1、课时素养检测十二正切函数的性质与图像(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分)1.函数y=tan的最小正周期是()A.4B.4C.2D.2【解析】选D.T=2.2.与函数y=tan的图像不相交的一条直线是()A.x=B.y=C.x=D.y=【解析】选C.令2x+=k+(kZ),得x=+(kZ).令k=0,得x=.3.函数y=|tan 2x|是()A.周期为的奇函数B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为的偶函数【解析】选D.f(-x)=|tan(-2x)|=|tan 2x|=f(x)为偶函数,T=.4.函数f(x)=tan的图像的一个对称中心是()A.B.C.D.【解析】选A.
2、由正切函数的对称中心(kZ)可以推出f(x)对称中心的横坐标满足x+=x=-+(kZ),代入四个选项中可知,当k=1时,x=.故是图像的一个对称中心,选A.5.函数y=的定义域是()A.B.C.D.【解析】选C.要使函数有意义,只要lotan x0,即0tan x1.由正切函数的图像知,kxk+,kZ.6.函数y=tan(cos x)的值域是()A.B.C.-tan 1,tan 1D.以上均不对【解析】选C.因为-1cos x1,且函数y=tan x在-1,1上为增函数,所以tan(-1)tan xtan 1.即-tan 1tan xtan 1.二、填空题(每小题4分,共8分)7.函数f(x)
3、=tan的定义域是,f=.【解析】由题意知x+k+(kZ),即x+k(kZ).故定义域为,且f=tan=.答案:【补偿训练】函数y=3tan(+x),-x的值域为.【解析】函数y=3tan(+x)=3tan x,因为正切函数在上是增函数,所以-30,所以函数的增区间为(kZ).答案:(kZ)三、解答题(每小题14分,共28分)9.求下列函数的定义域:y=.【解析】由-tan x0得tan x.结合y=tan x的图像可知,在上,满足tan x的角x应满足-x,所以函数y=的定义域为.10.已知f(x)=tan,(1)求f(x)的最小正周期.(2)若f(x+)是奇函数,则应满足什么条件?并求出满
4、足|的值.【解析】(1)方法一:因为y=tan x的周期是.所以y=tan的周期是.方法二:由诱导公式知:tan=tan=tan,即f=f(x).所以f(x)的周期是.(2)因为f(x+)=tan是奇函数,所以图像关于原点中心对称,所以+2=(kZ),所以=-(kZ).令(kZ),解得-k0)的图像的相邻两支截直线y=所得线段长为,则f的值是()A.0B.-C.-1D.【解析】选A.由题意,可知T=,所以=4,即f(x)=tan 4x,所以f=tan =0.3.函数y=3tan的图像的一个对称中心是()A.B.C.D.(0,0)【解析】选C.因为y=tanx的图像的对称中心为,kZ.由x+=,
5、kZ,得x=k-,kZ,所以函数y=3tan的图像的对称中心是,kZ.令k=0,得.4.设a=lotan 70,b=losin 25,c=,则有()A.abcB.bcaC.cbaD.actan 45=1,所以a=lotan 700.又0sin 25lo=1,而c=(0,1),所以bca.二、填空题(每小题4分,共16分)5.函数y=-tan x的单调递减区间是.【解析】因为y=tan x与y=-tan x的单调性相反,所以y=-tan x的单调递减区间为(kZ).答案:(kZ)6.已知,且1+tan 0,则角的取值范围是.【解析】1+tan 0,所以tan -1,作出正切函数y=tan ,y=
6、-1的图像,由图像可得,当时,满足不等式的角的范围是,即的取值范围是.答案:【补偿训练】若tan x-,则x的取值范围是.【解析】作出y=tan x,x的图像,如图所示.令y=-,得x=-,所以在(-,)中满足不等式tan x-的x的取值范围为.由正切函数周期性可知,原不等式的解集为(kZ).答案:(kZ)7.不等式tan-1的解集是.【解析】由正切函数的图像,可知-+k2x+k(kZ),所以原不等式的解集为.答案:8.关于函数f(x)=tan,有以下命题:函数f(x)的周期是;函数f(x)的定义域是;y=f(x)是奇函数;y=f(x)的一个单调递增区间为.其中,正确的命题是.【解析】f(x)
7、=tan的周期T=,故正确;定义域为,故不正确;f(x)是非奇非偶函数,故不正确;f(x)的单调递增区间为,故不正确.答案:三、解答题(共38分)9.(12分)函数f(x)=tan(3x+)图像的一个对称中心是,其中0,试求函数f(x)的单调区间.【解析】由于函数y=tan x的对称中心为,其中kZ.故令3x+=,其中x=,即=-.由于0,所以当k=2时,=.故函数解析式为f(x)=tan.由于正切函数y=tan x在区间(kZ)上为增函数.则令k-3x+k+,kZ,解得-x1.(2)-tan x1的区间是.又由正切函数的最小正周期为,可知满足tanx1的x的取值范围是(kZ).(2)观察正切
8、曲线(图略),可知tan=-,tan=.在区间内,满足-tan x的区间是.又由正切函数的最小正周期为,可知满足-tan x的x的取值范围是(kZ).10.(12分)已知函数f(x)=x2+2xtan -1,x-1,其中.(1)当=-时,求函数f(x)的最大值与最小值.(2)求的取值范围,使y=f(x)在区间-1, 上是单调函数.【解析】(1)当=-时,f(x)=x2-x-1=-,x-1, .所以当x=时,f(x)的最小值为-;当x=-1时,f(x)的最大值为.(2)函数f(x)=(x+tan )2-1-tan2的图像的对称轴为x=-tan .因为y=f(x)在区间-1,上是单调函数,所以-tan -1或-tan ,即tan 1或tan -.又,所以的取值范围是.11.(14分)设函数f(x)=tan.(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心.(2)求不等式-1f(x)的解集.【解析】(1)由-+k(kZ),得x+2k(kZ).所以f(x)的定义域是.因为=,所以最小正周期T=2.由-+k-+k(kZ),得-+2kx+2k(kZ).所以函数f(x)的单调递增区间是(kZ).由-=(kZ),得x=k+(kZ),故函数f(x)的对称中心是.(2)由-1tan,得-+k-+k(kZ),解得+2kx+2k(kZ).所以不等式-1f(x)的解集是.