1、十四超几何分布(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.一个坛子里有编号为1,2,12的12个大小相同的球,其中1到6号球是红球,其余的是黑球.若从中任取2个球,则取到的都是红球,且至少有1个球的号码是偶数的概率为()A.B.C.D.【解析】选D.由题意得P=.2.在10个排球中有6个正品,4个次品.从中抽取4个,则正品数比次品数少的概率为()A.B.C.D.【解析】选A.正品数比次品数少,有两种情况:0个正品4个次品,1个正品3个次品,由超几何分布的概率可知,当0个正品4个次品时,P1=.当1个正品3个次品时,P2=.所以正品数比次品数少的概率为P1+P2=.3.有20个零件,
2、其中16个一等品,4个二等品,若从20个零件中任取3个,那么至少有一个是一等品的概率是()A.B.C.D.以上均不对【解析】选D.“至少有一个是一等品”包含取出的3个中有1个一等品,取出的3个中有2个一等品和取出的3个中有3个一等品三种情况,其概率应为.【加练固】盒中有4个白球,5个红球,从中任取3个球,则抽取1个白球和2个红球的概率是()A.B.C.D.【解析】选C.设从盒中任取3个球,抽到白球个数为X,则X服从N=9,M=4,n=3的超几何分布,X=1表示事件“抽出1个白球和2个红球”,故所求的概率为P(X=1)=.4.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用
3、完后装回盒中,此时盒中旧球的个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为()A.B.C.D.【解析】选C.由题意得取出的3个球必为2个旧球,1个新球.故P(X=4)=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.10名同学中有a名女生,若从中抽取2个人作为学生代表,恰好抽取1名女生的概率为,则a=_.【解析】根据题意,得=,解得a=2或a=8.答案:2或86.从装有3个红球,2个白球的袋中随机取2个球,设其中有个红球,则随机变量的分布列为:012P_【解析】P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)7.盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球
4、除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;(2)从盒中一次随机抽出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3的最大数,求X的概率分布.【解析】(1)一次取2个球共有=36种可能情况,2个球颜色相同共有+=10种可能情况,所以取出的2个球颜色相同的概率P=.(2)X的所有可能取值为4,3,2,则P(X=4)=,P(X=3)=,于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=,所以X的概率分布列为X234P8.某中学统计了该校100名学生在放假期间参加社会实践活动(简称活动)的情况:有20人参加1次活动,有50
5、人参加2次活动,有30人参加3次活动.(1)从这些学生中任选两名,求恰好有一名参加1次活动的概率;(2)从这些学生中任选两名,用表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量的分布列.【解析】(1)由题意知,若设X为任选两名学生中参加1次活动的人数,则X服从参数为N=100,M=20,n=2的超几何分布,故P(X=1)=.(2)的可能取值为0,1,2.从这些学生中任选两名,记“这两人中一人参加1次活动,另一人参加2次活动”为事件A,“这两人中一人参加2次活动,另一人参加3次活动”为事件B,“这两人中一人参加1次活动,另一人参加3次活动”为事件C,易知P( =1)=P(A)+P(B)=+=,P(
6、=2)=P(C)=,P(=0)=1-P(=1)-P(=2)=.所以随机变量的分布列为012P(20分钟40分)1.(5分)现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本),从中任取2本,至多有1本语文课本的概率是,则语文课本共有()A.2本B.3本C.4本D.5本【解析】选C.设语文课本n本,则数学课本有7-n本(n2).则2本都是语文课本的概率为=,由组合数公式得n2-n-12=0,解得n=4(负值舍去).2.(5分)盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是的事件为()A.恰有1个是坏的B.4个全是好的C.恰有2个是好的D.至多有2个是坏的【解析】选C.“X
7、=k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”,则P(X=k)=(k=1,2,3,4),所以P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,故选C.3.(5分)某国科研合作项目成员由11个美国人,4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人,则此两人不属于同一国家的概率为_.【解析】成员有11+4+5=20人,从中任选2人的不同选法有种,其中不属于同一国家的有+种,根据等可能性事件发生的概率计算公式,可得所求概率为P=.答案:4.(5分)在20瓶饮料中,有2瓶已过了保质期,从中任取2瓶,取到已过保质期的饮料的概率为_.【解析】取到已过保质期饮料的瓶数服从超几何分布,其
8、中参数为N=20,M=2,n=2,则所求事件的概率为1-=1-=.答案:5.(10分)在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品,有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品,其余6张没有奖品.(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的概率分布.(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张,求顾客乙中奖的概率;设顾客乙获得的奖品总价值Y元,求Y的概率分布.【解析】(1)抽奖一次,只有中奖和不中奖两种情况,故X的取值只有1和0两种情况.P(X=1)=,则P(X=0)=1-P(X=1)=1-=.因此X的概率分布为X01P(2)顾客乙中奖可分为互斥的两类:所抽取
9、的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖.故所求概率P=.Y的所有可能取值为0,10,20,50,60,且P(Y=0)=,P(Y=10)=,P(Y=20)=,P(Y=50)=,P(Y=60)=.因此随机变量Y的概率分布为Y010205060P6.(10分)在医学、生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入2只苍蝇(此时笼子里共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到2只苍蝇都飞出,再关闭小孔.用X表示笼内还剩下的果蝇的只数.(1)写出X的分布列;(2)求P(X4).【解析】(1)随机变量X的所有取值为0,1,2,3,4,5,
10、6.试验相当于把8只不同的蝇子排成一列,有种排列方法.由题意得P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=,P(X=6)=.故随机变量X的分布列为:X0123456P(2)P(X4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=+=.1.已知在10件产品中可能存在次品,从中抽取2件检查,其次品数为,已知P(=1)=,且该产品的次品率不超过40%,则这10件产品的次品率为()A.10%B.20%C.30%D.40%【解析】选B.设10件产品中存在n件次品,从中抽取2件,其次品数为,由P(=1)=得,=,化简得n2-10n+16=0,解得n=2或n=
11、8;又该产品的次品率不超过40%,所以n4,应取n=2,所以这10件产品的次品率为=20%.2.袋中有a个黑球和b个白球,每次随机地从中取出一球,每次取后不放回,记事件A为“直到第k次才取到黑球”,其中1kb;事件B为“第k次取出的球恰好是黑球”,其中1kb.(1)若a=5,b=3,k=2,求事件A发生的概率;(2)判断事件B发生的概率是否随k取值的变化而变化?并说明理由;(3)比较a=5,b=9时事件A发生的概率与a=5,b=10时事件A发生的概率的大小,并说明理由.【解析】(1)基本事件空间中有基本事件=56个基本事件,事件A:“直到第2次才取到黑球”有=15个基本事件,故事件A发生的概率为P(A)=.(2)基本事件空间中有基本事件个基本事件,事件B:“第k次取出的球恰好是黑球”有个基本事件,P(B)=,则事件B发生的概率与k取值没有关系.(3)a=5,b=9时事件A发生的概率P(A1)=,a=5,b=10时事件A发生的概率P(A2)=,=,所以,当k=3时,P(A1)=P(A2);当k=1,2时,P(A1)P(A2);当k=4,5,6,7,8,9时,P(A1)P(A2).