1、课时素养评价 三十直线与平面垂直(一) (15分钟30分)1.已知m和n是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中,一定能推出m的是()A.,且mB.mn,且nC.mn,且nD.mn,且n【解析】选B.A中,由,且m,知m;B中,由n,知n垂直于平面内的任意直线,再由mn,知m也垂直于内的任意直线,所以m,B符合题意;C,D中,m或m或m与相交,不符合题意.2.若斜线段AB是它在平面内射影长的2倍,则AB与平面所成角的大小为()A.60B.45C.30D.90【解析】选A.斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形.如图所示,ABO即是斜线段与平面所成的角.又AB=2BO,所以co
2、s ABO=,所以ABO=60.3.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于()A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC【解析】选C.因为OAOB,OAOC,OBOC=O,OB,OC平面OBC,所以OA平面OBC.4.如图所示,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分别是棱DD1,D1C1的中点,则平面AB1C,平面ACC1A1,平面OCN,平面A1C1D中,与直线OM垂直的是.【解析】因为AC平面BDD1,所以ACOM,同理可证B1COM,ACB1C=C,所以OM平面AB1C;同理,OM平面A1C1D.答案:平面AB1C,平面A1C
3、1D5.如图,在直三棱柱ABC -A1B1C1中,ABAC,AB=AA1,AB1A1B=M.求证:A1B平面MAC.【证明】因为在直三棱柱ABC -A1B1C1中,ABAC,AB=AA1,A1BAB1=M,所以A1BAM,ACAA1,因为ABAA1=A,所以AC平面ABB1A1,所以ACAB1,因为AMAC=A,所以A1B平面MAC. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知直线m,n是异面直线,则过直线n且与直线m垂直的平面()A.有且只有一个B.至多一个C.有一个或无数个D.不存在【解析】选B.若异面直线m,n垂直,则符合要求的平面有一个,否则不存在.2.在正方体ABC
4、D -A1B1C1D1中,直线B1C1与平面AB1D1所成角的正弦值为()A.B.C.D.【解析】选C.如图,连接A1C交平面AB1D1于O,O为体对角线A1C的三等分点,直线B1C1与平面AB1D1所成角就是直线A1D1与平面AB1D1所成角,A1O平面AB1D1,因为B1C1A1D1,所以A1D1O即为直线B1C1与平面AB1D1所成角,设正方体的棱长为a,则A1C=a,A1O=a,sin A1D1O=.3.若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等,则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为()A.30B.45C.60D.90【解析】选B.正四棱锥S-ABCD的侧棱和底面边长相等,作SO底面ABCD,垂
5、足为O,所以SBO是该正四棱锥的侧棱和底面所成的角,设AB=a,则SB=a,OB=BD=,所以cos SBO=,所以SBO=45,所以该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为45.4.(2020南昌高一检测)如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B、C、D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有()A.AGEFH所在平面B.AHEFH 所在平面C.HFAEF所在平面D.HGAEF所在平面【解析】选B.根据折叠前、后AHHE,AHHF不变,所以AH平面EFH,B正确;因为过A只有一条直线与平面EFH垂直
6、,所以A不正确;因为AGEF,EFAH,所以EF平面HAG,所以平面HAG平面AEF,过H作直线垂直于平面AEF,一定在平面HAG内,所以C不正确;因为HG不垂直于AG,所以HG平面AEF不正确,D不正确.【补偿训练】在四面体P-ABC中,PA=PB=PC=AB=BC=CA,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,下列结论中不成立的是()A.BC平面PDFB.BC平面PAEC.DF平面PAED.AE平面APC【解析】选D.因为D,F分别为AB,AC的中点,所以DFBC,故BC平面PDF,故A项正确.又AB=AC,PB=PC,E为BC的中点,所以AEBC,PEBC,所以BC平面PAE,又DFBC
7、,所以DF平面PAE,故B、C项正确.由于AE与AP不垂直(否则,等腰三角形PAE将有两个直角),故AE与平面APC不垂直.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,下列判断正确的是()A.A1C平面AB1D1B.A1C平面AB1C1DC.A1B平面AB1D1D.A1B平面AB1C1D【解析】选AD.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,A1C1B1D1,又CC1B1D1,且A1C1CC1=C1,所以B1D1平面A1C1C,则A1CB1D1,同理A1CAB1,则A1C平面AB1D1,故A正确,B不正确;因
8、为A1BAB1,A1BAD,所以A1B平面AB1C1D,所以D正确,C不正确.6.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ垂直的是()【解析】选ABC.对于A,AB为体对角线,MN,MQ,NQ分别为棱的中点,由中位线定理可得它们平行于面对角线,连接另一条面对角线,可得AB垂直于MN,MQ,NQ,可得AB垂直于平面MNQ;对于B,AB为上底面的对角线,显然AB垂直于MN,与AB相对的下底面的面对角线平行,且与直线NQ垂直,可得AB垂直于平面MNQ;对于C,AB为前面的面对角线,显然AB垂直于MN,QN在下底面且与棱平行
9、,此棱垂直于AB所在的面,即有AB垂直于QN,可得AB垂直于平面MNQ;对于D,AB为上底面的对角线,MN平行于前面的一条对角线,此对角线与AB所成角为60,则AB不垂直于平面MNQ.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图所示,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,直线A1B与直线AC所成角的大小为;直线A1B和平面A1B1CD所成角的大小为.【解析】连接A1C1,BC1,BA1C1为等边三角形,所以直线A1B与直线AC所成角的大小为,因为四边形BCC1B1是正方形,所以BC1B1C,又DC平面BCC1B1,所以BC1CD,又因为CDB1C=C,所以BC1平面A1B1CD.设BC1交B1
10、C于O,则OA1B为直线A1B和平面A1B1CD所成的角,在RtOA1B中,sin OA1B=,所以直线A1B和平面A1B1CD所成角的大小为.答案:8.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面内,若AC与所成的角为30,则斜边上的中线CM与所成的角为.【解析】如图,设C在平面内的射影为点O,连接AO,MO,则CAO=30,CMO就是CM与所成的角.设AC=BC=1,则AB=,所以CM=,CO=,所以sin CMO=,所以CMO=45.答案:45四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,ABCD是圆柱的一个轴截面,点E是上底面圆周上的一点,已知AB=BC=5,AE=3.(1)求证:DE平面AB
11、E.(2)求直线BE与平面ADE所成角的正切值.【解析】(1)ABCD是圆柱的一个轴截面,AB平面ADE,因为ED平面ADE,所以ABED,又E在底面圆上,AD为直径,所以AEDE,又AEAB=A,所以DE平面ABE.(2)因为AB平面ADE,所以AEB为直线BE与平面ADE所成角,在RtABE中,AB=5,AE=3,所以tan AEB=.10.如图,正三棱柱ABC -A1B1C1中,底面边长为2,点D,E分别是BC,AB1的中点.(1)求证:DE平面ACC1A1;(2)若BB1=1,求证:C1D平面ADE.【证明】(1)连接A1B,A1C,因为侧面ABB1A1是矩形,点E是AB1的中点,所以
12、点E是A1B的中点,又因为点D是BC的中点,所以DEA1C,因为DE平面ACC1A1,A1C平面ACC1A1,所以DE平面ACC1A1.(2)连接B1D,在正三棱柱ABC -A1B1C1中,因为BB1平面ABC,AD平面ABC,所以 BB1AD,又因为底面ABC是等边三角形,D为BC的中点,所以BCAD,又BCBB1=B,所以AD平面B1BCC1,又C1D平面B1BCC1,所以ADC1D,由BC=2,得BD=1,又BB1=CC1=1,所以DB1=C1D=,所以D+C1D2=B1,所以C1DDB1,DB1AD=D,所以C1D平面ADB1,即C1D平面ADE.【补偿训练】已知四棱柱ABCD -A1
13、B1C1D1中,AA1底面ABCD,且底面ABCD为菱形,F为BB1的中点,M为线段AC1的中点.求证:MF平面A1ACC1.【证明】取AC的中点O,连接MO,因为M,O分别为AC1,AC的中点,所以MOCC1.又F为BB1的中点,所以BFCC1,所以MOBF,所以四边形MOBF为平行四边形,所以MFBO,因为F为BB1的中点,易得AF=C1F,又M为AC1的中点,所以MFAC1.又四边形ABCD为菱形,所以BOAC.又MFBO,所以MFAC.又AC1AC=A,所以MF平面A1ACC1. 1.如图所示,PA平面ABC,ABC中,BCA
14、C,PBA=1,PBC=2,ABC=3.则下列关系一定成立的是()A.cos 1cos 2=cos 3B.cos 1cos 3=cos 2C.sin 1sin 2=sin 3D.sin 1sin 3=sin 2【解析】选B.BC平面PAC BCPC,所以cos 1=,cos 2=,cos 3=.则有cos 1cos 3=cos 2.2.如图,正方体ABCD -A1B1C1D1中,E为棱C1D1的中点,F为棱BC的中点.(1)求证:直线AE直线A1D;(2)在线段AA1上求一点G,使得直线AE平面DFG.【解析】(1)连接AD1,BC1,由正方体的性质可知,DA1AD1,DA1AB,又ABAD1=A,所以DA1平面ABC1D1,又AE平面ABC1D1,所以DA1AE.(2)如图所示,G点即为A1点,证明如下:由(1)可知AEDA1,取CD的中点H,连接AH,EH,由DFAH,DFEH,AHEH=H,可证DF平面AHE,所以DFAE,又DFA1D=D,所以AE平面DFA1,即AE平面DFG.