1、2017年上海中学高考数学模拟试卷（8）一、填空题1已知集合A=x|x2=1，B=x|ax=1，若BA，则a的值为 2原命题是“已知a，b，c，d是实数，若a=b，c=d，则a+c=b+d”，则它的逆否命题是 3已知f（x+1）=（x1）2（x1），则f1（x+1）= 4抛物线y=x22xsin+1的顶点在椭圆x2+my2=1上，这样的抛物线有且只有两条，则m的取值范围是 5已知函数f（x）=loga（2ax）在（0，1）上是增函数，则a的取值范围是 6已知的夹角 7已知实数，这三个数从小到大排列为 8函数的值域为 9设f（x）=，则f（5）+f（4）+f（0）+f（5）+f（6）的值为 10
2、有8本书，其中3本相同，其余各不相同，若有人来借书，每本书被借到的概率相同，则借得4本书中有相同书的概率为 11已知ABC中，三边长a，b，c满足a2a2b2c=0，a+2b2c+3=0，则这个三角形最大角的大小为 12如果一个四面体的三个面是直角三角形，下列三角形：（1）直角三角形；（2）锐角三角形；（3）钝角三角形；（4）等腰三角形；（5）等腰直角三角形那么可能成为这个四面体的第四个面是 （填上你认为正确的序号）二、选择题13设A，B两点的坐标分别为（1，0），（1，0）条件甲：A、B、C三点构成以C为钝角的三角形；条件乙：点C的坐标是方程x2+2y2=1（y0）的解，则甲是乙的（）A充分
3、不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件14在直二面角l中，A，B，A，B都不在l上，AB与所成角为x，AB与所成角为y，AB与l所成角为z，则cos2x+cos2y+sin2z的值为（）AB2C3D15方程所对应的曲线图形是（）ABCD16已知椭圆+=1，过右焦点F作不垂直于x轴的弦交椭圆于A，B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，则|NF|：|AB|等于（）ABCD三、解答题17已知函数（a0）（1）求f（x）的单调增区间；（2）当x0，时，f（x）值域为3，4，求a，b的值18已知n为自然数，实数a1，解关于x的不等式19斜三棱柱ABCA1B1C1，已知侧面BB1C1C与
4、底面ABC垂直且BCA=90，B1BC=60，BC=BB1=2，若二面角AB1BC为30（1）求AB1与平面BB1C1C所成角的正切值；（2）在平面AA1B1B内找一点P，使三棱锥PBB1C为正三棱锥，并求P到平面BB1C距离20如图，铁路线上AC段长99km，工厂B到铁路的距离BC为20km，现在要在AC上某一点D处，向B修一条公路，已知铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比为（01），为了使从A到B的运费最省，D应选在离C距离多远处21已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，焦距是实轴长的倍且过点（4，）（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为
5、直径的圆上；（3）在（2）条件下，若M F2交双曲线另一点N，求F1MN的面积22已知等差数列bn的前n项和为Tn，且T4=4，b5=6（1）求数列bn的通项公式；（2）若正整数n1，n2，nt，满足5n1n2nt，且b3，b5，成等比数列，求数列nt的通项公式（t是正整数）；（3）给出命题：在公比不等于1的等比数列an中，前n项和为Sn，若am，am+2，am+1成等差数列，则Sm，Sm+2，Sm+1也成等差数列试判断此命题的真假，并证明你的结论2017年上海中学高考数学模拟试卷（8）参考答案与试题解析一、填空题1已知集合A=x|x2=1，B=x|ax=1，若BA，则a的值为0，1，1【考点
6、】18：集合的包含关系判断及应用【分析】由x2=1，解得x，可得A=1，1由BA，可得B=，或B=1，1即可得出【解答】解：由x2=1，解得x=1，A=1，1BA，B=，或B=1，1a=0时，B=若B=1，则a=1若B=1，则a（1）=1，解得a=1综上可得：0，1，1故答案为：0，1，12原命题是“已知a，b，c，d是实数，若a=b，c=d，则a+c=b+d”，则它的逆否命题是“已知a，b，c，d是实数，若a+cb+d，则ab或cd”【考点】21：四种命题【分析】根据原命题是“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，写出即可【解答】解：原命题是“已知a，b，c，d是实数，若a=b，c=d，则
7、a+c=b+d”，则它的逆否命题是“已知a，b，c，d是实数，若a+cb+d，则ab或cd”故答案为：“已知a，b，c，d是实数，若a+cb+d，则ab或cd”3已知f（x+1）=（x1）2（x1），则f1（x+1）=（x1）【考点】4R：反函数【分析】先根据f（x+1）的解析式求出函数f（x）的解析式，然后求出其反函数，最后将x+1代入可求出所求【解答】解：f（x+1）=（x1）2（x1），f（x）=（x2）2（x2），f1（x）=2，（x0）f1（x+1）=（x1）故答案为：（x1）4抛物线y=x22xsin+1的顶点在椭圆x2+my2=1上，这样的抛物线有且只有两条，则m的取值范围是（0
8、，1）【考点】KF：圆锥曲线的共同特征【分析】根据题意求出抛物线的顶点坐标，再代入椭圆的方程，即可得到cos2=0或cos2=，又因为对应的sin有2个不同的值，所以看到cos2=无解，进而得到答案【解答】解：由题意可得：抛物线y=x22xsin+1的顶点坐标为：（sin，cos2），因为抛物线y=x22xsin+1的顶点在椭圆x2+my2=1上，所以将顶点代入椭圆方程可得：sin2+mcos4=1，即mcos4=cos2，解得：cos2=0或cos2=，因为这样的抛物线有且只有两条，所以对应的sin有2个不同的值，所以cos2=无解，即0m1故答案为：（0，1）5已知函数f（x）=loga（
9、2ax）在（0，1）上是增函数，则a的取值范围是0.5，1）【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点【分析】由题意可得 0a1，且y=2ax在（0，1）上恒正，故有0a1，且 2a10，由此求出a的取值范围【解答】解：由于y=2ax在（0，1）上是减函数，函数f（x）=loga（2ax）在（0，1）上是增函数，故0a1，且y=2ax在（0，1）上恒正故0a1，且 2a10，解得 0.5a1故答案为：0.5，1）6已知的夹角90【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角【分析】先进行的运算，结果为0，因此夹角为直角问题获解【解答】解：， =0，夹角为，故答案为：907已知实数，这三个数从小到大排列为a
10、bc【考点】4M：对数值大小的比较【分析】由已知中实数，根据方程的根与函数零点的关系，我们可以用图象法判断a，b，c的位置，在同一坐标系中画出函数及的图象，借助图象的直观性即可得到这三个数从小到大排列次序【解答】解：实数，故a为函数图象交点的横坐标；b为函数图象交点的横坐标；c为函数图象交点的横坐标；在同一坐标系中画出上述函数的图象如下图所示：由图可知abc故答案为：abc8函数的值域为，【考点】34：函数的值域【分析】先根据条件求出x的范围，再令x2=cos，利用三角换元法结合三角函数的值域即可求出结论【解答】解：x2+4x3=（x2）2+101x3令x2=cos 且0，=，表示两点（3，3
11、）和（cos，sin）的斜率，如图，最小为，最大为直线与半圆相切，为故答案为：，9设f（x）=，则f（5）+f（4）+f（0）+f（5）+f（6）的值为【考点】3K：函数奇偶性的判断；3L：函数奇偶性的性质【分析】此题数值较多，探究其形式发现，此十二个数的自变量可分为六组，每组的自变量的和为1，故解题思路寻求到即验证自变量的和为1时，两数的函数值的和是多少【解答】解：令x+y=1，则f（x）+f（y）=+=+=+=+=（1+）=故f（5）+f（4）+f（0）+f（5）+f（6）=6=3故应填310有8本书，其中3本相同，其余各不相同，若有人来借书，每本书被借到的概率相同，则借得4本书中有相同书
12、的概率为【考点】C7：等可能事件的概率【分析】由于所有的借书方法有C84 种，借来的4本书中有相同书的借法有 C32C52+C33C51，从而可得借得4本书中有相同书的概率【解答】解：所有的借书方法有C84=70 种，借来的4本书中有相同书的借法有 C32C52+C33C51=30+5=35种，故借得4本书中有相同书的概率为=故答案为：11已知ABC中，三边长a，b，c满足a2a2b2c=0，a+2b2c+3=0，则这个三角形最大角的大小为120【考点】HS：余弦定理的应用【分析】根据条件可得b=，c=，显然cb，假设c=a，解得 a1或a3，刚好符合，故最大边为c，由余弦定理求得cosC 的
13、值，即可得到C 的值【解答】解：把a2a2b2c=0和a+2b2c+3=0联立可得，b=，c=，显然cb比较c与a的大小因为b=0，解得a3，（a1的情况很明显为负数舍弃了） 假设c=a，解得 a1或a3，刚好符合，所以ca，所以最大边为c由余弦定理可得 c2=a2+b22abcosC，即=2acosC，解得cosC=，C=120，故答案为：12012如果一个四面体的三个面是直角三角形，下列三角形：（1）直角三角形；（2）锐角三角形；（3）钝角三角形；（4）等腰三角形；（5）等腰直角三角形那么可能成为这个四面体的第四个面是（1）（2）（4）（5）（填上你认为正确的序号）【考点】L3：棱锥的结构
14、特征【分析】如果一个四面体的三个面是直角三角形，第四面可能是直角三角形，也可能是锐角三角形，也可能是等腰三角形，还可能是等腰直角三角形，但是不能是钝角三角形【解答】解：如果一个四面体的三个面是直角三角形，第四面可能是直角三角形，也可能是锐角三角形，也可能是等腰三角形，还可能是等腰直角三角形，但是不能是钝角三角形故答案为：（1）（2）（4）（5）二、选择题13设A，B两点的坐标分别为（1，0），（1，0）条件甲：A、B、C三点构成以C为钝角的三角形；条件乙：点C的坐标是方程x2+2y2=1（y0）的解，则甲是乙的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【考点】2L：必
15、要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】条件甲：A、B、C三点构成以C为钝角的三角形，其对应的图形是单位圆内的部分，条件乙：点C的坐标是方程x2+2y2=1（y0）的解，点C所对应的图形是椭圆，得条件乙能推出条件甲，反之不成立【解答】解：设C（x，y），条件甲：A、B、C三点构成以C为钝角的三角形，0（x+1，y）（x1，y）0x2+y21其对应的图形是单位圆内的部分，条件乙：点C的坐标是方程x2+2y2=1（y0）的解，点C所对应的图形是椭圆，得条件乙能推出条件甲，反之不成立，则甲是乙的必要也不充分条件，故选B14在直二面角l中，A，B，A，B都不在l上，AB与所成角为x，AB与所成角为y，
16、AB与l所成角为z，则cos2x+cos2y+sin2z的值为（）AB2C3D【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题【分析】根据题意，先分别作出AB与所成角为x，AB与所成角为y，AB与l所成角为z，再利用三角函数求解即可【解答】解：过A、B分别作ACl于C，BDl于D，过B作直线平行于l，过C作直线平行于BD，两直线交于E，连接AD、AC、AE因一l一为直二面角，BD在上，l=，BDl，故BD同理AC又BAD、ABC分别为AB与、所成的角，有BAD=x，ABC=y又ECBD，ECl，AC，有AEl，AEBE，EBA=zcos2x+cos2y+sin2z=2故选B15方程所对应的曲线图形是
17、（）ABCD【考点】KE：曲线与方程【分析】利用三角换元，将方程化简，可知轨迹是四分之一圆【解答】解：由题意，令x=cos，（0，），则方程可化为：两边平方，并化简得y=sin方程所对应的曲线图形是D故选D16已知椭圆+=1，过右焦点F作不垂直于x轴的弦交椭圆于A，B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，则|NF|：|AB|等于（）ABCD【考点】K5：椭圆的应用【分析】本题适合于特值法不妨取直线的斜率为1由此推导出|NF|：|AB|的值【解答】解：取直线的斜率为1右焦点F（2，0）直线AB的方程为y=x2联立方程组，把y=x2代入整理得14x236x9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
18、则，AB中点坐标为（），则AB的中垂线方程为，令y=0，得，点N的坐标（）|NF|=，|AB|=，|NF|：|AB|=，故选B三、解答题17已知函数（a0）（1）求f（x）的单调增区间；（2）当x0，时，f（x）值域为3，4，求a，b的值【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象【分析】（1）降次化简，结合三角函数的图象及性质即可求出f（x）的单调增区间；（2）当x0，时，求出f（x）值域，即可得a，b的值【解答】解：函数（a0）化简可得：f（x）=asinx+acosx+b+a=sin（x+）+a+b令，kZ可得：xf（x）的单调增区间为，kZ（2）当x0，时，可得：，当x
19、+=时，函数f（x）取得最大值为当x+=时，函数f（x）取得最小值为由题意，可得：，解得：故得当x0，时，f（x）值域为3，4，此时a的值为，b的值为318已知n为自然数，实数a1，解关于x的不等式【考点】4H：对数的运算性质；4I：换底公式的应用；7E：其他不等式的解法【分析】利用对数换底公式，原不等式左端化简，对n是偶数，奇数分类解不等式，即可【解答】解：利用对数换底公式，原不等式左端化为logax4+12+n（2）n1=12+4+（2）n1logax=logax故原不等式可化为logaxloga（x2a）当n为奇数时，0，不等式等价于logaxloga（x2a）因为a1，式等价于因为0，
20、=，所以，不等式的解集为x|x当n为偶数时，0，不等式等价于logaxloga（x2a）因为a1，式等价于或因为，所以，不等式的解集为x|x综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是x|；当n为偶数时，原不等式的解集是x|19斜三棱柱ABCA1B1C1，已知侧面BB1C1C与底面ABC垂直且BCA=90，B1BC=60，BC=BB1=2，若二面角AB1BC为30（1）求AB1与平面BB1C1C所成角的正切值；（2）在平面AA1B1B内找一点P，使三棱锥PBB1C为正三棱锥，并求P到平面BB1C距离【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题【分析】（1）由侧面BB1C1C与底面ABC垂直且BCA=9
21、0知AC平面BB1C1C，则有AB1C为AB1与平面BB1C1C所成的角，连接B1C，则AB1C为AB1与平面BB1C1C所成的角，在RtACB1中可求得tanAB1C（2）在AD上取点P，使AP=2PD，则P点为所求，在CD上取点O，使CO=2OD，连PO，则易知三棱锥PBB1C为正三棱锥，故可求【解答】解：（1）由侧面BB1C1C与底面ABC垂直且BCA=90知AC平面BB1C1C取BB1的中点D，AC平面BB1C1CACBB1BB1平面ADCADBB1CDA为二面角ABB1C的平面角，CDA=30，CD=，AC=1连接B1C，则AB1C为AB1与平面BB1C1C所成的角，在RtACB1中
22、tanAB1C=，（2）在AD上取点P，使AP=2PD，则P点为所求，在CD上取点O，使CO=2OD，连PO，则POAC，且PO=，AO平面BB1C，PO平面BB1C 且 BB1C为等边三角形，三棱锥PBB1C为正三棱锥，且P到平面BB1C的距离为PO，PO=20如图，铁路线上AC段长99km，工厂B到铁路的距离BC为20km，现在要在AC上某一点D处，向B修一条公路，已知铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比为（01），为了使从A到B的运费最省，D应选在离C距离多远处【考点】5D：函数模型的选择与应用【分析】设BDC=，总运费为T，铁路和公路每公里的运费分别为和1，则可构建函数，利用导数法可求
23、最小值【解答】解：设BDC=，总运费为T，铁路和公路每公里的运费分别为和1则T=99T=由导数为0得，cos=且cos（0，）时单调减，cos（，+） 时单调增cos=时，T取极小值，且为最小值此时DC=km21已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，焦距是实轴长的倍且过点（4，）（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；（3）在（2）条件下，若M F2交双曲线另一点N，求F1MN的面积【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；KC：双曲线的简单性质【分析】（1）求出离心率e，故可等轴设双曲线的方程为x2y2=（2），过点（4，），可得1
24、610=，即可求双曲线方程；（2）求出向量坐标，利用向量的数量积公式，即可证明结论（3）利用M与F2可得直线方程，求出N的纵坐标，然后求解三角形的面积【解答】解：（1）焦距是实轴长的倍，e=，故可等轴设双曲线的方程为x2y2=（2），过点（4，），1610=，=6双曲线方程为x2y2=6（2）证明：由（1）可知：在双曲线中，a=b=，c=2F1（2，0），F2（2，0）=（23，m），=（23，m）=+m2=3+m2M点在双曲线上，9m2=6，m2=3=0点M在以F1F2为直径的圆上；（3）由（2）不妨M（3，），F2（2，0），直线M F2的方程为：y=（2）（x2），代入双曲线方程可得：消
25、去x可得：（64）y24（2）y+6=0，因为M的纵坐标为，所以N的纵坐标为：y2，解得y2=（2+），F1MN的面积为： =12+422已知等差数列bn的前n项和为Tn，且T4=4，b5=6（1）求数列bn的通项公式；（2）若正整数n1，n2，nt，满足5n1n2nt，且b3，b5，成等比数列，求数列nt的通项公式（t是正整数）；（3）给出命题：在公比不等于1的等比数列an中，前n项和为Sn，若am，am+2，am+1成等差数列，则Sm，Sm+2，Sm+1也成等差数列试判断此命题的真假，并证明你的结论【考点】8M：等差数列与等比数列的综合【分析】（1）本题是对数列的基本量的考查，根据通项公式
26、、前n项和公式公式，算出公差和首项，写出通项公式（2）根据等比数列中前两项求出公比，写出通项=b53t=23t+1 ，又是bn中的第nt项，又可表示成bnt=2nt4根据这两式的相等性写出nt的通项（3）由am，am+2，am+1成等差数列，求出公比q=再利用等差数列定义判断Sm，Sm+2，Sm+1是否成等差数列【解答】解：（1）由已知，d=2，b1=2，bn=b1+（n1）d=2n4（2）b3=2，且b3，b5，成等比数列，所以公比q=3，所以bnt=b53t=23t+1，tN*又bnt=2nt4，所以2nt4=23t+1，所以nt=3t+1+2，tN* （3）此命题为真命题若am，am+2，am+1成等差数列，即a1q m1+a1qm=2a1q m+1，移向化简整理得qm1（2q2q1）=0，q=，Sm+2Sm=a m+1+a m+2=a m+2 （+1）=a m+2Sm+1Sm+2=a m+2Sm，Sm+2，Sm+1也成等差数列2017年7月8日