1、第三章3.23.2.4 一、选择题1如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是导学号 64150833 ()A相等B互补C相等或互补D不能确定答案C解析二面角的两个面对应平行，当方向相同时，两个二面角大小相等，当方向不同时，两个二面角大小互补2已知平面内有一个以AB为直径的圆，PA，点C在圆周上(异于点A，B)，点D、E分别是点A在PC、PB上的射影，则导学号 64150834()AADE是二面角APCB的平面角BAED是二面角APBC的平面角CDAE是二面角BPAC的平面角DACB是二面角APCB的平面角答案B解析由二面角定义及三垂线定理知选B.
2、3正方形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，若PAAB，则平面PAB与平面PCD所成的角的度数为导学号 64150835 ()A30B45C60D90答案B解析DPA为二面角平面角，而在RtPAD内，APD45.故选B.4如图正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1和DD1的中点，则平面ECF与平面ABCD的夹角的余弦值为导学号 64150836 ()A.B.C.D.答案B解析以A为坐标原点建系，由法向量法，可得cos.5已知ABCD是正方形，E是AB的中点，将DAE和CBE分别沿DE、CE折起，使AE与BE重合，A、B两点重合后记为点P，那么二面角PCDE的大小为导学号
3、64150837 ()A30B45C60D90答案A解析取CD中点F，由二面角定义知PFE为其平面角，设PEa，则EF2a，sin，二面角PCDE为30.6在边长为a的正三角形ABC中，ADBC于D，沿AD折成二面角BADC后，BCa，这时二面角BADC的大小为导学号 64150838 ()A30B45C60D90答案C解析BDC就是二面角BADC的平面角cosBDC，BDC60.二、填空题7如图，二面角l的大小是60，线段AB.Bl，AB与l所成的角为30，则AB与平面所成的角的正弦值是_导学号 64150839答案解析过点A作平面的垂线，垂足为C，在平面内过C作l的垂线垂足为D，连结AD，
4、由三垂线定理可知ADl，故ADC为二面角l的平面角，为60，又由已知，ABD30，连结CB，则ABC为AB与平面所成的角设AD2，则AC，AB4，sinABC.8正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为23，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_导学号 64150840答案60解析设一个侧面面积为S1，底面面积为S，则这个侧面在底面上射影的面积为，由题意，得，设侧面与底面所成二面角为，则cos，60.三、解答题9(2016山东理，17)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O 的直径，FB是圆台的一条母线(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；(2
5、)已知EFFBAC2，ABBC求二面角FBCA的余弦值解析(1)设FC的中点为I，连接GI，HI，在CEF中，因为点G是CE的中点，所以GIEF又EFOB，所以GIOB在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC又HIGII，OBBCB，所以平面GHI平面ABC因为GH平面GHI，所以GH平面ABC(2)解法一连接OO，则OO平面ABC又ABBC，且AC是圆O的直径，所以BOAC以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz由题意得B(0,2，0)，C(2，0,0)过点F作FM垂直OB于点M，所以FM3，可得F(0，3)故(2，2，0)，(0，3)设m(x，y，z)是平面BCF的法向量，
6、由可得可得平面BCF的一个法向量m(1,1，)因为平面ABC的一个法向量n(0,0,1)，所以cosm，n所以二面角FBCA的余弦值为解法二连接OO，过点F作FM垂直OB于点M，则有FMOO又OO平面ABC，所以FM平面ABC，可得FM3过点M作MN垂直BC于点N，连接FN可得FNBC，从而FNM为二面角FBCA的平面角又ABBC，AC是圆O的直径，所以MNBMsin45，从而FN，可得cosFNM所以二面角FBCA的余弦值为一、选择题1二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为导学号 6415
7、0842()A150B45C60D120答案C解析由条件，知0，0，.|2|2|2|2222624282268cos，(2)2，cos，即，120，二面角的大小为60，故选C.2如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA面ABCD，PAADAC，点F为PC中点，则二面角CBFD的正切值为导学号 64150843 ()A.B.C.D.答案D解析如图所示，连接BD，ACBDO，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，设PAADAC1，则BD，B，F，C，D(，0,0)，结合图形可知，且为平面BOF的一个法向量，由，(，0，)，可求得平面BCF
8、的一个法向量n(1，)cosn，sinn，tann，.3.如图所示，M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E，现将ADE沿DE折起，使二面角ADEB为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M，N的连线与AE所成的角的大小为导学号 64150844 ()A45B90C135D180答案B解析建系如图所示，由题意知ABE为等腰直角三角形，设CD1，则BE1，AB1，AE，设BCDE2a，则E(0,0,0)，A(1,0,1)，N(1，a,0)，D(0,2a,0)，M(，a，)，所以(，0，)，(1,0，1)，所以(，0，)(1,0，1)0.故，从而MN与AE所成的角为90.4三棱锥
9、SABC中， SBASCA90，ABC是斜边ABa的等腰直角三角形，则以下结论中：异面直线SB与AC所成的角为90；直线SB平面ABC；平面SBC平面SAC；点C到平面SAB的距离是a.其中正确结论的个数为导学号 64150845 ()A1个B2个C3个D4个答案D解析由题意知AC平面SBC，故ACSB，SB平面ABC，平面SBC平面SAC，故正确；取AB的中点E，连结CE，可证得CE平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离，其值为a，故正确二、填空题5在正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长都相等，E为BB1的中点，则平面AEC与平面ABC的夹角为_导学号 64150846答案解析以A
10、C中点为空间坐标系原点建系，平面ABC的法向量n1(0,0,1)，由(0，1,0)，(，1,1)n2(1,0，)cosn1，n2，n1，n2.6设平面ABC的一个法向量为m(1,1,0)，平面ABD的一个法向量为n(1,0，1)，则二面角CABD的大小为_导学号 64150847答案60或120解析由二面角定义得cos，60或120.即二面角CABD的大小为60或120.7已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于_导学号 64150848答案解析本小题考查的内容是二面角的求法，可采用几何法或
11、向量法方法一：(几何法)如图，延长FE交BC于P，则AP为面AEF与面ABC的交线，连结AC，PBBC，CAP90.由三垂线定理，FAP90，FAC为二面角的平面角tanFAC.方法二：(向量法)建立如图，令棱长为3，A(3,0,0)，E(3,3,1)，F(0,3,2)，平面ABC的法向量为(0,0,1)，设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，令x1，z3，y1，n(1，1,3)，令平面夹角为，cos，sin，tan.三、解答题8.如图所示，甲站在水库底面上的点A，乙站在水坝斜面上的点B.从A、B到直线l(库底与水坝CD的交线)的距离AC和BD分别是a和b，CD长度为c，甲乙之间拉紧的绳长为
12、d.求库底水坝所成二面角的余弦值导学号 64150849解析由ACa，CDc，BDb，ABd.(化为向量问题)根据向量的加法法则，(进行向量运算)d22()22222()a2c2b22a2c2b22.于是，得2a2b2c2d2.设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角因此2abcosa2b2c2d2.所以cos.9(2015陕西理，18)如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2. 导学号 64150850 图1 图2(1)证明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面
13、A1BC与平面A1CD夹角的余弦值解析(1)在题图1中，因为ABBC1，AD2，E是AD的中点，BAD，所以BEAC，即在题图2中，BEOA1，BEOC，从而BE平面A1OC，又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC为二面角A1BEC的平面角，所以A1OC.如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为A1BA1EBCED1，BCED，所以B(，0,0)，E(，0,0)，A(0,0，)，C(0，0)，得BC(，0)，A1C(0，)，CDBE(，0,0)设平面A1BC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD夹角为，则，得，取n1(1,1,1)；又，得，取n2(0,1,1)，从而cos |cosn1，n2|，即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为.