1、第九章单元质量评估一、单项选择题(每小题5分，共40分)1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A60，c2，b1，则a(B)A1 B. C2D3解析：由余弦定理得a2b2c22bccosA142123，从而a.2ABC中，a2，A30，C45，则SABC(C)A.B2 C.1 D.(1)解析：ABC180，B105，且sin105sin75sin(3045)sin30cos45cos30sin45.又由正弦定理：c2.SABCacsinB1.3在ABC中，已知三边a，b，c满足a2abc2b2，则C等于(A)A. B. C. D.解析：由已知得a2b2c2ab，cosC，故C.故
2、选A.4钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC(B)A5 B. C2D1解析：由题意可得ABBCsinB，又AB1，BC，所以sinB，所以B45或B135，当B45时，由余弦定理可得AC1，此时ACAB1，BC，易得A90，与已知条件“钝角三角形”矛盾，舍去所以B135.由余弦定理可得AC.5ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，则C(C)A. B. C. D.解析：根据题意及三角形的面积公式知absinC，所以sinCcosC，所以C.故选C.6已知ABC的三边长分别为a，b，则此三角形中最大的内角为(C)A. B. C. D.或解析：因为a，b，所以AB
3、C中最大的边为，从而最大的内角为C，由余弦定理得cosC，所以C，故选C.7在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanB，则tanB(D)A. B.1 C2D2解析：由余弦定理得a2c2b22accosB，由，得accosB，所以tanB2.故选D.8如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15， 向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45，若CD50 m，山坡的坡角为，则cos(C)A.B2 C.1 D.解析：在ABC中，由正弦定理可知BC50()(m)在BCD中，由正弦定理可知sinBDC1.由题图可cossin(90)si
4、nBDC1.故选C.二、多项选择题(每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9由下列条件求解ABC，其中有两解的是(BD)Aa10，B45，C75Ba8，b6，B30Ca30，c28，B60Da4，b4，A45解析：A中，已知两角和一边，ABC只有一解；C中，已知两边及夹角，ABC只有一解；B中，asinB8sin304，asinBb6a，ABC有两解；D中，bsinA4sin4542，bsinAa4b4，ABC有两解10若将直角三角形的三边都增加同样的长度，则对这个新三角形的形状的说法不正确的是(BCD)A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形D由增加的长度决
5、定解析：设三边增加的长度均为x，原三角形的三边长分别为a，b，c，且c2a2b2，abc，新的三角形的三边长分别为ax，bx，cx，显然cx为最大边，其对应的角最大，而(ax)2(bx)2(cx)2x22(abc)x0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值大于0，则这个角为锐角，那么新的三角形为锐角三角形11在ABC中，A，BC3，则ABC的周长不可能为(ABC)A4sin3B4sin3C6sin3D6sin3解析：A，BC3，设周长为x，由正弦定理，知，由合分比定理，知，即.2sinBsin(AB)x，即x323232323636sin.12在钝角三角形ABC中，若sinAsinBsinC
6、，则下列关系不正确的是(ABD)AcosAcosC0BcosBcosC0CcosAcosB0DcosAcosBcosC0解析：sinAsinBsinC，C为钝角，cosC0，cosA0，cosB0，cosAcosC0，cosBcosC0，cosAcosB0，cosAcosBcosC0.三、填空题(每小题5分，共20分)13在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a1，B45，SABC2，则ABC外接圆的直径为5.解析：由题意得acsinB2，1csin452，c4.由余弦定理，得cosB，解得b5.由正弦定理，得2R，2R5.14如图所示，一块三角形土地ABC，AD是一条小路，
7、BC5 m，AC4 m，cosCAD，ADBD，则该土地的面积是m2.解析：设CDx，则ADBD5x.在CAD中，由余弦定理，可知cosCAD，解得x1.CD1，ADBD4.在CAD中，由正弦定理，可知，sinC4.SABCACBCsinC45(m2)15在ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，B，且a22a(sinBcosB)40，b2，则a_2_，ABC的面积为2.(本题第一空2分，第二空3分)解析：B，a22a(sinBcosB)4a22a()4a24a4(a2)20，a2.由余弦定理得b2a2c22accosB，284c22c，c4.SABCacsinB242.16设ABC的
8、内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是_.(写出所有正确命题的序号)若a2b2c2，则ABC为锐角三角形；若ABC123，则abc123；若sinAsinB，则AB；若b2ac，则cos(AC)cosBcos2B1.解析：由a2b2c2，仅能判断C为锐角，A，B未知，错；由ABC123，知A，B，C，abcsinAsinBsinC112，错；由sinAsinB，根据正弦定理得，即ab，则AB，正确；b2ac，由正弦定理得sin2BsinAsinC，cos(AC)cosBcos2Bcos(AC)cos(AC)cos2B2sinAsinC12sin2B1，正确故填.四、解答题(
9、写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17(10分)在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinBb.(1)求角A的大小；(2)若a6，bc8，求ABC的面积解：(1)由2asinBb及正弦定理，得sinA.因为A是锐角，所以A.(2)由余弦定理，得a2b2c22bccosA，即b2c2bc36.又bc8，所以bc.则ABC的面积SbcsinA.18(12分)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1.ABC的面积为，求cosA与a的值解：由三角形面积公式，得31sinA，故sinA.因为sin2Acos2A1，所以cosA.当cosA时
10、，由余弦定理得a2b2c22bccosA32122138，所以a2.当cosA时，由余弦定理得a2b2c22bccosA3212213()12.所以a2.19(12分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinBsinC)2sin2AsinBsinC.(1)求A；(2)若ab2c，求sinC.解：(1)由已知得sin2Bsin2Csin2AsinBsinC，由正弦定理，得b2c2a2bc，由余弦定理，得cosA，0A180，A60.(2)由(1)知B120C，由已知及正弦定理，得sinAsin(120C)2sinC，即cosCsinC2sinC，cos(C60).0C120，si
11、n(C60)，sinCsin(C6060)sin(C60)cos60cos(C60)sin60.20(12分)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且(sinBsinCsinA)(sinBsinCsinA)sinBsinC，b和c是关于x的方程x29x25cosA0的两根(bc)(1)求cosA的值；(2)判断ABC的形状解：(1)由正弦定理得(bca)(bca)bc，即b2c2a2bc，由余弦定理得cosA.(2)由(1)知cosA，则方程x29x25cosA0可化为x29x200，解得x5或x4.bc，b5，c4，由余弦定理得a2b2c22bccosA9，a3.b2a2c2，A
12、BC为直角三角形21(12分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinbsinA.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围解：(1)由已知及正弦定理得sinAsinsinBsinA.因为sinA0，所以sinsinB.由ABC180，可得sincos，故cos2sincos，因为cos0，所以sin，所以B60.(2)由已知及(1)知ABC的面积SABCa，又AC180B120，由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.结合AC120，得30C90，所以a2，从而SABC.因此，ABC面积的取值范围是.22(12分)某港口O要
13、将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20 n mile的A处，并正以30 n mile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v n mile/h的航行速度匀速行驶，经过t h与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30 min内(含30 min)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值解：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向如图，设小艇与轮船在C处相遇在RtOAC中，OC20cos3010(n mile)，AC20sin3010 (n mile)又AC30t n mile，OCvt n mile，此时，轮船航行时间t(h)，v30 (n mile/h)，即小艇以30 n mile/h的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)如图，设小艇与轮船在B处相遇，由题意，可得(vt)2202(30t)222030tcos(9030)化简，得v29004002675.因为0t，即2，所以当2时，v取得最小值10，即小艇航行速度的最小值为10 n mile/h.