1、 1 20192020 学年第一学期高三期中调研试卷数 学(满分 160 分，考试时间 120 分钟)201911一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1.已知集合 A2，1，0，1，2，Bx|x0，则 AB_2.已知复数 z 满足 z2ii(i 为虚数单位)，则复数 z 的实部为_3.已知向量 a(x，2)，b(2，1)，且 ab，则实数 x 的值是_4.函数 ylg（x1）2x的定义域为_5.在等比数列an中，a11，a48，Sn 是an的前 n 项和，则 S5_6.已知 tan 2，则sin cos 2sin 的值为_7.“x2”是“x1”的_条件(选填“充分不必
2、要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)8.已知函数 ysin 2x 图象上的每个点向左平移(02)个单位长度得到函数 ysin(2x6)的图象，则 的值为_9.设函数 f(x)ex，x0，2x1，x0，则不等式 f(x2)f(x2)的解集为_10.已知函数 f(x)ln xmx的极小值大于 0，则实数 m 的取值范围是_11.在各项都为正数的等差数列an中，已知 a53，则 a3a7 的最大值为_12.已知菱形 ABCD 的棱长为 3，E 为棱 CD 上一点且满足CE2ED.若AE EB6，则 cos C_13.若方程 cos(2x6)35在(0，)上的解为 x1，x2，则 cos
3、(x1x2)_14.已知函数 f(x)3x2x3，g(x)ex1aln x若对于任意 x1(0，3)，总是存在两个不同的 x2，x3(0，3)，使得 f(x1)g(x2)g(x3)，则实数 a 的取值范围是_二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15.(本小题满分 14 分)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，C120，c7，ab2.(1)求 a，b 的值；(2)求 sin(AC)的值 2 16.(本小题满分 14 分)已知向量 a(cos x，3cos x)，b(cos x，sin x)(1)若 ab，x0，2，求
4、x 的值；(2)若 f(x)ab，x0，2，求 f(x)的最大值及相应 x 的值 3 17.(本小题满分 14 分)已知等比数列an满足 a22，且 a2，a31，a4 成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn|an2n1|，求数列bn的前 n 项和 Tn.4 18.(本小题满分 16 分)如图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧 CD，下部是一个矩形 ABCD，圆弧 CD 所在圆的圆心为 O.经测量 AB4 m，BC 33m，COD120，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形 EFGH，其中 E，F 在边 AB 上，G，H 在圆弧 CD 上设OGF，矩形 EFGH的面积为 S.(1)求
5、矩形 EFGH 的面积 S 关于变量 的函数关系式；(2)求 cos 为何值时，矩形 EFGH 的面积 S 最大？5 19.(本小题满分 16 分)已知函数 f(x)x 1x.(1)求 f(x)的图象在 x1 处的切线方程；(2)求函数 F(x)f(x)x 的极大值；(3)若 af(x)ln x 对 x(0，1恒成立，求实数 a 的取值范围 6 20.(本小题满分 16 分)已知数列an满足(n1)an1nana1，nN*.(1)求证：数列an为等差数列；(2)设数列an的前 n 项和为 Sn.若 a2a11，且对任意的正整数 n，都有13 1S1 1S2 1S3 1Sn43，求整数 a1 的
6、值；7(3)设数列bn满足 bnan 310.若 a2a115，且存在正整数 s，t，使得 asbt 是整数，求|a1|的最小值.8 高三数学附加题试卷(一)第页(共 2 页)(这是边文，请据需要手工删加)20192020 学年第一学期高三期中调研试卷(一)数学附加题(满分 40 分，考试时间 30 分钟)21.【选做题】从 A，B，C 三小题中选做两题，每小题 10 分，共 20 分若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A.(选修 42：矩阵与变换)已知二阶矩阵 Ma13b的特征值 1 所对应的一个特征向量为1 3.(1)求矩阵 M；(2)设曲线 C 在变
7、换矩阵 M 作用下得到的曲线 C的方程为 y2x，求曲线 C 的方程B.(选修 44：坐标系与参数方程)已知曲线 C 的极坐标方程为 2cos 2 3sin(为参数)，直线 l 的参数方程为x1tcos，ytsin(t 为参数，02)若曲线 C 被直线 l 截得的弦长为 13，求 的值C.(选修 45：不等式选讲)设正数 a，b，c 满足 abc1，求证：abc bca cab32.9【必做题】第 22，23 题，每小题 10 分，共 20 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22.某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是 112
8、，乙、丙二人都击中目标的概率是14.甲、乙、丙是否击中目标相互独立(1)求乙、丙二人各自击中目标的概率；(2)设乙、丙二人中击中目标的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望23.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BAC90，ABACa，AA1b，点 E，F分别在棱 BB1，CC1 上，且 BE13BB1，C1F13CC1.设 ba.(1)当 3 时，求异面直线 AE 与 A1F 所成角的大小；(2)当平面 AEF平面 A1EF 时，求 的值 10 高三数学试卷(一)参考答案 第页(共 4 页)20192020 学年第一学期高三期中调研试卷(苏州)数学参考答案及评分标准1.1，2 2.1
9、 3.1 4.(1，2)5.31 6.25 7.充分不必要 8.12 9.(1，2)10.(，1e)11.9 12.13 13.35 14.1，e2ln 34)15.解：(1)由余弦定理 cos Ca2b2c22ab，且 c7，C120得 a2b2ab49.(3 分)因为 ab2，所以 b22b150.(5 分)因为 b0，所以 b3，a5.综上：a5，b3.(7 分)(2)由(1)知 a5，b3，c7，所以 cos Ba2c2b22ac1314.(10 分)因为 B 为ABC 的内角，所以 sin B 1cos2B3 314.(12 分)因为 sin(AC)sin(B)sin B3 314，
10、所以 sin(AC)的值为3 314.(14 分)16.解：(1)因为 a(cos x，3cos x)，b(cos x，sin x)，ab，所以 cos xsin x 3cos2x，所以 cos x(sin x 3cos x)0，(2 分)所以 cos x0 或 sin x 3cos x0，即 cos x0 或 tan x 3.(4 分)因为 x0，2，所以 x2 或 x3.(6 分)(2)因为 a(cos x，3cos x)，b(cos x，sin x)，所以 f(x)abcos2x 3cos xsin x(8 分)1cos 2x2 32 sin 2xsin(2x6)12.(10 分)因为
11、x0，2，所以 2x6 6，76，所以 sin(2x6)12，1，所以 f(x)0，32，(12 分)所以 f(x)的最大值为32，此时 x6.(14 分)17.解：(1)设等比数列an的公比为 q(不为 0)，因为 a2，a31，a4 成等差数列，所以 2(a31)a2a4.(1 分)因为 a22，所以 2(2q1)22q2，解得 q2 或 q0(舍去)，所以 a1a2q1，(3 分)所以数列an的通项公式为 an2n1.(5 分)(2)设 cnan2n12n12n1，11 所以 cn1cn2n2(n1)1(2n12n1)2n12，所以 n3，cn1cn.(7 分)因为 c410，所以 n4
12、 时，cn0，即 n4 时，bncn2n12n1.因为 c10，c21，c31，所以 b10，b21，b31，所以 T10，T21，T32.(10 分)当 n4 时，Tnb1b2b3b4bn(011)b4b5bn2(23242n1)(792n1)223（12n3）1272n12(n3)2nn23.(13 分)综上，Tn0，n1，1，n2，2，n3，2nn23，n4.(14 分)18.解：(1)如图，作 OPCD 分别交 AB，GH 于 M，N.由四边形 ABCD，EFGH 是矩形，O 为圆心，COD120，所以 OMAB，ONGH，点 P，M，N 分别为 CD，AB，GH 的中点，CON60.
13、在 RtCOP 中，CP2，COP60，所以 OC4 33，OP2 33，所以 OMOPPMOPBC 33.(3 分)在 RtONG 中，GONOGF，OGOC4 33，所以 GN4 33 sin，ON4 33 cos，所以 GH2GN8 33 sin，GFMNONOM4 33 cos 33，(6 分)所以 SGFGH(4 33 cos 33)8 33 sin 83(4cos 1)sin，(0，3)，所以 S 关于 的函数关系式为 S83(4cos 1)sin，(0，3)(8 分)(2)S83(4cos24sin2cos)83(8cos2cos 4)(10 分)因为(0，3)，所以 cos(1
14、2，1)，所以 S0，得 cos 1 12916(12，1)(12分)设 0(0，3)且 cos 01 12916，12 所以由 S0，得 00，即 S 在(0，0)上单调递增，由 S0，得 03，即 S 在(0，3)上单调递减，(14 分)所以当 0 时，S 取得最大值，所以当 cos 1 12916时，矩形 EFGH 的面积 S 最大(16 分)19.解：(1)因为 f(x)x 1x，所以 f(x)12 x12x x，所以 f(1)1.(2 分)因为 yf(x)经过(1，0)，所以 f(x)的图象在 x1 处的切线方程为 yx1.(4 分)(2)因为 F(x)x 1xx，x0，所以 F(x
15、)12 x12x x1，F(x)在(0，)上递减又 F(1)0，(5 分)所以当 x(0，1)时，F(x)0，即 F(x)在 x(0，1)上递增；当 x(1，)时，F(x)0，即 F(x)在 x(1，)上递减，(7 分)所以在 x1 处，F(x)的极大值为 F(1)1.(8 分)(3)设 g(x)ln xaf(x)ln xa(x 1x)，x(0，1，所以 g(x)1xa2(1x 1x x)a（x）22 xa2x x.当 a0 时，g(x)0 对 x(0，1恒成立，所以 g(x)在(0，1上递增又 g(1)0，所以x0(0，1)时，g(x0)0，这与 af(x)ln x 对 x(0，1恒成立矛盾
16、；(10分)当 a1 时，设(x)a(x)22 xa，x(0，1，44a20，所以(x)0，x(0，1，所以 g(x)0 对(0，1恒成立，所以 g(x)在(0，1上递减又 g(1)0，所以 g(x)0 对 x(0，1恒成立，所以 a1 成立；(12 分)当 0a1 时，设(x)a(x)22 xa，x(0，1，44a20，解(x)0得两根为 x1，x2，其中 x21 1a2a1，x11 1a2aa1 1a2(0，1)，所以 0 x11，x21，所以 x(x1，1)，(x)0，g(x)0，所以 g(x)在(x1，1)上递增又 g(1)0，所以 g(x1)0，这与 af(x)ln x 对 x(0，
17、1恒成立矛盾(15 分)综上：a1.(16 分)20.(1)证明：因为(n1)an1nana1，nN*，所以(n2)an(n1)an1a1，n2 且 nN*.，得(n1)an12(n1)an(n1)an10，n2 且 nN*，(2 分)所以 an12anan10，n2 且 nN*，所以 an1ananan1a2a1，所以数列an为等差数列(4 分)(2)解：因为 a2a11，所以an的公差为 1.因为对任意的正整数 n，都有13 1S1 1S2 1S3 1Sn43，13 所以13 1S143，所以34S13，即34a13，所以 a11 或 2.(6 分)当 a11 时，a22，S11，S23，
18、所以 1S1 1S211343，这与题意矛盾，所以 a11；(7 分)当 a12 时，ann1，Snn（n3）20，1S11213，1S1 1S2 1S3 1Sn13恒成立(8分)因为 1Sn23(1n 1n3)，1S1 1S2 1S3 1Sn23(11412151316 1n2 1n1 1n1 1n21n 1n3)23(11213 1n1 1n2 1n3)119 43.综上，a1 的值为 2.(10 分)(3)解：因为 a2a115，所以an的公差为15，所以 ana115(n1)，所以 bna115n 110.(11 分)由题意，设存在正整数 s，t，使得 asbtl，lZ，则 a1s515a1t5 110l，即 20a12(5lst)1.因为 5lstZ，所以 2(5lst)是偶数，所以|20a1|1，所以|a1|120.(14 分)当 a1 120时，b41920，所以存在 a1b41Z.综上，|a1|的最小值为 120.(16 分)14
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