1、天津南开中学2023届第二次月考试卷一、单选题1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则数据的中位数估计值为（ ）A. 64B. 65C. 64.5D. 664. 函数图像大致为（ ）A. B. C. D. 5. 三个数a0.42，blog20.3，c20.6之间的大小关系是（ ）A. acbB. abcC. bacD. bca6. 已知曲线在点处切线的倾斜角为，则（ ）A. B. C. D. 17. 将函数图象先向右平移个单位长度，再
2、把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的值为（ ）A. B. C. D. 8. 已知是等差数列的前项和，公差，若成等比数列，则的最小值为A B. 2C. D. 9. 设函数若方程有四个不同的实根，则的取值范围是若方程有四个不同的实根，则的取值范围是若方程有四个不同的实根，则的取值范围是方程的不同实根的个数只能是1，2，3，6四个结论中，正确的结论个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题10. 已知复数，则_.11. 展开式中的常数项是_ (用数字作答)12. 已知各项都为正的等差数列an中，若a2a3a415，a12，a34，a616成等比
3、数列，则a10_.13. 甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则_.14. 若正数，满足，则的最小值为_.15. 如图，在梯形中，且，为的中点，与交于点若，则的余弦值为_三、解答题16. 在中，角，的对边分别为，且.（1）求；（2）如图，若为外一点，且，求.并求.17. 如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若为棱上一点，满足，
4、求二面角的余弦值18. 已知等差数列为递增数列，为数列的前项和，.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求前项和.19. 记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且.（1）求的通项公式，并证明数列是等比数列；（2）若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.（3）求证：对于任意正整数，.20. 已知函数.（1）若，求的单调区间和极值；（2）若为的两个不同的极值点，且，求的取值范围；（3）对于任意实数，不等式恒成立，求的取值范围.天津南开中学2023届第二次月考试卷一、单选题1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【详解】由题设可得，故，故选：B.2. 已知，则“”是“”的（ ）A.
5、 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【详解】因为，即，又是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3. 已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则数据的中位数估计值为（ ）A. 64B. 65C. 64.5D. 66【详解】解：因为，所以中位数位于之间，设中位数为，则，解得，即中位数为.故选：B4. 函数图像大致为（ ）A. B. C. D. 【详解】由于，是奇函数，图像关于原点对称，排除A，令，得，函数有无数个零点，排除D.当，排除C.故选：B.5. 三个数a0.42，blog20.3，c20.6之间的大小关系是（ ）A. acbB. abcC
6、. bacD. bca【详解】解：00.420.401，0a1，log20.3log210，b0，20.6201，c1，bac，故选：C6. 已知曲线在点处切线的倾斜角为，则（ ）A. B. C. D. 1【详解】解：因为，则则曲线在点处的切线的斜率为，又倾斜角为所以 则.故选：C.7. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的值为（ ）A. B. C. D. 【详解】将函数图象先向右平移个单位长度，得到的图象；再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象；故.故选：C.8. 已知是等差数列
7、的前项和，公差，若成等比数列，则的最小值为A. B. 2C. D. 【详解】成等比数列，解得：，令，令，其中的整数，函数在递减，在递增，当时，；当时，.故选：A.9. 设函数若方程有四个不同的实根，则的取值范围是若方程有四个不同的实根，则的取值范围是若方程有四个不同的实根，则的取值范围是方程的不同实根的个数只能是1，2，3，6四个结论中，正确的结论个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【详解】解：对于：作出的图像如下：若方程有四个不同的实根，则，不妨设，则，是方程的两个不等的实数根，是方程的两个不等的实数根，所以，所以，所以，所以，故正确；对于：由上可知，且，所以，所以，所以，所以，故错
8、误；对于：方程的实数根的个数，即为函数与的交点个数，因为恒过坐标原点，当时，有3个交点，当时最多2个交点，所以，当与相切时，设切点为，即，所以，解得，所以，所以，所以当与相切时， 即时，此时有4个交点，若有4个实数根，即有4个交点，当时由图可知只有3个交点，当时，令，则，则当时，即单调递增，当时，即单调递减，所以当时，函数取得极大值即最大值，又及对数函数与一次函数的增长趋势可知，当无限大时，即在和内各有一个零点，即有5个实数根，故错误；对于：，所以，所以或，由图可知，当时，的交点个数为2，当，0时，的交点个数为3，当时，的交点个数为4，当时，的交点个数为1，所以若时，则，交点的个数为个，若时，
9、则，交点的个数为3个，若，则，交点有个，若且时，则且，交点有个，若，交点有1个，综上所述，交点可能有1，2，3，6个，即方程不同实数根1，2，3，6，故正确；故选：B二、填空题10. 已知复数，则_.【详解】解：复数，故答案为：11. 展开式中的常数项是_ (用数字作答)【详解】，令，得，故展开式中的常数项为故答案为：.12. 已知各项都为正的等差数列an中，若a2a3a415，a12，a34，a616成等比数列，则a10_.【详解】设公差为d(d0)，因为a2a3a43a315，所以a3a12d5，所以a152d.又(a12)(a616)(a34)2，所以(a12)(a15d16)(72d)
10、(3d21)81，整理得2d27d220，解得d2或d (舍).所以a11，故a1019219.故答案为：1913. 甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则_.【详解】根据题意，事件发生且事件发生的概率为；事件发生且事件发生的概率为；事件发生且事件发生的概率为；故.故答案为：.14. 若正数，满足，则的最小值为_.【详解】解：因为正数，满足，则有，即，即，所以，当且仅当即，又，即
11、，时取得最小值，且最小值为故答案为：15. 如图，在梯形中，且，为的中点，与交于点若，则的余弦值为_【详解】取中点，连接，且，连接，为中点，又，四边形为平行四边形，为中点，即，又为中点，且，即，又，即，不妨设，由得：，即，.故答案为：.三、解答题16. 在中，角，的对边分别为，且.（1）求；（2）如图，若为外一点，且，求.并求.【小问1详解】解：由，得，即，由正弦定理得，整理得，又，；又，；【小问2详解】解：连接，因为，所以，所以，所以又，所以，所以，在 中，由正弦定理可得，即，所以.17. 如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若为棱上一点
12、，满足，求二面角的余弦值【详解】依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，由点为棱的中点，得（1）向量，故 （2）向量，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的一个法向量于是有，直线与平面所成角的正弦值为（3）， 由点在棱上，故，由，得，解得，即设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的一个法向量取平面的法向量，则易知，二面角是锐角，其余弦值为18. 已知等差数列为递增数列，为数列的前项和，.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.【小问1详解】设数列的公差为，易知，因为，即，即，又，故为方程的两根，解得或，又数列为递增数列，故可得，即，解得，故.【小问2详解】，
13、故即，则，作差可得，即，解得.19. 记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且.（1）求的通项公式，并证明数列是等比数列；（2）若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.（3）求证：对于任意正整数，.【小问1详解】解：设等差数列的公差为，由，可得，解得或（舍去），又，则，由，可得，数列是以为首项，为公比的等比数列；小问2详解】解：由（1）可得，设的前项和为，则，当为奇数时，随着的增大而减小，可得，当为偶数时，随着的增大而增大，可得，的最大值为，最小值为【小问3详解】证明：因为数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，所以20. 已知函数.（1）若，求的单调区间和极值；（2）若为的两个不同的极值点，且，求的取值范围；（3）对于任意实数，不等式恒成立，求的取值范围.【小问1详解】当时，则，故当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；故的单调增区间为：，单调减区间为；又，故的极大值为，极小值为.【小问2详解】，则，为的两个不同的极值点，故可得，且，解得；，即，也即，故，解得；综上所述，的取值范围为.【小问3详解】，即，令，故对于任意实数，不等式恒成立，即，对任意的恒成立；又，又当时，恒成立，故当时，单调递增；当时，单调递减；故在上最大值为，则，即的取值范围为.