1、第3讲 平面向量 高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现.真 题 感 悟 1.(2016全国卷)已知向量BA12，32，BC32，12，则ABC()A.30 B.45 C.60 D.120解析|BA|1，|BC|1，cosABC BABC|BA|BC|32.ABC0，180，ABC30.答案 A 2.(2015广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD是平行四边形，
2、AB(1，2)，AD(2，1)，则AD AC()A.5 B.4 C.3 D.2解析 四边形 ABCD 为平行四边形，ACABAD(1，2)(2，1)(3，1).AD AC23(1)15.答案 A 3.(2015重庆卷)已知非零向量a，b满足|b|4|a|，且a(2ab)，则 a 与 b 的夹角为()A.3B.2C.23D.56解析 因为 a(2ab)，所以 a(2ab)2a2ab0，即 2|a|2|a|b|cosa，b0，又|b|4|a|，则上式可化为2|a|2|a|4|a|cosa，b0 即 24cosa，b0，所以 cosa，b12，又a，b0，即 a，b 夹角为23.答案 C 4.(20
3、16 全国卷)已知向量a(m，4)，b(3，2)，且ab，则m_.解析 因为ab，所以由(2)m430，解得m6.答案 6 考 点 整 合 1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底.2.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)ababx1y2x2y10.(2)abab0 x1x2y1y20.3.平面向量的三个性质(1)若 a(x，
4、y)，则|a|aa x2y2.(2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|（x2x1）2（y2y1）2.(3)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为 a 与 b 的夹角，则 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22.4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则 A，B，P 三点共线的充要条件是OP 1OA 2OB(其中 121).(2)三角形中线向量公式：若 P 为OAB 的边 AB 的中点，则向量OP 与向量OA，OB 的关系是OP 12(OA OB).(3)三角形重心坐标的求法：G 为ABC 的重心GA GB GC 0GxAx
5、BxC3，yAyByC3.热点一 平面向量的有关运算 微题型1 平面向量的线性运算【例 11】(1)设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EBFC()A.BCB.12ADC.ADD.12BC(2)已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，BC3BE，DCDF.若AEAF1，则 的值为_.解析(1)如图，EBFC(BECF)12BA12BC12CA12CB12BA12CA 12(ABAC)AD，故选 C.(2)法一 如图，AEABBEAB13BC，AFAD DF AD 1DC BC1AB所以AEAFAB13BC BC1AB
6、1 13 ABBC1AB 213BC 21 13 22cos 1204431，解得 2.法二 建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A(0，1)，C(0，1)，B(3，0)，D(3，0).由 BC3BE，DCDF，可求点 E，F 的坐标分别为 E2 33，13，F311，1，AEAF2 33，43 311，11211 4311 1，解得 2.答案(1)C(2)2 探究提高(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，运用向量的加法、减法及平面向量基本定理可求；同时注意共线向量定理的灵活运用.(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系.微题型2 平面向量的坐标运算【例 12】(1)
7、(2016北京卷)已知向量 a(1，3)，b(3，1)，则 a 与 b 夹角的大小为_.(2)(2016山东卷)已知向量 a(1，1)，b(6，4).若 a(tab)，则实数 t 的值为_.解析(1)设 a 与 b 的夹角为，则 cos ab|a|b|1 31 312（3）2 12（3）22 34 32，因为a，b0，所以 6.(2)a(tab)，ta2ab0，又a22，ab10，2t100，t5.答案(1)6(2)5探究提高 向量具有几何与代数两个特征，利用向量的代数特征可使解题更简捷.微题型3 平面向量数量积的运算【例 13】(1)已知 e1，e2 是平面单位向量，且 e1e212.若平面
8、向量 b 满足 be1be21，则|b|_.(2)(2015天津卷)在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB2，BC1，ABC60.点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC上，且BE23BC，DF 16DC，则AEAF的值为_.解析(1)因为|e1|e2|1 且 e1e212.e1，e20，180，所以 e1 与 e2 的夹角为 60.又因为 be1be21，所以 be1be20，即 b(e1e2)0，所以 b(e1e2).所以 b 与 e1 的夹角为 30，所以 be1|b|e1|cos 301，|b|2 33.(2)法一 在等腰梯形 ABCD 中，ABDC，AB2，BC1，ABC6
9、0，CD1，AEABBEAB23BC，AFAD DF AD 16DC，AEAFAB23BC AD 16DC ABAD AB16DC 23BCAD 23BC16DC 21cos 60216231cos 6023 16cos 1202918.法二 作 COAB 于 O，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A32，0，B12，0，C0，32，D1，32，所以 E16，33，F56，32，所以AEAF53，33 23，32 109 122918.答案(1)2 33 (2)2918探究提高 求解几何图形中的数量积问题，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，
10、把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法.【训练 1】(1)(2015四川卷)设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB|6，|AD|4，若点 M，N 满足BM 3MC，DN 2NC，则AM NM()A.20B.15 C.9 D.6(2)(2016长沙模拟)如图，在矩形 ABCD 中，AB 2，BC2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若ABAF 2，则AEBF的值是_.解析(1)AM AB34AD，NM CM CN 14AD 13ABAM NM 14(4AB3AD)112(4AB3AD)148(16AB 29AD 2)148(1662942)9，选 C.(2)法一 以
11、 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(以射线 AB、AD 的方向分别为 x 轴、y 轴的正方向)，设 F(x，2)，则AF(x，2)，又AB(2，0)，ABAF 2x 2，x1，F(1，2)，AEBF 2.法二 ABAF|AB|AF|cos BAF 2，|AB|2，|AF|cos BAF1，即|DF|1，|CF|21，AEBF(ABBE)(BCCF)ABBCABCFBEBCBECFABCFBEBC 2(21)(1)121 2.答案(1)C(2)2热点二 平面向量与三角的交汇【例 2】(2016皖南八校联考)已知向量 m(3sin 2x2，cos x)
12、，n(1，2cos x)，设函数 f(x)mn.(1)求 f(x)的最小正周期与单调递增区间；(2)在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若 f(A)4，b1，ABC 的面积为 32，求 a 的值.解 因为 m(3sin 2x2，cos x)，n(1，2cos x)，函数 f(x)m n，所以 f(x)3sin 2x22cos2x 3sin 2xcos 2x32sin2x6 3.(1)f(x)的最小正周期 T22.由 2k22x62k2，kZ，得 k3xk6，kZ.所以 f(x)的单调递增区间为k3，k6，kZ.(2)因为 f(A)4，所以 2sin2A6 34，即 sin2
13、A6 12.由于 0A，所以 2A656，即 A3.又 SABC12bcsin A 32 且 b1，所以 34 c 32，解得 c2.在ABC 中，由余弦定理，得 a2b2c22bccos A14212123，所以 a 3.探究提高 三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.【训练 2】已知在锐角三角形 ABC 中
14、，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 p(cos Bsin B，2sin B2)，q(sin Bcos B，1sin B)，且 pq.(1)求 B 的大小；(2)若 b2，ABC 的面积为 3，求 a，c.解(1)因为 pq，所以 pq(cos Bsin B)(sin Bcos B)(2sin B2)(1sin B)0，即 sin2Bcos2B2sin2B20，即 sin2B34，又角 B 是锐角三角形 ABC 的内角，所以 sin B 32，所以 B60.(2)由(1)得 B60，又ABC 的面积为 3，所以 SABC12acsin B，即 ac4.由余弦定理得 b2a2c22a
15、ccos B，又 b2，所以 a2c28，联立，解得 ac2.1.平面向量的数量积的运算有两种形式：(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.2.根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|ab|ab|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|ab|ab|等价于向量a，b互相垂直.3.两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.