1、2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数z=1+2i，则=（）A5B5+4iC3D34i2已知集合A=x|x22x30，则AB=（）Ax|1x3Bx|1x3Cx|1x0或0x3Dx|1x0或1x33设a，b均为实数，则“a|b|”是“a3b3”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4若点P为抛物线上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为（）A2BCD5已知数列an满足an+1an=2，a1=5，则|a1|+|a2|+|a6|=（）A
2、9B15C18D306在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（）A6B4C2D07某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A4BCD8将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（）A4B5C6D79运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）ABCD10若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）ABCD11已知向量，（m0，n0），若m+n1，2，则的取值范围是（）ABCD12已知定义在R上的函数f（x）=ex+mx2m（m0），当x1+x2=1时，不等式f（x1）+f（0）f（x2）+f（1）恒成立，则实数x1的取值范围是
3、（）A（，0）BCD（1，+）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有种不同的分法（用数字作答）14函数f（x）=exsinx在点（0，f（0）处的切线方程是15我国古代数学专著孙子算法中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数16过双曲线的焦点F且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知点，Q（cos
4、x，sinx），O为坐标原点，函数（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求ABC的周长的最大值18某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100）频数2040805010男性用户分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100）频数4575906030（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户
5、中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点（1）求证：PD平面ABE；（2）若F为AB中点，试确定的值，使二面角PFMB的余弦值为20已知点P是长轴长为的椭圆Q：上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，点M为线段PA的中点，且直线PA与OM的斜率之积恒为（1）求椭圆Q的方程；（2）设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C，D两点，线段CD的垂直平分线与x轴交于点G，点G横坐标的取值范围是，求|CD
6、|的最小值21已知函数f（x）=（x2）ex+a（x+2）2（x0）（1）若f（x）是（0，+）的单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）当时，求证：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程22已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为=4cos，直线l的参数方程为（t为参数）（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值选修4-5：不等式选讲23已知a0，b0，函数
7、f（x）=|x+a|+|2xb|的最小值为1（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2btab恒成立，求实数t的最大值2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数z=1+2i，则=（）A5B5+4iC3D34i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由已知直接利用求解【解答】解：z=1+2i，=|z|2=故选：A2已知集合A=x|x22x30，则AB=（）Ax|1x3Bx|1x3Cx|1x0或0x3Dx|1x0或1x3【考点】交集及其运算【分析】先分别求出集合A，
8、B，由此利用交集定义能求出AB【解答】解：集合A=x|x22x30=x|1x3，=x|x0或x1，AB=x|1x0或1x3故选：D3设a，b均为实数，则“a|b|”是“a3b3”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义判断即可【解答】解：由a|b|”能推出“a3b3”，是充分条件，反之，不成立，比如a=1，b=2，不是必要条件，故选：A4若点P为抛物线上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为（）A2BCD【考点】抛物线的简单性质【分析】利用抛物线的性质直接求解即可【解答】解：点P为抛
9、物线上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为：故选：D5已知数列an满足an+1an=2，a1=5，则|a1|+|a2|+|a6|=（）A9B15C18D30【考点】数列的求和【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式可得an，Sn，对n分类讨论即可得出【解答】解：an+1an=2，a1=5，数列an是公差为2的等差数列an=5+2（n1）=2n7数列an的前n项和Sn=n26n令an=2n70，解得n3时，|an|=ann4时，|an|=an则|a1|+|a2|+|a6|=a1a2a3+a4+a5+a6=S62S3=62662（3263）=18故选：C6在平面内的动点（x，y）满足不
10、等式，则z=2x+y的最大值是（）A6B4C2D0【考点】简单线性规划【分析】根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+y的最优解，然后求解z最大值即可【解答】解：根据不等式，画出可行域，由，可得x=3，y=0平移直线2x+y=0，当直线z=2x+y过点A（3，0）时，z最大值为6故选：A7某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A4BCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，所以四棱锥的体积故选
11、D8将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（）A4B5C6D7【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率【分析】由题意，1，即可求出n的最小值【解答】解：由题意，1，n4，n的最小值为4，故选A9运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）ABCD【考点】程序框图【分析】由程序框图知，程序运行的功能是用二分法求函数f（x）=x22在区间1，2上的零点，且精确到0.3；模拟运行过程，即可得出结果【解答】解：由程序框图知，程序运行的功能是用二分法求函数f（x）=x22在区间1，2上的零点，且精确到0.3；模拟如下；m=时，f（1）f（）=（1）0，b=，|ab|
12、=d；m=时，f（1）f（）=（1）（）0，a=，|ab|=d；程序运行终止，输出m=故选：B10若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）ABCD【考点】正弦函数的对称性【分析】由题意可得2x+，根据题意可得 =，由此求得x1+x2 值【解答】解：x0，2x+，方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，=，则x1+x2=，故选：C11已知向量，（m0，n0），若m+n1，2，则的取值范围是（）ABCD【考点】简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m+n，m3n），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m+n1
13、，2的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t的取值范围，又由=t，分析可得答案【解答】解：根据题意，向量，=（3m+n，m3n），则=，令t=，则=t，而m+n1，2，即1m+n2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：t2，又由=t，故2；故选：D12已知定义在R上的函数f（x）=ex+mx2m（m0），当x1+x2=1时，不等式f（x1）+f（0）f（x2）+f（1）恒成立，则实数x1的取值范围是（）A（，0）BCD（1，+）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】通过变形可知问题转化为不等
14、式f（x1）f（1x1）f（1）f（11）恒成立，设g（x）=f（x）f（1x）并求导可知g（x）在R上单调递增，利用单调性即得结论【解答】解：不等式f（x1）+f（0）f（x2）+f（1）恒成立，不等式f（x1）f（x2）f（1）f（0）恒成立，又x1+x2=1，不等式f（x1）f（1x1）f（1）f（11）恒成立，设g（x）=f（x）f（1x），f（x）=ex+mx2m（m0），g（x）=exe1x+m（2x1），则g（x）=ex+e1x+2m0，g（x）在R上单调递增，不等式g（x1）g（1）恒成立，x11，故选：D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13现将5张连号的
15、电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有48种不同的分法（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用【分析】甲乙分得的电影票连号，有42=8种情况，其余3人，有=6种情况，即可得出结论【解答】解：甲乙分得的电影票连号，有42=8种情况，其余3人，有=6种情况，共有86=48种不同的分法故答案为4814函数f（x）=exsinx在点（0，f（0）处的切线方程是y=x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先求出f（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解：f（x）=ex
16、sinx，f（x）=ex（sinx+cosx），f（0）=1，f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为y0=1（x0），即y=x故答案为：y=x15我国古代数学专著孙子算法中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数128【考点】数列的应用【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被
17、3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：152+213+702=233最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：2331052=23或105k+23（k为正整数）由于物数量在100至200之间，故当k=1时，105+23=128故答案为：12816过双曲线的焦点F且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的渐近线方程，设出过右焦点且与第一三象限的渐近线垂直的直线方程，
18、与双曲线的渐近线方程联立把A，B表示出来，再由，求出a，b，c的关系，然后求双曲线的离心率【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=x，设焦点F（c，0），与y=x垂直的直线为y=（xc），由可得A（，）；由可得B（，），再由，可得0（）=2（0），化为a2=3b2=3（c2a2），即为3c2=4a2，则e=故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求ABC的周长的最大值【考点】平面向量数量积的运算；基本不
19、等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解最值（2）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值【解答】解：（1），当时，f（x）取得最小值2（2）f（A）=4，又BC=3，9=（b+c）2bc，当且仅当b=c取等号，三角形周长最大值为18某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100）频数2040805010男性用户分值区间50，60）60，
20、70）70，80）80，90）90，100）频数4575906030（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（）求出女性用户和男性用户的频率分布直方图，由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大（）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3
21、人，记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和数学期望【解答】解：（）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大（）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，所以X的分布列为X123P或19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点（1）求证：PD平面ABE；（2）若F为AB中点，试确定的值，使二面角PFMB的余弦值为【考
22、点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（I）证明AB平面PAD，推出ABPD，AEPD，AEAB=A，即可证明PD平面ABE（II） 以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系ABDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可【解答】解：（I）证明：PA底面ABCD，AB底面ABCD，PAAB，又底面ABCD为矩形，ABAD，PAAD=A，PA平面PAD，AD平面PAD，AB平面PAD，又PD平面PAD，ABPD，AD=AP，E为PD中点，AEPD，AEAB=A，AE平面ABE，AB平面ABE，PD平面ABE（II） 以
23、A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系ABDP，令|AB|=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），M（2，2，22）设平面PFM的法向量，即，设平面BFM的法向量，即， ，解得20已知点P是长轴长为的椭圆Q：上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，点M为线段PA的中点，且直线PA与OM的斜率之积恒为（1）求椭圆Q的方程；（2）设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C，D两点，线段CD的垂直平分线与x轴交于点G，点G横坐标的取值范围是，求|CD|的最小值【考点】圆锥曲线的最值问题；椭圆
24、的标准方程【分析】（1）利用椭圆Q的长轴长为，求出设P（x0，y0），通过直线PA与OM的斜率之积恒为，化简求出b，即可得到椭圆方程（2）设直线l方程为y=k（x+1）（k0），代入有（1+2k2）x2+4k2x+2k22=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），利用韦达定理求出CD的垂直平分线方程，推出，利用弦长公式化简，推出|CD|的最小值【解答】解：（1）椭圆Q的长轴长为，设P（x0，y0），直线PA与OM的斜率之积恒为，b=1，故椭圆的方程为（2）设直线l方程为y=k（x+1）（k0），代入有（1+2k2）x2+4k2x+2k22=0，设A（x1，y1），B
25、（x2，y2），AB中点N（x0，y0），CD的垂直平分线方程为，令y=0，得， =，21已知函数f（x）=（x2）ex+a（x+2）2（x0）（1）若f（x）是（0，+）的单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）当时，求证：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数f（x）=ex+（x2）ex+2ax+4a，通过f（x）0在（0，+）上恒成立得到，构造函数，利用导函数的单调性以及最值求解即可（2）通过f（x）=xex+2a0，数码y=f（x）在（0，+）上单调递增，利用零点判定定理说明存
26、在t（0，1）使f（t）=0，判断x=t，推出即在t（0，+）上单调递减，通过求解函数的最值，求解f（x）的最小值的取值范围【解答】解：（1）f（x）=ex+（x2）ex+2ax+4a，函数f（x）在区间（0，+）上单调递增，f（x）0在（0，+）上恒成立ex+（x2）ex+2ax+4a0，令，（2）f（x）=xex+2a0，y=f（x）在（0，+）上单调递增又f（0）=4a10，f（1）=6a0，存在t（0，1）使f（t）=0x（0，t）时，f（x）0，x（t，+）时，f（x）0，当x=t时，且有f（t）=et（t1）+2a（t+2）=0，由（1）知在t（0，+）上单调递减，且，t（0，1）
27、，f（1）f（t）f（0），ef（t）1，f（x）的最小值的取值范围是（e，1）选修4-4：坐标系与参数方程22已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为=4cos，直线l的参数方程为（t为参数）（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为=4cos，即2=4cos，可得直角坐标方程直线l的参数方程为（t为参数），消去参数
28、t可得普通方程（2），直角坐标为（2，2），利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性可得最大值【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为=4cos，即2=4cos，可得直角坐标方程：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程：x+2y3=0（2），直角坐标为（2，2），M到l的距离，从而最大值为选修4-5：不等式选讲23已知a0，b0，函数f（x）=|x+a|+|2xb|的最小值为1（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2btab恒成立，求实数t的最大值【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可
29、；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2xb|=|x+a|+|x|+|x|，|x+a|+|x|（x+a）（x）|=a+且|x|0，f（x）a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，a+=1，2a+b=2；法二：a，f（x）=|x+a|+|2xb|=，显然f（x）在（，上单调递减，f（x）在，+）上单调递增，f（x）的最小值为f（）=a+，a+=1，2a+b=2（2）方法一：a+2btab恒成立，t恒成立，=+=（+）（2a+b ）=（1+4+），当a=b=时，取得最小值，t，即实数t的最大值为；方法二：a+2btab恒成立，t恒成立，t=+恒成立，+=+=，t，即实数t的最大值为；方法三：a+2btab恒成立，a+2（2a）ta（2a）恒成立，2ta2（3+2t）a+40恒成立，（3+2t）23260，t，实数t的最大值为2017年4月15日