1、五组合数的综合应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A,B,C三个班级中,要求每个班级至少分到一人,则甲被分到A班的分法种数为()A.6B.12C.24D.36【解析】选B.甲和另一个人一起分到A班有=6种分法,甲一个人分到A班的方法有:=6种分法,共有12种分法.【发散拓】解答排列、组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手.(1)“分析”就是找出题目的条件、结论,哪些是“对象”,哪些是“位置”.(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合,对某些对象的位置有、无限制等.(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的对象分成互相排斥的几类,然
2、后逐类解决.(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤,而每一步都是简单的排列、组合问题,然后逐步解决.2.某密码锁共设四个数位,每个数位的数字都可以是1,2,3,4中的任一个.现密码破译者得知:甲所设的四个数字有且仅有三个相同;乙所设的四个数字有两个相同,另两个也相同;丙所设的四个数字有且仅有两个相同;丁所设的四个数字互不相同.则上述四人所设密码最安全的是()A.甲B.乙C.丙D.丁【解析】选C.甲共有=48种不同设法,乙共有=36,丙共有=144,丁共有=24,所以丙最安全. 3.设集合A=(x1,x2,x3,x4,x5)|xi-1,0,1,i=1,2,3,4,5,那么集合A中满足条件
3、“1|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|3”的元素个数为()A.60B.90C.120D.130【解题指南】题设条件1|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|3意味着x1,x2,x3,x4,x5有4个,3个,2个元素为0.【解析】选D.集合A中元素为有序数组(x1,x2,x3,x4,x5),题中要求有序数组的5个数中仅1个数为1、仅2个数为1或仅3个数为1,所以共有2+22+222=130个不同数组.4.在同一个袋子中含有不同标号的红、黑两种颜色的小球共有8粒,从红球中选取2粒,从黑球中选取1粒,共有30种不同的选法,其中黑球至多有()A.2粒B.4粒C.3粒D.5粒【解析
4、】选C.设黑球有x粒,则红球有(8-x)粒,则=30,由于0xq时有ipiq,则称ip和iq是该数组的一个“好序”,一个数组中“好序”的个数称为此数组的“好序数”,例如,数组(1,3,4,2)中有好序“1,3”,“1,4”,“1,2”,“3,4”,其“好序数”等于4.若各数互不相等的正整数组(a1,a2,a3,a4,a5,a6)的“好序数”等于2,求(a6,a5,a4,a3,a2,a1)的“好序数”.【解题指南】对应于含有n个数字的数组中,首先做出任取两个数字时可以组成的数对,减去逆序的个数,得到结果.【解析】因为各数互不相等的正整数组(a1,a2,a3,a4,a5,a6)的“好序数”等于2,
5、(a6,a5,a4,a3,a2,a1)中任取两个的组合有=15个,所以(a6,a5,a4,a3,a2,a1)的“好序数”是15-2=13.8.有8名男生和5名女生,从中任选6人.(1)有多少种不同的选法?(2)其中有3名女生,有多少种不同的选法?(3)其中至多有3名女生,有多少种不同的选法?(4)其中有2名女生,4名男生,分别负责6种不同的工作,共有多少种不同的分工方法?(5)其中既有男生又有女生,有多少种不同的选法?【解析】(1)适合题意的选法有=1 716种.(2)第1步,选出女生,有种;第2步,选出男生,有种.由分步乘法计数原理知,适合题意的选法有=560种.(3)至多有3名女生包括:没
6、有女生,1名女生,2名女生,3名女生四类情况.第1类没有女生,有种;第2类1名女生,有种;第3类2名女生,有种;第4类3名女生,有种.由分类加法计数原理知,适合题意的选法共有+=1 568种.(4)第1步,选出适合题意的6人,有种;第2步,给这6人安排6种不同的工作,有种.由分步乘法计数原理知,适合题意的分工方法共有=504 000种.(5)用间接法,排除掉全是男生的情况和全是女生的情况即是符合题意的选法.而由题意知不可能6人全是女生,所以只需排除全是男生的情况,所以有-=1 716-28=1 688种选法.(15分钟30分)1.(5分)在200件产品中有3件次品,现从中任意抽取5件,其中至少
7、有2件次品的抽法有()A.种B.种C.种D.种【解析】选D.根据题意,“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况,“有2件次品”的抽取方法有种,“有3件次品”的抽取方法有种,则共有+种不同的抽取方法,故选D.【加练固】用黄、蓝、白三种颜色粉刷6间办公室,一种颜色粉刷3间,一种颜色粉刷2间,一种颜色粉刷1间,则粉刷这6间办公室,不同的安排方法有()A.B.C.D.【解析】选C.选固定一种粉刷方法,如黄色粉刷3间,蓝色粉刷2间,白色粉刷1间.则有种,三种颜色互换有种方法,由分步乘法计数原理知,不同的方案有种.2.(5分)中国足球超级联赛的计分规则是:胜一场得3分,平一场得1分,
8、负一场得0分.某赛季甲球队打完15场比赛后,球队积分是30分,则该队胜、负、平的情况共有()A.3种B.4种C.5种D.6种【解题指南】首先该球队胜x场、平y场、负z场,则x,y,z是非负整数,根据题意可得方程组然后根据取值范围,结合x,y,z是非负整数即可求得结论.【解析】选A.设该球队胜x场、平y场、负z场,则x,y,z是非负整数,且满足由得y=3,代入得z=2x-15,又因为0y15,0z15,所以所以7.5x10,因为x,y,z是非负整数,所以x的值为8,9,10,当x=8时,y=6,z=1;当x=9时,y=3,z=3;当x=10时,y=0,z=5;所以比赛结果是:胜8场、平6场、负1
9、场,胜9场、平3场、负3场,或是胜10场、平0场、负5场,故共有3种情况.3.(5分)(2020日照高二检测)为做好社区新冠肺炎疫情防控工作,需将六名志愿者分配到甲、乙、丙、丁四个小区开展工作,其中甲小区至少分配两名志愿者,其他三个小区至少分配一名志愿者,则不同的分配方案共有_种.(用数字作答)【解析】若甲小区分配3人,甲小区有种情况,剩下的3个小区有种情况,此时有=120种分配方法,若甲小区分配2人,甲小区有种情况,剩下的3个小区有种情况,此时有=540种分配方法,则有120+540=660种不同的分配方法.答案:6604.(5分)工人在安装一个正六边形零件时,需要固定如图所示的六个位置的螺
10、丝,首先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上的(距离它最远的,下同)螺丝,再随意拧第三个螺丝,第四个也拧它对角线上的螺丝,第五个和第六个以此类推,则不同的固定方式有_种.【解析】先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上的,有种方法,再随意拧第三个螺丝和其对角线上的,有种方法,然后随意拧第五个螺丝和其对角线上的,有种方法,所以总共的固定方式有=48种.答案:485.(10分)有五张卡片,它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?【解析】依0与1两个特殊值分析,可分三类:(1)取0不取1,可先从另四张卡片中选一张作百位,有种
11、方法;0可在后两位,有种方法;最后需从剩下的三张中任取一张,有种方法;又除含0的那张外,其他两张都有正面或反面两种可能,故此时可得不同的三位数有22个.(2)取1不取0,同上分析可得不同的三位数有22个.(3)0和1都不取,有不同三位数23个.综上所述,不同的三位数共有22+22+23=432(个).1.集合S=1,2,3,20的4元子集T=a1,a2,a3,a4中,任意两个元素的差的绝对值都不为1,这样的4元子集的个数为_个.【解题指南】不妨设a1a2a3a4,有a2-a12,a3-a22,a4-a32,a1,a2-1,a3-2,a4-3相当于从1,2,3,4,17中任意选出4个,所有的取法
12、共有,运算求得结果.【解析】不妨设a1a2a3a4,由于任意两个元素的差的绝对值都不为1,故有a2-a12,a3-a22,a4-a32,将a2,a3,a4分别减去1,2,3,这时a1,a2-1,a3-2,a4-3相当于从1,2,3,4,17中任意选出4个,所有的取法共有=2 380种不同的取法.答案:2 3802.(2020广州高二检测)如图,从左到右有5个空格.(1)若向这5个格子中填入0,1,2,3,4五个数,要求每个数都要用到,且第三个格子不能填0,则一共有多少不同的填法?(2)若给这5个空格涂上颜色,要求相邻格子不同色,现有红黄蓝3种颜色可供使用,问一共有多少种不同的涂法?(3)若向这
13、5个格子中放入7个不同的小球,要求每个格子里都有球,问有多少种不同的放法? 【解题指南】(1)根据题意,分2步进行分析:分析0;将其余的4个数字全排列,安排在其他四个格子中,由分步乘法计数原理计算可得答案;(2)根据题意,依次分析5个格子的涂色方法数目,由分步乘法计数原理计算可得答案;(3)根据题意,分2步进行分析:将7个小球分成5组,有2种分法,分组时,注意平均分组问题;将分好的5组全排列,对应5个空格,由分步乘法计数原理计算可得答案.【解析】(1)根据题意,分2步进行分析:第三个格子不能填0,则0有4种选法;将其余的4个数字全排列,安排在其他四个格子中,有种情况,则一共有4=96种不同的填法.(2)根据题意,第一个格子有3种颜色可选,即有3种情况,第二个格子与第一个格子的颜色不能相同,有2种颜色可选,即有2种情况,同理可得:第三、四、五个格子都有2种情况,则五个格子共有32222=48种不同的涂法.(3)根据题意,分2步进行分析:将7个小球分成5组,有2种分法:若分成2,2,1,1,1的5组,有种分组方法,若分成3,1,1,1,1的5组,有种分组方法,则共有种分组方法,将分好的5组全排列,对应5个空格,有种情况,则一共有=16 800种放法.