1、立体几何 （文科做）1 如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，A1A平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1DBC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30，求平行六面体ABCDA1B1C1D1的体积.2在直三棱柱中，. （1）求异面直线与所成的角的大小；（2）若与平面S所成角为，求三棱锥的体积。3已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1.AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点P为BD1中点. （1）证明EF为BD1与CC1的公垂线； （2）求点D1到面BDE的距离.4如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，E是PC的中点。(I)证明 平面；(II)求EB与底面AB
2、CD所成的角的正切值。 5在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点。（1）证明：ACSB；（2）求点B到平面CMN的距离。6正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=D是CB延长线上一点，且BD=BC. （1）求证：直线BC1/平面AB1D； （2）求三棱锥C1ABB1的体积.（3）求二面角B1ADB的大小； 7如图，在五棱锥SABCDE中，SA底面ABCDE，SA=AB=AE=2，。（1）求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）；（2）证明：BC平面SAB；8如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中
3、,AB=2,AA1=2,由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线与AA1的交点记为M.求:()三棱柱的侧面展开图的对角线长;()该最短路线的长及的值;()平面C1MB与平面ABC所成二面角(锐角)的大小.9.如图，在斜三棱柱中，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点（）求与底面ABC所成的角（）证明平面（）求经过四点的球的体积(有一定难度)（理科部分）1已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1.AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点P为BD1中点. （1）证明EF为BD1与CC1的公垂线； （2）求点D1到面BDE的距离.2在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为4的正三角
4、形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点。（）证明：ACSB；（）求二面角N-CM-B的余弦值；（）求点B到平面CMN的距离。3如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,ADBC,BAD=90,PA底面ABCD，且PAAD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.()求证：PBDM; ()求CD与平面ADMN所成的角的正弦值4如图,=l , A, B,点A在直线l 上的射影为A1, 点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求: () 直线AB分别与平面,所成角的大小; ()二面角A1ABB1的正弦值.ABA1B1l 5如图，在四棱锥P
5、ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，ABCD,AD=CD=24B,E、F分别为PC、CD的中点.（）试证：CD平面BEF;（）设PAkAB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.6如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在上，C在上，。（）证明；（）若，求与平面ABC所成角的余弦值。7如图底面是菱形的四棱锥PABCD中,点E在PD上,且PE:ED= 2: 1.()证明 PA平面ABCD;()求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角的大小:()在棱PC上是否存在一点F, 使BF平面AEC?证明你的结论.8如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面AB
6、CD，E是PC的中点，作交PB于点F。(I)证明 平面；(II)证明平面EFD；(III)求二面角的大小。9如图，在正三棱柱ABC=A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：（I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；（II）PC和NC的长；（III）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值。三、解答题：（文科部分）1解：连结BD，因为B1B平面ABCD，B1DBC，所以BCBD.在BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=.又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30，所以B
7、1DB=30，于是BB1=BD=2.故平行六面体ABCDA1B1C1D1的体积为SABCDBB1=.2解：(1) BCB1C1, ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角) ABC=90, AB=BC=1, ACB=45, 异面直线B1C1与AC所成角为45. (2) AA1平面ABC,ACA1是A1C与平面ABC所成的角, ACA =45.ABC=90, AB=BC=1, AC=,AA1=.三棱锥A1-ABC的体积V=SABCAA1=.3（1）证明：取BD中点M.连结MC，FM . F为BD1中点 ， FMD1D且FM=D1D . 又ECCC1且ECMC ，四边形EFMC是矩形 EF
8、CC1. 又CM面DBD1 .EF面DBD1 . BD1面DBD1 . EFBD1 . 故EF为BD1 与CC1的公垂线.（2）解：连结ED1，有VEDBD1=VD1DBE .由（）知EF面DBD1 ，设点D1到面BDE的距离为故点D1到平面DBE的距离为.4（1）证明：连结AC，AC交BD于O。连结EO。底面ABCD是正方形，点O是AC的中点在中，EO是中位线，。而平面EDB且平面EDB，所以，平面EDB。 (II) 解：作交DC于F。连结BF。设正方形ABCD的边长为。底面ABCD，为DC的中点。底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB与底面ABCD所成的角。在中，在中
9、，所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为 5解：（1）取AC中点D，连结SD、DB.SA=SC，AB=BC，ACSD且ACBD，AC平面SDB，又SB平面SDB，ACSB.（2）在RtNEF中，NF=，SCMN=CMNF=，SCMB=BMCM=2.设点B到平面CMN的距离为h，VB-CMN=VN-CMB，NE平面CMB，SCMNh=SCMBNE，h=.即点B到平面CMN的距离为.6（1）证明：CD/C1B1，又BD=BC=B1C1， 四边形BDB1C1是平行四边形， BC1/DB1.又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，直线BC1/平面AB1D. （2）解法一：过A作AFBC于F，B1B
10、平面ABC，平面ABC平面BB1C1C，AF平面BB1C1C，且AF= 即三棱锥C1ABB1的体积为 解法二：在三棱柱ABCA1B1C1中， 即三棱锥C1ABB1的体积为（3）解：过B作BEAD于E，连结EB1，B1B平面ABD，B1BAD B1BBE= B，AD平面B1BEB1EAD B1EB是二面角B1ADB的平面角，BD=BC=AB，E是AD的中点， 在RtB1BE中，B1EB=60。即二面角B1ADB的大小为607解：（1）连结BE，延长BC、ED交于点F，则为正三角形，CF=DF又BC=DE，BF=EF因此为正三角形，BE|CD所以（或其补角）就是异面直线CD与SB所成的角。SA底面
11、ABCDE，且SA=AB=AE=2，同理又，所以，从而所以异面直线CD与SB所成的角为；（2）由题意，是等腰三角形，所以，又，所以BCBASA底面ABCDE，BC底面ABCDESABC，又BC平面SAB；8解()正三棱柱ABCA1B1C1的侧面展开图是长为6,宽为2的矩形,其对角线长为()如图,将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120使其侧面AA1C1C在同一平面上,点B运动到点D的位置,连接DC1交AA1于M,则DC1就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线,其长为 AM=A1M, 故 ()连接DB,C1B,则DB就是平面C1MB与平面ABC的交线.在DCB中,CBDB,又C1C
12、平面CBD, C1CDB，C1C CB=C，DB平面C1C BC1BDB.C1BC就是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角(锐角).侧面C1B1BC是正方形,C1BC=45. 故平面C1MB与平面ABC所成的二面角(锐角)为45. 9（）过作平面，垂足为连结，并延长交于，于是为与底面所成的角，为的平分线又，且为的中点，平面，且，于是为二面角的平面角，即由于四边形为平行四边形，得（）证明：设与的交点为，则点为的中点连结在平行四边形中，因为的中点，故而平面，平面，所以平面（）连结在和中，由于，则，故由已知得又平面，为的外心设所求球的球心为，则，且球心与中点的连线在中，故所求球的半径，球的体积
13、（理科部分）1（1）证法一：取BD中点M.连结MC，FM . F为BD1中点 ， FMD1D且FM=D1D . 又ECCC1且ECMC ，四边形EFMC是矩形 EFCC1. 又CM面DBD1 .EF面DBD1 . BD1面DBD1 . EFBD1 . 故EF为BD1 与CC1的公垂线. 证法二：建立如图的坐标系，得B（0，1，0），D1（1，0，2），F（，1），C1（0，0，2），E（0，0，1）.即EFCC1，EFBD1 . 故EF是为BD1 与CC1的公垂线. （）解：方法一：连结ED1，有VEDBD1=VD1DBE .由（）知EF面DBD1 ，设点D1到面BDE的距离为故点D1到平面D
14、BE的距离为.2解法一：（）取AC中点D，连结SD、DB.SA=SC，AB=BC，ACSD且ACBD，AC平面SDB，又SB平面SDB，ACSB.（）AC平面SDB，AC平面ABC，平面SDB平面ABC.过N作NEBD于E，NE平面ABC，过E作EFCM于F，连结NF，则NFCM.NFE为二面角N-CM-B的平面角.平面SAC平面ABC，SDAC，SD平面ABC.又NE平面ABC，NESD.SN=NB，NE=SD=，且ED=EB.在正ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，在RtNEF中，tanNFE=2，NFE=二面角N-CM-B的余弦值为.（）在RtNEF中，NF=，SCMN=CMNF=，
15、SCMB=BMCM=2.设点B到平面CMN的距离为h，VB-CMN=VN-CMB，NE平面CMB，SCMNh=SCMBNE，h=.即点B到平面CMN的距离为.解法二：（）取AC中点O，连结OS、OB.SA=SC，AB=BC，ACSO且ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABC=ACSO面ABC，SOBO.如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.则A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M(1，0)，N(0，).=（-4，0，0），=（0，2，2），=（-4，0，0）（0，2，2）=0，ACSB.（）由（）得=（3，0)，=（-1，0，）.设n=（x，y
16、，z）为平面CMN的一个法向量， n=3x+y=0，则 取z=1，则x=，y=-，n=-x+z=0，n=(，-，1)，又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量， cos(n，)=.二面角N-CM-B的余弦值为.（）由（）（）得=（-1，0），n=（，-，1）为平面CMN的一个法向量，点B到平面CMN的距离d=.3解：方法一：（I）因为是的中点，所以.因为平面，所以，从而平面.因为平面，所以.（II）取的中点，连结、，则，所以与平面所成的角和与平面所成的角相等.因为平面，所以是与平面所成的角.在中，.故与平面所成的角正弦值是.方法二：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则.（I） 因为，
17、所以（II） 因为，所以，又因为，所以平面因此的余角即是与平面所成的角.因为，与平面所成的角正弦值是.ABA1B1lEFABA1B1lyxyEF4解法一: ()如图, 连接A1B,AB1, , =l ,AA1l, BB1l, AA1, BB1. 则BAB1,ABA1分别是AB与和所成的角.RtBB1A中, BB1= , AB=2, sinBAB1 = = . BAB1=45.RtAA1B中, AA1=1,AB=2, sinABA1= = , ABA1= 30.故AB与平面,所成的角分别是45,30.() BB1, 平面ABB1.在平面内过A1作A1EAB1交AB1于E,则A1E平面AB1B.过
18、E作EFAB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A1FAB, A1FE就是所求二面角的平面角.在RtABB1中,BAB1=45,AB1=B1B=. RtAA1B中,A1B= = . 由AA1A1B=A1FAB得 A1F= = ,在RtA1EF中,sinA1FE = = , 二面角A1ABB1的正弦值为.解法二: ()同解法一.() 如图,建立坐标系, 则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在tR,使得=t , 即(x,y,z1)=t(,1,1), 点F的坐标为(t, t,1t).要使,须=0, 即(t, t,1t)
19、(,1,1)=0, 2t+t(1t)=0,解得t= , 点F的坐标为(, ), =(, ). 设E为AB1的中点,则点E的坐标为(0, ). =(,).又=(,)(,1,1)= =0, , A1FE为所求二面角的平面角.又cosA1FE= = = = = ,A1FE=二面角A1ABB1的正弦值为.5解法一：（）证：由已知DFAB且DAD为直角，故ABFD是矩形，从而CDBF.又PA底面ABCD,CDAD，故由三垂线定理知CDPD.在PDC中，E、F分别PC、CD的中点，故EFPD,从而CDEF,由此得CD面BEF. （）连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在PAC中易知ECPA
20、.又因PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，过C作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.设AB=a,则在PAC中，有BG=PA=ka.以下计算GH，考察底面的平面图（如答(19)图）.连结GD.因SCBD=BDGH=GBOF.故GH=.在ABD中，因为ABa,AD=2A,得BD=a而GB=FB=AD-a.DF-AB,从而得GH= 因此tanEHG=由k0知是锐角，故要使，必须tan=解之得，k的取值范围为k解法二：（）如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=
21、a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),F(a,2a,0).从而=(2a,0,0), =(0,2a,0), =0,故 .设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故E.从而=.=0,故.由此得CD面BEF.（）设E在xOy平面上的投影为G，过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.由PAkAB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).设H(x,y,0)，则=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),由=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-
22、a 又因=(x,a,y,0),且与的方向相同，故，即2x+y=2a 由解得x=a,y=a,从而，a.tanEHG=.由k0知，EHC是锐角，由EHC得tanEHGtan即故k的取值范围为k.6()由已知l2MN, l2l1 , MNl1 =M, 可得l2平面ABN.由已知MNl1 , AM=MB=MN,可知AN=NB且ANNB. 又AN为AC在平面ABN内的射影.ABMNCl2l1HACNB （）RtCANRtCNB, AC=BC,又已知ACB=60,因此ABC为正三角形.RtANBRtCNB, NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,NBH为NB与平面
23、ABC所成的角.在RtNHB中,cosNBH= = = .ABMNCl2l1Hxyz解法二: 如图,建立空间直角坐标系Mxyz.令MN=1, 则有A(1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),()MN是 l1、l2的公垂线, l1l2, l2平面ABN. l2平行于z轴. 故可设C(0,1,m).于是 =(1,1,m), =(1,1,0). =1+(1)+0=0 ACNB.() =(1,1,m), =(1,1,m), |=|, 又已知ACB=60,ABC为正三角形,AC=BC=AB=2. 在RtCNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).连结MC,作NHMC于H,设H(0, )
24、 (0). =(0,1,), =(0,1, ). = 12=0, = ,H(0, , ), 可得=(0, ), 连结BH,则=(1, ),=0+ =0, , 又MCBH=H,HN平面ABC,NBH为NB与平面ABC所成的角.又=(1,1,0),cosNBH= = = 7()证明 因为底面ABCD是菱形, ABC=60, 所以AB=AD=AC=a.在PAB中,由知PAAB. 同理, PAAD,所以PA平面ABCD.()解:作EGPA交AD于G,由PA平面ABCD知EG平面ABCD.作GHAC于H,连结EH,则EHAC.EHG为二面角的平面角.又PE:ED=2:1 所以从而()解法一 以A为坐标原
25、点,直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图。由题设条件，相关各点的坐标分别为A(0,0,0),B(D(0,a,0),P(0,0,a), E(0, 所以 设点F是棱PC上的点, 其中01,则 = 令得 即 .解得即 时, 共面.又BF平面AEC,所以当F是棱PC的时,BF平面AEC.解法二 当F是棱PC的中点时,BF平面AEC.证明如下. 证法一 取PE的中点M,连结FM,则FMCE. 由知E是MD的中点. 连接BM、BD,设BDAC=O，则O为BD的中点。 所以BMOE。 由、知,平面BFM平面AEC. 证法二因为 = = 所以、共面。 又BF
26、平面AEC,从而BF平面AEC。8方法一：(I) 证明：连结AC，AC交BD于O。连结EO。 底面ABCD是正方形，点O是AC的中点在中，EO是中位线，。而平面EDB且平面EDB，所以，平面EDB。 。3分(II)证明：底在ABCD且底面ABCD， 同样由底面ABCD，得底面ABCD是正方形，有平面PDC而平面PDC， 。6分由和推得平面PBC而平面PBC，又且，所以平面EFD 。8分(III)解：由(II)知，故是二面角的平面角由(II)知，设正方形ABCD的边长为，则在中， 在中，所以，二面角的大小为方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设(I)证明：连结AC，AC交BD于G。
27、连结EG。依题意得底面ABCD是正方形，是此正方形的中心，故点G的坐标为且 。这表明。而平面EDB且平面EDB，平面EDB。(II)证明：依题意得。又故由已知，且所以平面EFD。(III)解：设点F的坐标为则从而 所以由条件知，即 解得 。点F的坐标为 且即，故是二面角的平面角。且 所以，二面角的大小为9解：（I）正三棱柱ABCA1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为。（II）如图1，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线。设PC=x，则P1C=x在RtMAP1中，由匀股定理得(3+x)2+22=29，求得x=2.PC=P1C=2.，NC=（III）如图2，连接PP1，则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线，作NHPP1于H，又CC1平面ABC，连结CH，由三垂线定理得，CHPP1.NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）.在RtPHC中，PCH=PCP1=60，CH=1在RtNCH中，tgNHC=，故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为.