1、学业分层测评（四）(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为()ABC90D180【解析】根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图知，故应选B.【答案】B2在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是每分钟20 m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为()A15B30 C45D60【解析】如图所示，sinCAB，CAB30.【答案】B3我舰在敌岛A处南偏西50的B处，且A、B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用
2、2小时追上敌舰，则速度大小为()A28海里/小时B14海里/小时C14海里/小时D20海里/小时【解析】如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，在ABC中，AC10220(海里)，AB12海里，BAC120，BC2AB2AC22ABACcos 120784，BC28海里，v14海里/小时【答案】B4地上画了一个角BDA60，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为()A14米B15米 C16米D17米【解析】如图，设DNx m，则142102x2210xcos 60，x210x960
3、.(x16)(x6)0.x16或x6(舍)N与D之间的距离为16米【答案】C二、填空题5(2015湖北高考)如图1226，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD m.图1226【解析】由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)【答案】1006某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处，然后朝南偏西60方向航行3海里到达C处，
4、若A处与C处的距离为海里，则x的值为 【解析】x292x3cos 30()2，解得x2或x.【答案】或27一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为 km. 【导学号：05920062】【解析】如图所示，依题意有AB15460，MAB30，AMB45，在AMB中，由正弦定理得，解得BM30(km)【答案】308一船自西向东航行，上午10：00到达灯塔P的南偏西75、距塔68 n mile的M处，下午14：00到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为 n mile/h.【解析】
5、如图，由题意知MPN7545120，PNM45.在PMN中，由正弦定理，得，MN6834.又由M到N所用时间为14104(h)，船的航行速度v(n mile/h)【答案】三、解答题9平面内三个力F1、F2、F3作用于同一点且处于平衡状态已知F1、F2的大小分别为1 N、 N，F1与F2的夹角为45，求F3的大小及F3与F1的夹角的大小【解】如图，设F1与F2的合力为F，则F3F.BOC45，ABO135.在OBA中，由余弦定理得|F|2|F1|2|F2|22|F1|F2|cos 13542.|F|1，即|F3|1.又由正弦定理得sinBOA.BOA30.BOD150.故F3的大小为(1)N，F
6、1与F3的夹角为150.10. (2016焦作模拟)如图1227，正在海上A处执行任务的渔政船甲和在B处执行任务的渔政船乙，同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40方向距渔政船甲70 km的C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20方向的B处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援，渔政船乙仍留在B处执行任务，渔政船甲航行30 km到达D处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙)，此时B、D两处相距42 km，问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔
7、船丙所在的位置C处实施营救图1227【解】设ABD，在ABD中，AD30，BD42，BAD60.由正弦定理得，sin sinBADsin 60，又ADBD，060，cos ，cosBDCcos(60).在BDC中，由余弦定理得BC2DC2BD22DCBDcosBDC40242224042cos(60)3 844，BC62 km，即渔政船乙要航行62 km才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救能力提升1(2016湖南师大附中期中)为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C，D两点处进行测量在C点测得塔底B在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿着南偏东40方向前进10米到D点，测得塔顶的仰角为30，则塔
8、的高度为()A5米B10米 C15米D20米【解析】如图，由题意得，AB平面BCD，ABBC，ABBD.设塔高ABx，在RtABC中，ACB45，所以BCABx，在RtABD中，ADB30，BDx，在BCD中，由余弦定理得BD2CB2CD22CBCDcos 120，(x)2x210010x，解得x10或x5(舍去)，故选B.【答案】B2甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()A.分钟 B.分钟C21.5分钟D2.15小时【解析】如图，设t小时后甲行驶到D处，则
9、AD104t，乙行驶到C处，则AC6t.BAC120，DC2AD2AC22ADACcos 120(104t)2(6t)22(104t)6tcos 12028t220t100282.当t时，DC2最小，即DC最小，此时它们所航行的时间为60分钟【答案】A3如图1228所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos .图1228【解析】在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理知BC2AB2AC22ABACcos 1202 8
10、00BC20.由正弦定理sinACBsinBAC，BAC120，则ACB为锐角，cosACB.由ACB30，则cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.【答案】4如图1229，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A出发沿东偏北60方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿东偏北的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上图1229(1)求该军舰艇的速度；(2)求sin 的值【解】(1)依题意知，CAB120，AB1002200，AC120，ACB，在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosCAB200212022200120cos 12078 400，解得BC280.所以该军舰艇的速度为140海里/小时(2)在ABC中，由正弦定理，得，即sin .