1、第1讲 概 率 高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用；2.古典概型还以解答题的形式考查，难度不大.真 题 感 悟 1.(2016全国卷)为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.13B.12C.23D.56解析 将 4 种颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下 2 种种在另一个花坛，有(红黄)、(白紫)，(白紫)、(红黄)，(红白)、(黄紫)，(黄紫)、(红白)，(红紫)、(黄白)，(黄白)、(红紫)共 6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有(红
2、黄)、(白紫)，(白紫)、(红黄)，(红白)、(黄紫)，(黄紫)，(红白)，共 4 种，故所求概率为 P4623，选 C.答案 C 2.(2016全国卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为()A.710B.58C.38D.310解析 至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为40154058，故选 B.答案 B 3.(2016全国卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa
3、1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数012345频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度的平均保费的估计值.解(1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2，由所给数据知，一年内出险次数小于 2 的频率为6050200 0.55，故P(A)的估计值为 0.55.(2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4，由所给数据
4、知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为3030200 0.3，故 P(B)的估计值为 0.3.(3)由所给数据得 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.考 点 整 合 1.概率的取值范围是0，1，即 0P(A)1，必然事件发生的概率为 1，不可能事件发生的概率为 0.2.古典概型P(A)事件A中所含的基本事件数试验的基本事件总数.
5、3.几何概型P(A)构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）4.事件A，B互斥，那么事件AB发生(即A，B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(AB)P(A)P(B).5.在一次试验中，对立事件 A 和A不会同时发生，但一定有一个发生，因此有 P(A)1P(A).热点一 对古典概型的考查 微题型1 古典概型的单一考查【例11】(2016山东卷)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：若xy3，
6、则奖励玩具一个；若xy8则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.解(1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间 与点集 S(x，y)|xN，yN，1x4，1y4一一对应.因为 S 中元素的个数是 4416.所以基本事件总数 n16.记“xy3”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件数共 5 个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，所以 P(A)516，即小亮获得玩具的概率为 516.(2)记“xy8”为事
7、件 B，“3xy8”为事件 C.则事件 B 包含的基本事件数共 6 个.即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4).所以 P(B)61638.事件 C 包含的基本事件数共 5 个，即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1).所以 P(C)516.因为38 516，所以小亮获得的水杯的概率大于获得饮料的概率.探究提高 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择.微题型2 古典概型与其它知识的交汇【例12】某中学高三年
8、级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.(1)求x和y的值；(2)计算甲班7位学生成绩的方差s2；(3)从成绩在90分以上的学生中随机抽取2名学生，求甲班至少有1名学生的概率.解 (1)因 为 甲 班 学 生 成 绩 的 平 均 分 是 85，所 以92968080 x857978785.所以 x5.因为乙班学生成绩的中位数是 83，所以 y3.(2)甲班 7 位学生成绩的方差为s217(7985)2(7885)2(8085)2(8585)2(8585)2(9285)2(9685)
9、240.(3)设“甲班至少有 1 名学生”为事件 M，则M 为“抽取的两名学生都是乙班的”.甲班成绩在 90 分以上的学生有 2 名，分别记为 A，B，乙班成绩在 90 分以上的学生有 3 名，分别记为 C，D，E.从这 5 名学生中任取 2 名学生有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共 10 种不同的结果.其中M 包含(C，D)，(C，E)，(D，E)，3 个基本事件，故 P(M)310.所以 P(M)1P(M)1 310 710.故从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取 2 名学生，甲班至少有 1 名学生
10、的概率为 710.探究提高 古典概型常和频率与概率间关系、茎叶图、样本的数字特征交汇考查，此类题目横跨两部分知识，但分解开后并不难解决.【训练1】(2016南宁模拟)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标Sxyz评价该产品的等级.若S4，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x，y，z)(1，1，2)(2，1，1)(2，2，2)(1，1，1)(1，2，1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x，y，z)(1，2，2)(2，1，1)(2，2，1)(1，1，1)(2，1，2)(1)利用上表提供的样本数
11、据估计该批产品的一等品率；(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，()用产品编号列出所有可能的结果；()设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率.解(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：产品编号A1A2A3A4A5A6A7 A8 A9 A10S4463454535其中 S4 的有 A1，A2，A4，A5，A7，A9，共 6 件，故该样本的一等品率为 6100.6，从而可估计该批产品的一等品率为 0.6.(2)()在该样本的一等品中，随机抽取 2 件产品的所有可能结果为A1，A2，A1，A4，A1，A5，A1，A7，A1，A9，A2，A4，A2，
12、A5，A2，A7，A2，A9，A4，A5，A4，A7，A4，A9，A5，A7，A5，A9，A7，A9，共 15 种.()在该样本的一等品中，综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件 B 发生的所有可能结果为A1，A2，A1，A5，A1，A7，A2，A5，A2，A7，A5，A7，共 6 种，所以P(B)61525.热点二 对几何概型的考查【例2】(1)(2016山东卷)在1，1上随机地取一个数k，则事件“直线ykx与圆(x5)2y29相交”发生的概率为_.(2)(2016全国卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘
13、坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34解析(1)由已知得，圆心(5，0)到直线 ykx 的距离小于半径，|5k|k213，解得34kP(A2)，甲应选择L1；P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9，P(B2)P(B1)，乙应选择L2.1.古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法：将基本事件按一定的顺序一一列举出来，适用于求解基本事件个数比较少的概率问题.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.2.当某事件的概率不易直接求解，但其对立事件的概率易求解时，可运用对立事件的概率公式(若事件A与事件B为对立事件，则P(A)P(B)1)，即用间接法求概率.