的前n项和Rn【分析】（1）由Sn2ana1，通过，得到an2an1，数列an是公比为2的等比数列，然后求解数列的通项公式（2）利用等比数列求和公式求解Tn，然后利用，求解满足条件的n的最小值是9（3）化简利用裂项消项法求解数列的和即可【解答】解：（1）由Sn2ana1得：当n2时，an2an1，即，所以数列an是公比为2的等比数列，又因为a
23、1，a2+2，a3成等差数列，所以2（a2+2）a1+a3，2（2a1+2）a1+4a1，解得：a14，数列an的通项公式是：（2）因为，所以Tn，由得：，即2n+11000，n+19，n8，nN+，所以满足条件的n的最小值是9（3）Rn22.已知函数f1（x）ax2+bx+c，f2（x）ex（1）当a，b1，c0时，设f（x）mf2（x）f1（x），且函数f（x）在R上单调递增求实数m的取值范围；设h（x）（x23m）f2（x），当实数m取最小值时，求函数h（x）的极小值（2）当a0，b1，c1时，证明：函数g（x）f2（x）f1（x）有两个零点【分析】（1）求导得到f（x）mexx10恒成
24、立，即m在R上恒成立，设（x），求函数的最大值得到答案h（x）（x23）ex求导得到函数单调性，得到极小值由可知，m1，则h（x）（x23）ex求导数，得到极值点，分析单调性，进而求出h（x）的极小值（2）根据题意得，函数g（x）exbx1（b1），求导数，分析单调性，得到g（x）ming（lnb）bblnb1（b1），令p（b）bblnb1（b1），通过求导数，分析单调性，得到g（x）ming（lnb）0，g（b）ebb21（b1），求导数分析单调性，得当b1时，0lnbb，所以由零点存在性定理知，存在lnbx1b，使得g（x1）0又g（0）0，所以g（x）由两个零点【解答】解：（1）f（x
25、）mexx，得f（x）mexx1，由题意知f（x）0在R上恒成立，m在R上恒成立令（x），则m（x）max，（x），令（x）0，得x0，令（x）0得x0，（x）在（，0）上单调递增，在（0，+）单调递减，（x）max（0）1m1，即实数m的取值范围是1，+）当实数m取最小值时，m1，h（x）（x23）exh（x）2xex+（x23）ex（x2+2x3）ex，令h（x）0，解得x1或x3当x3或x1时，h（x）0当3x1时，h（x）0h（x）在（，3）上单调递增，在（3，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，当x1时，h（x）取得极小值，极小值为2e（2）当a0，c1时，函数g（x）exbx1
26、（b1），g（x）exb令g（x）0，解得xlnb，当xlnb时，g（x）0，g（x）在（，lnb）上单调递减，当xlnb时，g（x）0，g（x）在（lnb，+）上单调递增，g（x）ming（lnb）bblnb1（b1）令p（b）bblnb1（b1），则p（b）1lnb1lnb0，p（b）在（1，+）上单调递减，p（b）0，即g（x）ming（lnb）0，g（b）ebb21（b1）令r（b）ebb21（b1），则r（b）eb2b，令t（b）eb2b（b1），则t（b）eb2，因为b1，t（b）eb20，r（b）eb2b在（1，+）上单调递增，r（b）0r（b）在（1，+）上单调递增，所以r（b）0，即g（b）0又当b1时，0lnbb所以由零点存在性定理知，存在lnbx1b，使得g（x1）0又g（0）0，g（x）有两个零点