1、北京市昌平区新学道临川学校2020-2021学年高二数学12月月考试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 在数列中，则等于（ ）A. -7B. -4C. -1D. 2【答案】A【解析】【分析】利用等差数列通项公式计算即可.【详解】数列为等差数列，公差为-3，所以故选：A.2. 记为等差数列的前n项和若，则（ ）A. 97B. 98C. 99D. 100【答案】D【解析】【分析】在等差数列中，根据且，求得，再代入等差数列的前n项和公式求解.【详解】在等差数列中，且，所以，解得故选：D3. 已知等比数列满足，则（ ）
2、A. 64B. 81C. 128D. 243【答案】A【解析】【详解】试题分析：，考点：等比数列的通项公式4. 在中，若，则等于（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理列方程，解方程求得.【详解】由，可得由正弦定理得，.故选：B【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题.5. 已知ABC中，c6，a4，B120，则b等于()A. 76B. 2C. 27D. 2【答案】B【解析】【详解】由余弦定理，得，故选B.6. 已知直线l过点且与直线垂直，则l的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】直线2x3y +1=0的斜率为则直线l的斜率为
3、所以直线l的方程为故选A7. 圆截直线所得弦长为（ ）A. B. C. 1D. 5【答案】A【解析】【详解】圆心坐标为（2，-2），半径为圆心到直线距离为所以弦长为故选A8. 椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是（ ）A. 7，2，B. 14，4，C. 7，2，D. 14，4，【答案】B【解析】【分析】化简椭圆为，求得的值，进而求得长轴长、短轴长、离心率，得到答案.【详解】由题意，椭圆可化为，可得，又由，所以椭圆长轴长、短轴长、离心率.故选：B.9. 椭圆的右焦点到直线的距离是（ ）A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】根据椭圆标准方程求得右焦点坐标，由点到直线距离公式得距离【详解
4、】在椭圆中，则所以椭圆的右焦点为 则椭圆的右焦点到直线的距离为故选：B【点睛】本题考查求点到直线的距离公式，考查求椭圆的焦点坐标，属于基础题10. 若抛物线的准线方程为, 则抛物线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】由题得抛物线的标准方程为.故选D.11. 设椭圆=的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标,进而求得椭圆的半焦距c,根据椭圆的离心率求得m,最后根据m、n和c的关系求得n.【详解】抛物线,焦点坐标为椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同椭圆的半焦距,即，椭圆的标准方
5、程为，故选B.本题主要考查了椭圆的标准方程的问题.要熟练掌握椭圆方程中a,b和c的关系,求椭圆的方程时才能做到游刃有余.考点：椭圆与抛物线的标准方程，及性质.点评：由抛物线的焦点，可得椭圆的半焦距c,再由离心率可知m,从而,因而椭圆方程确定.12. 设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得：，设A、B，则所求三角形的面积为=，故选D.考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题
6、的能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知椭圆的方程为：，若C为椭圆上一点，分别为椭圆的左，右焦点，并且，则_【答案】8【解析】【分析】先算出，再根据椭圆的定义即可获解.【详解】椭圆的 ，由椭圆的定义可得， 由可得 故答案：8.14. 已知平行直线，则的距离是_【答案】【解析】【分析】由平行线的距离公式可直接得解.【详解】由平行线的距离公式可得：.故答案为.【点睛】本题主要考查了平行线的距离公式，属于基础题.15. 过点，顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线的标准方程为_【答案】【解析】【分析】设出抛物线方程，再把代入即可获解.【详解】设过点，顶点在原点，焦点在轴上的抛物线
7、标准方程为把代入，得: 解得所以抛物线的标准方程为故答案为：.16. 已知椭圆左焦点为F，A（a，0），B（0，b）为椭圆的两个顶点，若F到AB的距离等于，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】【分析】由题意可得直线AB的方程：bxay+ab0，利用点F（c，0）到直线AB的距离公式可求得d，整理得到关于的方程，即可求解【详解】依题意得，AB的方程为，即：bxay+ab0，设点F（c，0）到直线AB的距离为d，5a214ac+8c20，8e214e+50，e（0，1）e或e（舍去）故答案为【点睛】本题考查了椭圆的几何性质离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键求曲线的离心
8、率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 ，利用离心率的定义求解；根据条件得到关于的齐次式，转化为关于的方程求解三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17题10分，第题每题12分17. 写出下列直线的方程（1）经过点，且与直线平行；（2）经过点，且与x轴平行【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意求得直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）由题意求得与x轴平行的直线的斜率，进而求得直线的方程.【详解】（1）由题意，直线，可得直线的斜率为，因为过点，且与直线平行，可得所求直线方程为，即所求直线方程为（2）由题意，与x轴平行的直线的斜率，所以直线
9、点斜式方程为，即18. 已知是等比数列，是等差数列，（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）分别求出等差数列和等比数列的公差和公比，然后可得两数列的通项公式；（2）由（1）得到数列的通项公式，再根据分组求和法求解即可得到结果【详解】（1）设等比的公比为，由，得，解得，所以；设等差的公差为，由，得，解得，所以（2）由（1）得所以所以数列的前项和【点睛】（1）对于等差数列和等比数列的运算问题，可转化为其基本量即首项和公差（公比）来求解（2）求数列的和时，需要根据通项公式的特征选择相应的求解方法，对于形如（、分别为等差、等比数列）的数列来讲，则采用
10、分组求和法求解，借助等差（比）数列的求和公式可得结果19. 在锐角三角形中，内角的对边分别为且（1）求角的大小；（2）若，求 的面积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理及，便可求出，得到的大小；（2）利用（1）中所求的大小，结合余弦定理求出的值，最后再用三角形面积公式求出值.【详解】（1）由及正弦定理，得.因为为锐角，所以.（2）由余弦定理，得，又，所以，所以.考点：正余弦定理的综合应用及面积公式.20. （1）已知直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点若直线的倾斜角为，求的值；（2）抛物线截直线所得弦长等于？【答案】（1）8；（2）【解析】【分析】（1）由倾
11、斜角求直线的斜率k，抛物线方程求F点坐标，由直线过抛物线焦点F，写出直线方程，联立直线与抛物线方程，应用韦达定理得，结合抛物线定义知即可求弦长；（2）联立直线与抛物线方程，应用韦达定理得，结合弦长公式即可求弦长.【详解】（1）由直线的倾斜角为，则斜率又，直线的方程为联立，消去y得若设，则，而，且，（2）令直线与抛物线交于点，由，得，【点睛】关键点点睛：（1）由已知条件，应用点斜式写出过焦点的直线方程，联立抛物线方程得，根据抛物线的定义有，求弦长；（2）联立直线与抛物线方程，结合弦长公式求弦长.21. 点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形【答案】；椭圆【
12、解析】【分析】用坐标表示已知条件，列出方程并化简可得点M的轨迹方程【详解】设d是点M到直线距离，根据题意，所求轨迹就是集合，由此得将上式两边平方，并化简，得，即点M的轨迹方程为：；轨迹是椭圆22. 已知椭圆的离心率，的面积为1（1）求椭圆C的方程；（2）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E求证：与的面积之比为【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用面积公式和离心率可得椭圆C的方程；（2）设，且，则，由，可分别写出直线和的方程并联立，解出点E的纵坐标，再由点M在椭圆C上，得出与的面积之比，命题得证【详解】（1）由题意得解得，椭圆C的方程为（2）设，且，则，直线AM的斜率，由，则，故直线DE的斜率直线DE的方程为直线BN的方程为联立，解得点E的纵坐标由点M在椭圆C上，得又，与的面积之比为