1、第36讲等差数列的概念及基本运算1理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式，前n项和公式及其性质 知识梳理1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，首项记作a1，公差记作d.符号表示为an1and(nN*，d为常数)(2)通项公式：如果等差数列an的首项为a1，公差为d，则它的通项公式是ana1(n1)d.(3)等差中项：如果三数a，A，b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项即A.2等差数列an的常用性质(其中m，n，p，qN*)(1)anam(nm)d.(2)若mnpq，则amanapaq.特例：若mn2p，则
2、aman2ap.(3)等差数列的单调性：若公差d0，则数列为递增数列；若d0，d0，则Sn存在最大值；若a10，则Sn存在最小值 热身练习1若ananb(其中a，b为常数，nN*)，则数列an是(C)A当a0时，才是等差数列B当b0时，才是等差数列C一定是等差数列D不一定是等差数列 因为an1ana(nN*)，由定义知，an一定是等差数列，故选C.2在等差数列an中，若a24，a42，则a6(B)A1 B0C1 D6 设数列an的公差为d，由a24，a42，a4a22d，得242d，所以d1.所以a6a4(64)da42d220.3在等差数列an中，若前10项的和S1060，a77，则a4(C
3、)A4 B4 C5 D5 因为S1060，a77，所以 解得 所以a4a13d5.4设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5(A)A5 B7C9 D11 a1a3a53a33，所以a31，S55a35.5中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2018，则该数列的首项为2. 设首项为a1，则1010，故a12. 等差数列的基本量的计算(2017全国卷理)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1 B2C4 D8 设an的公差为d，则由得解得d4. C (1)等差数列通项公式及前n项和公式涉及5个量a1，an，d，n，Sn，知道任意3个量
4、，可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”(2)等差数列中，a1和d是两个基本量，将等差数列问题化归为基本量的关系来解决是通性解法1(2018全国卷理)记Sn为等差数列an的前n项和，若3S3S2S4，a12，则a5(B)A12 B10C10 D12 设等差数列an的公差为d，由3S3S2S4，得33a1d2a1d4a1d，将a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)10. 等差数列性质的应用(1)在等差数列an中，2(a1a3a5)3(a7a9)54，则此数列的前10项的和S10等于A45 B60C75 D90(2)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，所以a80
5、，因为a7a10a8a90，所以a9a80，a60，且a13da15d0，所以d.所以当n4或n5时，Sn取最大值，其最大值S4S542()5.(方法二)由a12，S3S6，得32d62d，解得d.所以Sn2n()(n29n)(n)2，因此，当n4或n5时，Sn取最大值5. 等差数列的判断与证明已知数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：是等差数列；(2)求an的表达式 (1)证明：因为anSnSn1(n2)，所以Sn1Sn2SnSn1，Sn0，所以2(n2)由等差数列的定义知是以2为首项，以2为公差的等差数列(2)由(1)知(n1)d2(n1)22n，所
6、以Sn.当n2时，an2SnSn1，又n1时，a1.所以an (1)等差数列的判定方法：定义法：即证明an1and(d是常数，nN*)中项公式法：即证明2an1anan2(nN*)(2)利用an可将含an与Sn的关系转化为只含an或Sn来研究3(2017全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列 (1)设an的公比为q.由题设可得解得q2，a12.故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.(方法一)由于Sn2Sn1(1)n2(1)n2Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差数列(方法二
7、)由于Sn2Sn1(Snan1an2)(Snan1)2Sn(2an1an2)2Sn2an1an1(2)2Sn.故Sn1，Sn，Sn2成等差数列1等差数列中含有五个量：a1，d，an，n，Sn，通项公式和前n项和公式是连接这五个量的关系式，通过这两个公式，知道其中任意三个可以求出另外两个但在计算时，要注意设元技巧，注意等差数列性质的运用2等差数列的证明一般采用定义法，即证明an1and.若要判定一个数列是不是等差数列还可采用如下结论：用中项公式判定：2an1anan2an是等差数列；用通项公式判定：anknban是等差数列；用求和公式判定：Snan2bnan是等差数列3等差数列的前n项和公式是特殊的二次函数关系式，对前n项和的最大值或最小值的求解可以借助函数求最值的方法进行，也可以利用数列的通项公式进行求解一般地，有如下结论：如果d0，则Sn有最小值当a10时，Sn的最小值就是S1a1；当a10时，数列中一定存在am0，而am10，Sn的最小值就是Sm；如果d0，则Sn有最大值当a10时，Sn的最大值就是S1a1；当a10时，数列中一定存在am0，而am10，Sn的最大值就是Sm.