1、课时素养检测十三余弦定理、正弦定理应用举例距离问题(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分)1.如图,为了测量隧道口AB的长度,给定下列四组数据,计算时应当用数据()A.,a,bB.,aC.a,b,D.,b【解析】选C.由A与B不可到达,故不易测量,所以计算时应当用数据a,b,.2.如图所示,要测量一水塘两侧A,B两点间的距离,其方法先选定适当的位置C,用经纬仪测出角,再分别测出AC,BC的长b,a,则可求出A,B两点间的距离.若测得CA=400 m,CB=600 m,ACB=60,则AB的长为()A.200 mB.200 mC.200 mD.500 m【解析】选C.在ABC中,由余
2、弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,所以AB2=4002+6002-2400600cos 60=280 000,所以AB=200(m),即A,B两点间的距离为200m.3.海上有A,B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60的视角,从B岛望C岛和A岛成75的视角,则B,C间的距离是()A.10海里B.5海里C.5海里D.5海里【解析】选C.在ABC中,A=60,B=75,C=180-60-75=45,根据正弦定理得,得=,解得BC=5.4.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120,两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mil
3、e/h,则14时两船之间的距离是()A.50 n mileB.70 n mileC.90 n mileD.110 n mile【解析】选B. 到14时,轮船A和轮船B分别走了50 n mile,30 n mile,由余弦定理得两船之间的距离为l=70 n mile.5.一船以每小时15 km的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60,行驶4小时后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15,这时船与灯塔的距离为()A.60 kmB.60 kmC.30 kmD.30 km【解析】选A.画出图形如图所示,在ABC中,BAC=30,AC=415=60,B=45,由正弦定理得=,所以BC=60,所以船
4、与灯塔的距离为60 km.6.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20,灯塔B在观察站C的南偏东40,则灯塔A与灯塔B的距离为()A.a kmB.a kmC.a kmD.2a km【解析】选B.如图,在ABC中,AC=BC=a km,ACB=180-(20+40)=120,所以AB=a(km).二、填空题(每小题4分,共8分)7.如图,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得CAB=30,CBA=75,AB=120 m,则河的宽度为_.【解析】在ABC中,AB=120 m,A=30,B=75,则C=180-A-B=75,所以AC=
5、AB=120 m,则河的宽度为ACsin 30=60 m.答案:60 m8.江岸边有一炮台高30米,江中有两条船,从炮台顶部测得俯角分别为45和30,而且两条船与炮台底部连线成30角,则两条船相距_米.【解析】如图,过炮台顶部A作水平面的垂线,垂足为B,设A处观测小船C的俯角为45,设A处观测小船D的俯角为30,连接BC,BD.在RtABC中,ACB=45,可得BC=AB=30米,RtABD中,ADB=30,可得BD=AB=30米,在BCD中,BC=30米,BD=30米,CBD=30,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BCBDcos 30=900,所以CD=30米(负值舍去).答案:30
6、三、解答题(每小题14分,共28分)9.要测量对岸两点A,B之间的距离,选取相距 km的C,D两点,并测得ACB=75,BCD=45,ADC=30,ADB=45,求A,B之间的距离.【解析】在ACD中,ACD=120,CAD=ADC=30,所以AC=CD=(km).在BCD中,BCD=45,BDC=75,CBD=60.所以BC=(km).ABC中,由余弦定理,得AB2=()2+-2cos 75=3+2+-=5,所以AB=(km).所以A,B之间的距离为 km.10.甲船自某港出发时,乙船在离港7海里的海上驶向该港,已知两船的航向成120角,甲、乙两船航速之比为21,求两船间距离最短时,各离该海港多远?【解析】如图所示,甲船由A港沿AE方向行驶,乙船由D处向A港行驶,显然EAD=60.设乙船航行到B处行驶了s海里,此时A船行驶到C处,则AB=7-s,AC=2s,而EAD=60,由余弦定理,得BC2=4s2+(7-s)2-4s(7-s)cos 60=7(s-2)2+21(0s,所以MAO=,所以ABO=-,因为tan =2,所以sin =,cos =,所以sinABO=sin=,在AOB中,AO=15,由正弦定理得,=,即=,所以AB=30,即公路AB段的长为30 km.