1、第二章2.32.3.2一、选择题1下列命题中：两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b所成的角与这个二面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是()ABCD答案B解析对，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对，因为不垂直于棱，所以是错误的；是正确的，故选B2已知直线l平面，则经过l且和垂直的平面()A有1个B有2个C有
2、无数个D不存在答案C解析经过l的平面都与垂直，而经过l的平面有无数个，故选C3若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角()A相等B互补C相等或互补D关系无法确定答案D解析如图所示，平面EFDG平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角HDGF的大小不确定4已知、是平面，m、n是直线，给出下列表述：若m，m，则；若m，n，m，n，则；如果m，n，m，n是异面直线，那么n与相交；若m，nm，且n，n，则n且n.其中表述正确的个数是()A1B2C3D4答案B解析是平面与平面垂直的判定定理，所以正
3、确；中，m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以不正确；中，还可能n，所以不正确；中，由于nm，n，m，则n，同理n，所以正确5如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PAAC，则二面角PBCA的大小为()A60B30C45D15答案C解析由条件得：PABC，ACBC又PAACC，BC平面PAC，PCA为二面角PBCA的平面角在RtPAC中，由PAAC得PCA45，故选C6在棱长都相等的四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面ABCD平面PAE平
4、面ABC答案C解析可画出对应图形，如图所示，则BCDF，又DF平面PDF，BC平面PDF，BC平面PDF，故A成立；由AEBC，PEBC，BCDF，知DFAE，DFPE，DF平面PAE，故B成立；又DF平面ABC，平面ABC平面PAE，故D成立二、填空题7在三棱锥PABC中，已知PAPB，PBPC，PCPA，如图所示，则在三棱锥PABC的四个面中，互相垂直的面有_对.答案3解析PAPB，PAPC，PBPCP，PA平面PBC，PA平面PAB，PA平面PAC，平面PAB平面PBC，平面PAC平面PBC同理可证：平面PAB平面PAC8已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且ABAC，BC2，则二面
5、角DBCA的大小为_.答案90解析如图，由题意知ABACBDCD，BCAD2.取BC的中点E，连接DE、AE，则AEBC，DEBC，所以DEA为所求二面角的平面角易得AEDE，又AD2，所以DEA90.三、解答题9.如图所示，ABC为正三角形，CE平面ABC，BDCE，且CEAC2BD，M是AE的中点.(1)求证：DEDA；(2)求证：平面BDM平面ECA；解析(1)取EC的中点F，连接DF.CE平面ABC，CEBC易知DFBC，CEDF.BDCE，BD平面ABC在RtEFD和RtDBA中，EFCEDB，DFBCAB，RtEFDRtDBD故DEDD(2)取AC的中点N，连接MN、BN，则MN綊
6、CF.BD綊CF，MN綊BD，N平面BDM.EC平面ABC，ECBN.又ACBN，ECACC，BN平面ECD又BN平面BDM，平面BDM平面ECD10如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PDa，PAPCa，(1)求证：PD平面ABCD；(2)求证：平面PAC平面PBD；(3)求二面角PACD的正切值解析(1)PDa，DCa，PCa，PC2PD2DC2，PDDC同理可证PDAD，又ADDCD，PD平面ABCD(2)由(1)知PD平面ABCD，PDAC，而四边形ABCD是正方形，ACBD，又BDPDD，AC平面PDB同时，AC平面PAC，平面PAC平面PBD(3)设ACBD
7、O，连接PO.由PAPC，知POAC又由DOAC，故POD为二面角PACD的平面角易知ODa.在RtPDO中，tanPOD.一、选择题1设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中，正确的是()A在平面内有且只有一条直线与直线m垂直B过直线m有且只有一个平面与平面垂直C与直线m垂直的直线不可能与平面平行D与直线m平行的平面不可能与平面垂直答案B解析由题意，m与斜交，令其在内的射影为m，则在内可作无数条与m垂直的直线，它们都与m垂直，A错；如图示(1)，在外，可作与内直线l平行的直线，C错；如图(2)，m，.可作的平行平面，则m且，D错2把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则ABC是()A正三
8、角形B直角三角形C锐角三角形D钝角三角形答案A解析设正方形边长为1，AC与BD相交于O，则折成直二面角后，ABBC1，AC1，则ABC是正三角形3在二面角l中，A，AB平面于B，BC平面于C，若AB6，BC3，则二面角l的平面角的大小为()A30B60C30或150D60或120答案D解析如图，AB，ABl，BC，BCl，l平面ABC，设平面ABClD，则ADB为二面角l的平面角或补角，AB6，BC3，BAC30，ADB60，二面角大小为60或120.4如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重
9、合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()AAHEFH所在平面BAGEFH所在平面CHFAEF所在平面DHGAEF所在平面答案A解析由平面图得：AHHE，AHHF，AH平面HEF，选D二、填空题5在三棱锥PABC中，PAPBACBC2，PC1，AB2，则二面角PABC的大小为_.答案60解析取AB中点M，连接PM，MC，则PMAB，CMAB，PMC就是二面角PABC的平面角在PAB中，PM1，同理MC1，则PMC是等边三角形，PMC60.6.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD(注：只要填写一个你认为
10、正确的即可)答案BMPC(其他合理即可)解析四边形ABCD的边长相等，四边形为菱形ACBD，又PA平面ABCD，PABD，BD平面PAC，BDPC若PC平面BMD，则PC垂直于平面BMD中两条相交直线当BMPC时，PC平面BDM.平面PCD平面BDM.三、解答题7(2015湖南)如下图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E、F分别是BC、CC1的中点.(1)证明：平面AEF平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，求三棱锥FAEC的体积解析(1)如图，因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AEBB1，又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以
11、AEBC，因此AE平面B1BCC1，而AE平面AEF，所以平面AEF平面B1BCC1.(2)设AB的中点为D，连接A1D，CD，因为ABC是正三角形，所以CDAB，又三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CDAA1，因此CD平面A1AB1B，于是CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角，由题设知CA1D45，所以A1DCDAB，在RtAA1D中，AA1，所以FCAA1，故三棱锥FAEC的体积VSAECFC.8如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA.(1)证明：平面PBE平面PAB；(2)求二面角ABEP的大小解析(1)证明：如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且BCD60知，BCD是等边三角形因为E是CD的中点，所以BECD，又ABCD，所以BEAB，又因为PA平面ABCD，BE平面ABCD，所以PABE.而PAABA，因此BE平面PAB又BE平面PBE，所以平面PBE平面PAB(2)由(1)知，BE平面PAB，PB平面PAB，所以PBBE.又ABBE，所以PBA是二面角ABEP的平面角在RtPAB中，tanPBA，PBA60.故二面角ABEP的大小是60.
