1、北京市昌平区2015届高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1已知=b+i（a，bR，i为虚数单位），则a+b等于( )A4B2C2D42要得到函数f（x）=sin（2x+）的图象，只需将函数g（x）=sin2x的图象( )A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度3如图是两个全等的正三角形，给出下列三个命题：存在四棱锥，其正视图、侧视图如图；存在三棱锥，其正视图、侧视图如图；存在圆锥，其正视图、侧视图如图其中所有真命题的序号是( )ABCD4由曲线y=x2，y=x围成的封
2、闭图形的面积为( )A1BCD5设向量=（2，x1），=（x+1，4），则“x=3”是“”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6阅读下面程序框图，为使输出的数据为11，则处应填的数字可以为( )A4B5C6D77已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是( )Am2B2m3C2m3Dm38如图，直线MN过ABC的重心G（重心是三角形三条中线的交点），设=，=，且=m，=n（其中m0，n0），则mn的最小值是( )ABCD二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9二项式（x+y）6的展开式中，含x4y2的项
3、的系数是_10（几何证明选做题）如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若CPA=30，则PC=_11设x1，1，y2，0，2，则以（x，y）为坐标的点落在不等式x+2y1所表示的平面区域内的概率为_12已知双曲线=1的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则m=_，该双曲线的焦点到其渐近线的距离为_13已知函数f（x）=ex（sinx+a）在R上单调递增，则实数a的取值范围是_14已知映射f：P（m，n）P（，）（m0，n0）设点A（2，6），B（4，4），点M是线段AB上一动点，f：MM当点M是线段AB的中点时，点M的坐标是_；当点M在线段AB
4、上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M所经过的路线长度为_三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15在ABC中，角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，且a2+b2=ab+c2（） 求tan（C）的值；（） 若c=，求SABC的最大值16在一台车床上生产某种零件，此零件的月产量与零件的市场价格具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：表1：零件某年的每月产量（个/月）月份第一季度第二季度第三季度第四季度123456789101112产量500400625625500500500500500400400625表2：零件市场价格（元/个）零件市场价格810
5、概率0.40.6（） 请你根据表1中所给的数据，判断该零件哪个季度的月产量方差最大；（结论不要求证明）（） 随机抽取该种零件的一个月的月产量记为X，求X的分布列；（）随机抽取该种零件的一个月的月产量，设Y表示该种零件的月产值，求Y的分布列及期望17如图，多面体ABCDEF中，DE平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，BAD=60，四边形BDEF是正方形（）求证：CF平面AED；（）求直线AF与平面ECF所成角的正弦值；（）在线段EC上是否存在点P，使得AP平面CEF，若存在，求出的值；若不存在，说明理由18已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率e=，右顶点为A，点M（1，0）为线段OA的中
6、点，其中O为坐标原点（）求椭圆C的方程；（）过点M任作一条直线交椭圆C于不同的两点E，F，试问在x轴上是否存在定点N，使得ENM=FNM？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由19已知函数f（x）=a（x1）2lnx（a0）（）当a=1时，求f（x）的单调区间；（）若函数f（x）在区间（0，1）上无零点，求实数a的最大值20已知数列an满足a1=4，a2=2，an+2=an+21（1）n，nN*，kN*（）求a3，a4，并直接写出an；（）设Sk=a1+a3+a2k1，Tk=a2+a4+a2k，分别求Sk，Tk关于k的表达式；（）设Wk=，求使Wk2的所有k的值，并说明理由北京市昌平区20
7、15届高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1已知=b+i（a，bR，i为虚数单位），则a+b等于( )A4B2C2D4考点：复数相等的充要条件 专题：数系的扩充和复数分析：首先由已知利用复数相等得到a，b的值，然后计算所求解答：解：因为=b+i即a+3i=1+bi，所以a=1，b=3，所以a+b=2；故选C点评：本题考查了复数的运算以及复数相等的性质；属于基础题目2要得到函数f（x）=sin（2x+）的图象，只需将函数g（x）=sin2x的图象( )A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度
8、D向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：根据三角函数图象之间的关系进行求解即可解答：解：f（x）=sin（2x+）=sin2（x+），即由函数g（x）=sin2x的图象向左平移个单位即可得到f（x）=sin（2x+），故选：A点评：本题主要考查三角函数图象之间的关系，比较基础3如图是两个全等的正三角形，给出下列三个命题：存在四棱锥，其正视图、侧视图如图；存在三棱锥，其正视图、侧视图如图；存在圆锥，其正视图、侧视图如图其中所有真命题的序号是( )ABCD考点：简单空间图形的三视图 专题：空间位置关系与距离分析：根据正四棱锥，三棱锥，圆锥的三视
9、图形状，举出满足条件的实例，分析三个命题的真假，可得答案解答：解：正四棱锥的正视图、侧视图是两个全等的等腰直角三角形，腰长为棱锥的侧高，底为底面边长，故正确；将中正四棱锥沿两条相对的侧棱分成两个三棱锥，则三棱锥的正视图、侧视图跟完全一致，故正确；圆锥的正视图、侧视图是两个全等的等腰直角三角形，腰长为圆锥的母线，底为底面直径，故正确；故所有真命题的序号是，故选：D点评：本题考查的知识点是简单几何体的三视图，熟练掌握常见几何体的三视图形状是解答的关键4由曲线y=x2，y=x围成的封闭图形的面积为( )A1BCD考点：定积分在求面积中的应用 专题：导数的综合应用分析：先根据题意画出区域，然后依据图形
10、得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可解答：解：由题意封闭图形如图，得到积分上限为1，积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=01（xx2）dx而01（xx2）dx=（x2x3）|=；曲边梯形的面积是；故选：D点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数5设向量=（2，x1），=（x+1，4），则“x=3”是“”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量共线（平
11、行）的坐标表示 专题：平面向量及应用分析：由向量共线可得x的值，再由集合的包含关系可得答案解答：解：当时，有24（x1）（x+1）=0，解得x=3；因为集合3是集合3，3的真子集，故“x=3”是 “”的充分不必要条件故选A点评：本题考查充要条件的判断，涉及平面向量共线的坐标表示，属基础题6阅读下面程序框图，为使输出的数据为11，则处应填的数字可以为( )A4B5C6D7考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=11，n=5时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为11，则处应填的数字可以为：5解答：解：模拟执行程序框图，可得S=1
12、，n=1满足条件，S=12=1，n=2满足条件，S=1+4=3，n=3满足条件，S=38=5，n=4满足条件，S=5+16=11，n=5由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为11则处应填的数字可以为：5故选：B点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题7已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是( )Am2B2m3C2m3Dm3考点：分段函数的应用 专题：函数的性质及应用分析：由题意知g（x）在m，+）上有一个零点，在（，m）上有两个零点；从而由一次函数与二次函数的性质判断即可解答：解：函数g（
13、x）=f（x）x恰有三个不同的零点，g（x）在m，+）上有一个零点，在（，m）上有两个零点；即有在m，+）上有3m，在（，m）上有x2+5x12=x，解得x=6或2，即有m2则有2m3故选：B点评：本题考查了函数的零点的判断及分段函数的应用，属于中档题8如图，直线MN过ABC的重心G（重心是三角形三条中线的交点），设=，=，且=m，=n（其中m0，n0），则mn的最小值是( )ABCD考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：由G为三角形的重心得到=（），再结合=m，=n（其中m0，n0），根据M，G，N三点共线，易得到m，n的关系式，即可得到结论解答：解：根据题意G为三角形
14、的重心，=（），由于=（m）+，=n=，因为G，M，N三点共线，根据共线向量基本定理知，存在实数，使得，即，消去得m+n3mn=0，m，n0m+n=3mn2，所以mn所以mn的最小值为；故选：C点评：本题主要考查了三角形重心的性质，以及向量的基本定理和向量在几何中的应用，属于中档题二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9二项式（x+y）6的展开式中，含x4y2的项的系数是15考点：二项式系数的性质 专题：二项式定理分析：写出二项展开式的通项，取r=2即可求得含x4y2的项的系数解答：解：由，令r=2，可得二项式（x+y）6的展开式中，含x4y2的项的系数是故答案为：15点评：本题考
15、查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题10（几何证明选做题）如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若CPA=30，则PC=3考点：与圆有关的比例线段 专题：压轴题；直线与圆分析：连接OC，由PC是O的切线，可得OCPC，于是，即可解出解答：解：连接OC，PC是O的切线，OCPC，又CPA=30，R=3，故答案为点评：熟练掌握圆的切线的性质及直角三角形的边角关系是解题的关键11设x1，1，y2，0，2，则以（x，y）为坐标的点落在不等式x+2y1所表示的平面区域内的概率为考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；二元一次不等
16、式（组）与平面区域 专题：概率与统计分析：根据古典概型的概率公式进行计算即可解答：解：x1，1，y2，0，2，共有23=6个坐标，不等式等价为x12y，当y=2时，x5，此时没有坐标，当y=0时，x1，此时x=1，当y=2时，x14=3，此时x=1，1，故以（x，y）为坐标的点落在不等式x+2y1所表示的平面区域内坐标为（1，0），（1，2），（1，2）共3个，则对应的概率P=故答案为：点评：本题主要考查古典概型的概率的计算，根据条件求出满足条件的坐标个数是解决本题的关键12已知双曲线=1的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则m=1，该双曲线的焦点到其渐近线的距离为1考点：双曲线的简单性质
17、专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求得抛物线的焦点，可得双曲线的c=2，由双曲线的a，b，c的关系，可得m=1，由双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式计算即可得到解答：解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），由题意可得c=2，即3+m=4，解得m=1，则双曲线y2=1的右焦点（2，0）到渐近线y=x的距离为d=1，故答案为：1；1点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的运用，同时考查点到直线的距离公式的运用，属于基础题13已知函数f（x）=ex（sinx+a）在R上单调递增，则实数a的取值范围是考点：利用导数研究函数的单调性 专题：计算题；导数的综
18、合应用分析：求函数的导数，要使函数单调递增，则f（x）0立，然后求出实数a的取值范围解答：解：因为f（x）=ex（sinx+a），所以f（x）=ex（sinx+a+cosx）要使函数单调递增，则f（x）0成立即sinx+a+cosx0恒成立所以asinxcosx，因为sinxcosx=sin（x+）所以sinxcosx，所以，故答案为：点评：本题主要考查导数的基本运算以及利用导数研究函数的单调性，注意当函数单调递增时，f（x）0恒成立14已知映射f：P（m，n）P（，）（m0，n0）设点A（2，6），B（4，4），点M是线段AB上一动点，f：MM当点M是线段AB的中点时，点M的坐标是（，）；当
19、点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M所经过的路线长度为考点：进行简单的合情推理 专题：推理和证明分析：（1）由中点坐标公式得到M（3，5），由已知得到点M的坐标是（，）（2）求点M的轨迹方程，根据范围确定路径的长度解答：解：（1）点M是线段AB的中点，由中点坐标公式，M（3，5），由已知映射f：P（m，n）P（，）（m0，n0），点M的坐标是（，）（2）设M（x，y），则M（x2，y2），线段AB方程为：x+y=8（2x4）对应点M为x2+y2=8（x2，2y），路径为一段圆弧，圆心角为15，点M的对应点M所经过的路线长度为8=点评：主要考查轨迹问题，曲线与方程的运用，学
20、生的灵活应用能力与计算能力三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15在ABC中，角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，且a2+b2=ab+c2（） 求tan（C）的值；（） 若c=，求SABC的最大值考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：（） 利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，确定出C的度数，代入tan（C）计算即可求出值；（）把c的值代入已知等式变形，利用基本不等式求出ab的最大值，再由sinC的值，即可求出三角形ABC面积的最大值解答：解：（）a2+b2=ab+c2，a2+b2c2=ab，cosC=，C为ABC
21、内角，C=，则tan（C）=tan（）=2；（）由ab+3=a2+b22ab，得ab3，SABC=absinC=ab，SABC，当且仅当a=b=时“=”成立，则SABC的最大值是点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键16在一台车床上生产某种零件，此零件的月产量与零件的市场价格具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：表1：零件某年的每月产量（个/月）月份第一季度第二季度第三季度第四季度123456789101112产量500400625625500500500500500400400625表2：零件市场价格（元/个）零件市场价格810概率
22、0.40.6（） 请你根据表1中所给的数据，判断该零件哪个季度的月产量方差最大；（结论不要求证明）（） 随机抽取该种零件的一个月的月产量记为X，求X的分布列；（）随机抽取该种零件的一个月的月产量，设Y表示该种零件的月产值，求Y的分布列及期望考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（I）运用给出的数据的差异可判断得出不稳定问题，可判断方差的大小问题（II） X取值为X=400，500，625运用表格数据可得出P（X=400）=0.25；P（X=500）=0.5；P（X=625）=0.25可列出分布列（III）确定随机变量Y的所有可能取值为Y=3200，4
23、000，5000，6250运用表的概率知识和则P（X=400）=0.25；P（X=500）=0.5；P（X=625）=0.25求解得出P（Y=3200）=0.1，（Y=4000）=0.35，P（Y=5000）=0.4，P（Y=6250）=0.15列出分布列，求解数学期望解答：解：（I） 第四季度的月产量方差最大（II） X取值为X=400，500，625则P（X=400）=0.25；P（X=500）=0.5；P（X=625）=0.25所以随机变量X的分布列为X400500625P0.250.50.25（III）因为4008=3200，40010=4000，5008=4000，50010=500
24、0，6258=5000，62510=6250，所以随机变量Y的所有可能取值为Y=3200，4000，5000，6250所以P（Y=3200）=0.40.25=0.1，P（Y=4000）=0.60.25+0.40.5=0.35，P（Y=5000）=0.60.5+0.40.25=0.4，P（Y=6250）=0.60.25=0.15所以随机变量Y的分布列为Y3200400050006250P0.10.350.40.15其期望为EY=32000.1+40000.35+50000.4+62500.15=4657.5点评：题综合考查了概率在实际问题中的应用，关键是准确求解概率，判断概率的类型，准确求解即可
25、，熟练运用公式计算求解，仔细阅读题意17如图，多面体ABCDEF中，DE平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，BAD=60，四边形BDEF是正方形（）求证：CF平面AED；（）求直线AF与平面ECF所成角的正弦值；（）在线段EC上是否存在点P，使得AP平面CEF，若存在，求出的值；若不存在，说明理由考点：直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）根据线面平行的判定定理，可得：BC平面ADE，BF平面ADE，进而由面面平等的判定定理，可得平面BCF平面AED，进而根据面面平行的性质得到：CF平面AED；（）建立空间直角坐标系Oxyz求出直线AF的方
26、向向量与平面ECF的法向量，代入向量夹角公式，可得直线AF与平面ECF所成角的正弦值；（）设P（x，y，z），根据AP平面CEF，则平面CEF法向量为满足：，根据无满足条件的值，可得不存在这样的P点解答：证明：（）因为ABCD是菱形，所以BCAD又BC平面ADE，AD平面ADE，所以BC平面ADE.又因为BDEF是正方形，所以BFDE因为BF平面ADE，DE平面ADE，所以BF平面ADE因为BC平面BCF，BF平面BCF，BCBF=B，所以平面BCF平面AED因为CF平面BCF，所以CF平面AED.解：（） 因为四边形ABCD为菱形，且BAD=60，所以BCD为等边三角形取BD的中点O，所以C
27、OBD，取EF的中点G，连结OG，则OGDE因为DE平面ABCD，所以OG平面ABCD.如图建立空间直角坐标系Oxyz因为AB=2所以所以，设平面CEF法向量为=（x，y，z），则有得 ，令y=1则设AF与平面ECF所成的角为，则，所以直线AF与平面ECF所成角的正弦值为 .（）不存在，设P（x，y，z），由，得因为平面CEF的法向量为 若AP平面CEF，则，即，.得方程组无解，不符合题意综上，不存在使得AP平面CEF.点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，向量法求线面夹角，难度中档18已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率e=，右顶点为A，点M（1，0）为线段OA的
28、中点，其中O为坐标原点（）求椭圆C的方程；（）过点M任作一条直线交椭圆C于不同的两点E，F，试问在x轴上是否存在定点N，使得ENM=FNM？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）通过点M（1，0）为线段OA的中点可知b=2，利用，a2b2=c2，计算即得结论；（） 通过设存在点N（x0，0）满足题设条件，分EF与x轴不垂直与不垂直两种情况讨论，利用韦达定理化简、计算即得结论解答：解：（） 由题意可得b=2，又因为，a2b2=c2，所以 ，故所求椭圆C的方程为；（） 结论：在x轴上存在点N（4，0），使得ENM=FNM理由如下：
29、假设存在点N（x0，0）满足题设条件，（1）当EF与x轴不垂直时，设EF的方程为y=k（x1）则消去y，整理得：（2+k2）x22k2x+k28=0可知0，设E（x1，y1），F（x2，y2），则，=，（x11）（x2x0）+（x21）（x1x0）=2x1x2（1+x0）（x1+x2）+2x0=+2x0，若ENM=FNM，则kEN+kFN=0，整理得：k（x04）=0，因为kR，所以x0=4；（2）当EFx轴时，由椭圆的对称性可知恒有ENM=FNM，满足题意；综上，在x轴上存在点N（4，0），使得ENM=FNM点评：本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题19已知函数f（x）=a
30、（x1）2lnx（a0）（）当a=1时，求f（x）的单调区间；（）若函数f（x）在区间（0，1）上无零点，求实数a的最大值考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理 专题：综合题；导数的综合应用分析：（）当a=1时，求导数，利用导数的正负，求f（x）的单调区间；（）分类讨论，确定函数的单调区间，根据函数f（x）在区间（0，1）上无零点，即可求实数a的最大值解答：解：（）f（x）=x12lnx，定义域（0，+），.令f（x）0得x2，.令f（x）0得0x2.因此，函数f （x）的单调递增区间是（2，+），单调递减区间是（0，2）；（）当a=0时，f（x）=2lnx，函数f（x）在区间（0
31、，1）上单调递减，且f（x）f（1）=0，所以a=0时，函数f（x）在区间（0，1）上无零点；当a0时，令f（x）=0得，令f（x）0得，令f（x）0得，因此，函数f （x）的单调递增区间是，单调递减区间是（）当即0a2时，函数f （x）的单调递减区间是（0，1），所以f（x）f（1）=0，所以0a2时，函数f（x）在区间（0，1）上无零点；（ii）当即a2时，函数f （x）的单调递减区间是，单调递增区间是所以且，所以a2时，函数f（x）在区间（0，1）上有零点，不成立，所以0a2，综上实数a的最大值是2点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，正确求导是关键20已知数列
32、an满足a1=4，a2=2，an+2=an+21（1）n，nN*，kN*（）求a3，a4，并直接写出an；（）设Sk=a1+a3+a2k1，Tk=a2+a4+a2k，分别求Sk，Tk关于k的表达式；（）设Wk=，求使Wk2的所有k的值，并说明理由考点：数列递推式；数列的求和 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（）根据数列的递推关系即可求a3，a4，并直接写出an；（）根据数列求和的关系进行求解即可求Sk，Tk关于k的表达式；（）求出Wk的表达式，解不等式即可解答：解：（I）因为a1=4，a2=2，所以a3=a1+4=8，.a4=2a2=4，.（II）当n=2k1（kN*）时，a2k+1=a2k1+4，所以a2k1是以4为首项，4为公差的等差数列，则a2k1=4k，.当n=2k（kN*）时，a2k+2=2a2k，故a2k是以2为首项，2为公比的等比数列，则，.Sk=a1+a3+a2k1=4+8+4k=2k（k+1），.（III），于是，下面证明：当k5时，Wk2事实上，当k5时，即Wk+1Wk，又W52，所以k5时，Wk2故满足Wk2的k的值为2，3点评：本题主要考查数列递推公式的应用，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，难度较大