1、模板6 解析几何中的探索性考题 真题(2015全国卷)(满分12分)已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.()证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；()若 l 过点m3，m，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由.满分解答()证明 设直线 l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).将 ykxb 代入 9x2y2m2 得(k29)x22kbxb2m20，(2 分)故 xMx1x22kbk29，y
2、MkxMb 9bk29.(4 分)于是直线 OM 的斜率 kOMyMxM9k，即 kOMk9.所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的积是定值.(6 分)()解 四边形 OAPB 能为平行四边形.(7 分)因为直线 l 过点m3，m，所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k0，k3.由(1)得 OM 的方程为 y9kx.设点 P的横坐标为 xP，由y9kx，9x2y2m2，得 x2P k2m29k281，即 xPkm3 k29.(9 分)将点m3，m 的坐标代入直线 l 的方程得 bm（3k）3，因此 xMkm（k3）3（k29）.(10 分)四边形 OAPB 为平行四边形，当且仅
3、当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 xP2xM.于是km3 k292k（k3）m3（k29），解得 k14 7，k24 7.因为 ki0，ki3，i1，2，所以当 l 的斜率为 4 7或 4 7时，四边形 OAPB 为平行四边形.(12 分)得分说明 将直线方程与椭圆方程联立，化为一元二次方程形式得2分；利用根与系数的关系求出中点坐标得2分；求出斜率乘积为定值，得出结论得2分；先说明结果，四边形 OAPB 能为平行四边形得 1 分；求出 xPkm3 k29得 2 分；求出 xMmk（k3）3（k29）得 1 分；结合平面几何知识求出斜率得 2 分.解题模板 第一步 先假定：假设结论成立.
4、第二步 再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解.第三步 下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯定假设；若推出矛盾则否定假设.第四步 再回顾：查看关键点，易错点(特殊情况、隐含条件等)，审视解题规范性.【训练 6】如图，O 为坐标原点，双曲线 C1：x2a21y2b211(a10，b10)和椭圆 C2：y2a22x2b221(a2b20)均过点 P2 33，1，且以 C1 的两个顶点和 C2 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形.(1)求 C1，C2 的方程；(2)是否存在直线 l，使得 l 与 C1 交于 A，B 两点，与 C2 只有一个公共点，且|OA OB|AB|？证明你的结
5、论.解(1)设 C2 的焦距为 2c2，由题意知，2c22，2a12，从而a11，c21.因为点 P2 33，1 在双曲线 x2y2b211 上，所以2 332 1b211.故 b213.由椭圆的定义知 2a22 332（11）22 332（11）22 3.于是 a2 3，b22a22c222，故 C1，C2 的方程分别为x2y231，y23x221.(2)不存在符合题设条件的直线.若直线 l 垂直于 x 轴，因为 l 与 C2 只有一个公共点，所以直线l 的方程为 x 2或 x 2.当 x 2时，易知 A(2，3)，B(2，3)，所以|OA OB|2 2，|AB|2 3.此时，|OA OB|
6、AB|.当 x 2时，同理可知，|OA OB|AB|.若直线 l 不垂直于 x 轴，设 l 的方程为 ykxm.由ykxm，x2y231，得(3k2)x22kmxm230.当 l 与 C1 相交于 A，B 两点时，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1，x2 是上述方程的两个实根，从而 x1x2 2km3k2，x1x2m23k23.于是 y1y2k2x1x2km(x1x2)m23k23m2k23.由ykxm，y23x221，得(2k23)x24kmx2m260.因为直线 l 与 C2 只有一个公共点，所以上述方程的判别式 16k2m28(2k23)(m23)0.化简，得 2k2m23，因此OA OB x1x2y1y2m23k233k23m2k23k23k23 0，于是OA 2OB 22OA OB OA 2OB 22OA OB，即|OA OB|2|OA OB|2，故|OA OB|AB|.综合，可知，不存在符合题设条件的直线.
