1、高考中档题训练(二)1.(2014嘉兴一模)设数列an的前n项和为Sn,4Sn=+2an-3,且a1,a2,a3,a4,a11成等比数列,当n11时,an0.(1)求证:当n11时,an成等差数列;(2)求an的前n项和Sn.(1)证明:由4Sn=+2an-3,4Sn+1=+2an+1-3,得4an+1=-+2an+1-2an,(an+1+an)(an+1-an-2)=0,当n11时,an0,所以an+1-an=2,所以当n11时,an成等差数列.(2)解:由4a1=+2a1-3,得a1=3或a1=-1,又a1,a2,a3,a4,a11成等比数列,所以an+1+an=0(n10),q=-1,而
2、a110,所以a10,从而a1=3.当1n10时,Sn=1-(-1)n,当n11时,a11,a12,an成等差数列首项a11=3,公差d=2,于是Sn=S10+a11+an=n2-18n+80.所以Sn=2.(2013高考江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1260 m,经测
3、量,cos A=,cos C=.(1)求索道AB的长;(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解:(1)在ABC中,因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=.从而sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=+=.由正弦定理=,得AB=sin C=1040(m).所以索道AB的长为1040 m.(2)假设乙出发t min后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2=(
4、100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t)=200(37t2-70t+50).由于0t,即0t8,故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理=,得BC=sin A=500(m).乙从B出发时,甲已走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3-3,解得v,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在,(单位:m/min)范围内.3.(2013高考北京卷)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC平面AA1C1C,AB=3,BC
5、=5.(1)求证:AA1平面ABC;(2)求二面角A1BC1B1的余弦值;(3)证明:在线段BC1上存在点D,使得ADA1B.并求的值.(1)证明:因为AA1C1C为正方形,所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1平面ABC.(2)解:由(1)知AA1AC,AA1AB.由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以ABAC.如图,以A为原点建立空间直角坐标系Axyz,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则即令z=3,则x=0,y=4,所以n=(0,4,3).同理可得,平面B1BC1的一个法向量为m=(3,4,0).所以cos=.由题知二面角A1BC1B1为锐角,所以二面角A1BC1B1的余弦值为.(3)证明:设D(x1,y1,z1)是线段BC1上一点,且=.所以(x1,y1-3,z1)=(4,-3,4).解得x1=4,y1=3-3,z1=4.所以=(4,3-3,4).由=0,得9-25=0,解得=.因为0,1,所以在线段BC1上存在点D,使得ADA1B.此时,=.