1、考点测试27平面向量的数量积及应用高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度考纲研读1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系一、基础小题1已知向量a，b满足|a|1，|b|，且a，b夹角为，则(ab)(2ab)()A. B C D答案A解析(ab)(2ab)2a2b2ab231.故选A.2如果等腰三角形ABC的周长是底边长BC的5倍，BC1，则()A. B C D答案C解析由题意得ABAC2，设D是边BC的中
2、点，在RtABD中，cosABC，|cos(ABC)21.故选C.3已知向量a(，1)，b(3，)，则向量b在向量a方向上的投影为()A B C1 D1答案A解析由投影的定义可知，向量b在向量a方向上的投影为|b|cosa，b，又ab|a|b|cosa，b，|b|cosa，b.故选A.4若O为ABC所在平面内任一点，且满足()(2)0，则ABC的形状为()A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形答案A解析因为()(2)0，即()0，所以()()0，即|，所以ABC是等腰三角形，故选A.5设a，b是互相垂直的单位向量，且(ab)(a2b)，则实数的值是()A2 B2 C1 D1答
3、案B解析依题意，有|a|b|1，且ab0，又(ab)(a2b)，所以(ab)(a2b)0，即a22b2(21)ab0，即20，所以2.故选B.6在ABC中，0，|4，|5，D为线段BC的中点，E为线段BC垂直平分线l上任一异于D的点，则()A. B C D7答案A解析如图所示，|3，()()()(22).故选A.7已知a(cos2，sin)，b(1，2sin1)，若ab，则tan()A. B C D答案B解析由题意可得abcos2sin(2sin1)cos22sin2sin12sin22sin2sin1sin，故有sin.再由，得cos，tan，tan.故选B.8正方形ABCD的边长为2，点E
4、为BC边的中点，F为CD边上一点，若|2，则|()A3B5C. D答案D解析|2，由数量积的几何意义可知EFAE，由E是BC的中点，得AE，EF，AF，AE2EF2AF2，CF，AF.故选D.二、高考小题9(2019全国卷)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A. B C D答案B解析由(ab)b，可得(ab)b0，abb2.|a|2|b|，cosa，b.0a，b，a与b的夹角为.故选B.10(2019全国卷)已知(2，3)，(3，t)，|1，则()A3 B2 C2 D3答案C解析(3，t)(2，3)(1，t3)，|1，1，t3，(1，0)，21302.故选
5、C.11(2018全国卷)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)()A4 B3 C2 D0答案B解析因为a(2ab)2a2ab2|a|2(1)213.故选B.12(2018天津高考)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点E为边CD上的动点，则的最小值为()A. BC. D3答案A解析解法一：如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(1，0)，B，C(0，)，令E(0，t)，t0, ，(1，t)t2t，t0，当t时，取得最小值，()min.故选A.解法二：令(01)，由已知可得DC，()()|22|2
6、32.当时，取得最小值.故选A.13(2019全国卷)已知a，b为单位向量，且ab0，若c2ab，则cosa，c_.答案解析由题意，得cosa，c.14(2019江苏高考)如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE2EA，AD与CE交于点O.若6，则的值是_答案解析解法一：如图1，过点D作DFCE交AB于点F，由D是BC的中点，可知F为BE的中点又BE2EA，则知EFEA，从而可得AOOD，则有()，所以6()22，整理可得232，所以.解法二：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图2所示设E(1，0)，C(a，b)，则B(3，0)，D.O.6，(3，0)(a，
7、b)6(a1，b)，即3a6，a2b23，AC.三、模拟小题15(2019沈阳市第二次质量监测)已知向量a(3，1)，b(x，1)，且a与b垂直，则x的值为()A. B C2 D3答案A解析由题知ab，所以ab0，即3x1(1)0，则x，故选A.16(2019四川一诊)在ABC中，AB3，AC2，BAC120，点D为BC边上一点，且2，则()A. B C1 D2答案C解析因为，所以2332cos1201.故选C.17(2019内江模拟)若|a|1，|b|2，|a2b|，则a与b的夹角为()A. B C D答案D解析|a|1，|b|2，|a2b|，(a2b)2a24b24ab1164ab13，a
8、b1，cosa，b.又0a，b，a，b的夹角为.故选D.18(2019呼和浩特质量检测)设a，b均是非零向量，且|a|2|b|，若关于x的方程x2|a|xab0有实根，则a与b的夹角的取值范围为()A. BC. D答案B解析关于x的方程x2|a|xab0有实根，|a|24ab0，ab，cosa，b，又0a，b，a，b.故选B.19(2019黄冈二模)已知向量a(1，)，b(3，m)，且b在a方向上的投影为3，则向量a与b的夹角为_答案解析根据题意，设向量b与a的夹角为，因为向量a(1，)，b(3，m)，则|a|2，ab3m，若b在a方向上的投影为3，则有3，解得m3，则b(3，3)，则|b|6
9、，则cos，又由0，则.20(2019湖南师大附中一模)点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则的最大值是_答案6解析以A为坐标原点，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，那么有A(1，2)，设M点坐标为(x，y)，则A(x，y)，其中0x2，2y0，x2y，当x取得最大值2，y取得最小值2时，AA取得最大值6.一、高考大题1(2017江苏高考)已知向量a(cosx，sinx)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值解(1)因为a(cosx，sinx)，b(3，)，ab
10、，所以cosx3sinx.若cosx0，则sinx0，与sin2xcos2x1矛盾，故cosx0，于是tanx.又x0，所以x.(2)f(x)ab(cosx，sinx)(3，)3cosxsinx2cos.因为x0，所以x，从而1cos.于是，当x，即x0时，f(x)取到最大值3；当x，即x时，f(x)取到最小值2.2(2015广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sinx，cosx)，x.(1)若mn，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解(1)mn，mn0，故sinxcosx0，tanx1.(2)m与n的夹角为，cosm，n，故sin.又x，x，x，即x，故x的值为
11、.二、模拟大题3(2019郑州模拟)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1，2)(1)若|c|2，且ca，求c的坐标；(2)若|b|1，且ab与a2b垂直，求a与b的夹角的余弦值解(1)设c(x，y)，则由ca和|c|2，可得解得或c(2，4)或c(2，4)(2)ab与a2b垂直，(ab)(a2b)0，即a2ab2b20，ab3，cos.4(2019盐城二模)设向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，其中0，0，且ab与ab相互垂直(1)求实数的值；(2)若ab，且tan2，求tan的值解(1)由ab与ab互相垂直，可得(ab)(ab)a2b20，所以cos22sin210.又因为sin2cos21，所以(21)sin20.因为00，所以1.(2)由(1)知a(cos，sin)，由ab，得coscossinsin，即cos().因为0，所以0，所以sin().所以tan()，因此tantan().
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