1、常德市一中2017届高三第二次月水平测试考卷文科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则下列结论中正确的是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：由得，故，选项为C.考点：集合间的关系.2.设实数，满足且，实数满足，则是的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】考点：充分条件，必要条件的判定.3.函数在闭区间1-3,0上的最大值、最小值分别是（ ）A1，-17 B3,-17 C1，-1 D9，-19【答案】B【解析】试题分析：由，得，当时，当时，当
2、时，故的极小值、极大值分别为，而，故函数在上的最大值、最小值分别是、，故选项为B.考点：利用导函数求函数闭区间上的最值.【方法点睛】本题主要考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，熟练运用函数的导数判断函数的最值问题，难度不大；其具体步骤为首先求出函数的导数，令及，得其单调区间，然后确定函数的极值，最后比较极值与端点值的大小，根据最值一定在极值点或端点处取得，从而确定函数的最大和最小值4.将函数的图象向左平移个单位，若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（ ）A B C D【答案】A【解析】考点：函数的图象变换.5.若函数在区间10,1单调递增，则的取值范围为（ ）A B C D【答案】A【
3、解析】试题分析：，因为在上单调递增，所以即在上恒成立，也即恒成立，而在上单调递增，所以，故.故选A考点：函数的单调性.【方法点睛】本题考查函数单调性的性质，考查导数与函数单调性的关系，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力求导数，由在上单调递增，得恒成立，即在上恒成立，分离出参数后转化为函数最值，即即可，而在上单调递增，故当时最大，代入即可.6.已知，且，若，则（ ）A BC D【答案】D【解析】考点：不等关系与不等式.7.已知函数的图象如图所示，则（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：由题意可知，此函数的周期，故，解得，则，即.故选：A考点：余弦函数的图象.8.若是三角形的最小内
4、角，则函数的最小值是（ ）A B C1 D【答案】B【解析】考点：（1）三角函数的化简求值；（2）三角函数的最值.9.函数的图象可能是（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：对于函数，由于它的定义域关于原点对称，且满足，故函数为奇函数，故它的图象关于原点对称，故排除A,B；在根据在上，故排除C，故选D.考点：函数的图象.10.在中，角、的对边分别为、，则以下结论错误的为（ ）A若，则BC若，则；反之，若，则D若，则【答案】D1111【解析】考点：正弦定理.【方法点晴】本题考查三角形中的正弦定理的应用，以及三角形的边角关系，考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数、余弦函数的图象和性质，属
5、于中档题A、由题设中的条件可以得出B，C两角的正弦与余弦都对应相等，由此关系即可得出正确答案；B、利用正弦定理及等比性质，即可求得结论；C、在中，设外接圆的半径为，运用正弦定理和三角形的边角关系，即可得到结论；D、利用题设等式，根据和差化积公式整理求得或，推断出或，则根据三角形形状可判断出11.已知在中，的平分线交边于点，且，则的长为（ ）111A B C1 D2【答案】A【解析】考点：平面向量基本定理及其意义.12.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：设，由题意知存在唯一的整数使得在直线的下方，当时，当时，当时，取最小值，当时，
6、当时，直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选D.考点：（1）函数的零点；（2）利用导数研究函数的极值.【方法点晴】本题考查函数的零点,利用导数研究函数的极值，实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用设，问题转化为存在唯一的整数使得在直线的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得且，解关于的不等式组可得第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13.已知，且与的夹角为，则_.【答案】【解析】试题分析：，故，故答案为.考点：向量的模长.14. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】考点：利用导数研究函数的极值.【方
7、法点睛】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷先求导函数，函数有两个极值点，等价于有两个零点，等价于函数与的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象由图可求得实数的取值范围15. 已知是第四象限角，且，则_.【答案】【解析】考点：两角和与差的正切函数.16.平行四边形中，垂足为，则_.【答案】【解析】试题分析：如图，设对角线、相交于点，四边形是平行四边形，因此，由此可得故答案为：考点：平面向量数量积的运算.【方法点晴】本题在平行四边形中求
8、向量的数量积，着重考查了平行四边形的性质、向量的线性运算性质、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档题设对角线、相交于点，根据平行四边形的性质与向量加法法则，得到，代入，结合即展开后即可求得答案1111三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）在中，内角、所对的边分别为、，已知.（）求；（）若，求的值.【答案】（）；（）.【解析】（）由，则考点：解三角形.18.（本小题满分12分）已知函数.（）当时，求函数取得最大值和最小值时的值；（）设锐角的内角、的对应边分别是、，且，若向量与向量平行，求的值.【答案】（），取得最大值；，取得
9、最小值；（）.【解析】当时，即，得，取得最小值；（）向量与向量平行，所以，根据正弦定理的推论，得，由余弦定理，经检验符合三角形要求，的值为.考点：（1）三角函数中恒等变换应用；（2）正弦函数的图象；（3）余弦定理.19.（本小题满分12分）如图所示，正三棱柱中，分别是，的中点.（1）证明：平面平面；（2）若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由平面可知，又可得平面，从而平面平面；（2）由（1）知为棱锥的高，于是试题解析：（1）证明：面面20.（本小题满分12分）已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求.【
10、答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用可得结果；（2）利用裂项相消求前项和.试题解析：（1）当时，当时，考点：（1）数列的通项公式；（2）数列的求和.21.（本小题满分12分）如图，已知圆，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设直线与（）中轨迹相交于，两点，直线，的斜率分别为，（其中），的面积为，以，为直径的圆的面积分别为，若，恰好构成等比数列，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题解析：（1）连接，根据题意，则，故动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.设其方程为，可知，则，点的轨迹的方程为.（2）设直线的方程为，.联立
11、，化为，.，构成等比数列，化为，解得.，.此时，解得.又由、三点不共线得，从而.故，又，则为定值.，当且仅当时等号成立.111综上：.考点：（1）直线与圆锥曲线的综合问题；（2）直线与圆的方程的应用.22.（本小题满分12分）已知函数，其中，均为实数.（1）求函数的极值；（2）设，若对任意的，恒成立，求实数的最小值.【答案】（1）极大值，无极小值；（2）.【解析】试题解析：（1），令，得，列表如下：当时，取得极大值，无极小值；（2）当时，时，在恒成立，在上为增函数，设，在上恒成立，在上为增函数，不妨设，则等价于：，即，设，则在上为减函数，在上恒成立，考点：（1）利用导数研究函数在闭区间上的最值；（2）利用导数研究函数的极值.
