1、专题强化练(十三)1设椭圆E：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若椭圆E的离心率为，ABF2的周长为16.(1)求椭圆E的方程；(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N.证明：O，M，N三点共线(1)解：由题意知，4a16，a4.又因为e，所以c2，b2，所以椭圆E的方程为1.(2)证明：当直线AB、CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线；当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，且设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)则1，1，相减得，所以，
2、即，即kkOM，所以kOM.同理可得kON，所以kOMkON，所以O，M，N三点共线2(2020哈尔滨三中月考)已知过圆C1：x2y21上一点E的切线，交坐标轴于A、B两点，且A、B恰好分别为椭圆C2：1(ab0)的上顶点和右顶点(1)求椭圆C2的方程；(2)已知P为椭圆的左顶点，过点P作直线PM、PN分别交椭圆于M、N两点，若直线MN过定点Q(1，0)，求证：PMPN.(1)解：直线lOE的方程为yx，则直线lAB的斜率kAB.所以lAB：yx，即A，B(2，0)，椭圆方程为：1.(2)证明：当kMN不存在时，M(1，1)，N(1，1)，因为(1，1)(1，1)0，所以.当kMN存在时，设M
3、(x1，y1)，N(x2，y2)，lMN：yk(x1)，联立得：(13k2)x26k2x3k240.所以x1x2，x1x2，又已知左顶点P为(2，0)，(x12，y1)(x22，y2)x1x22(x1x2)4y1y2，又y1y2k(x11)k(x21)k2(x1x2x1x21)，所以40，所以.综上PMPN得证3已知椭圆1(ab0)的右焦点为F2(3，0)，离心率为e.(1)若e，求椭圆的方程；(2)设直线ykx与椭圆相交于A、B两点，M、N分别为线段AF2、BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且e，求k的取值范围解：(1)由题意得c3，所以a2.又因为a2b2c2，所以b23，所
4、以椭圆的方程为1.(2)由得(b2a2k2)x2a2b20.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，所以x1x20，x1x2，依题意，OMON，易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2BF2.因为(x13，y1)，(x23，y2)，所以(x13)(x23)y1y2(1k2)x1x290.即90，将其整理为k21.因为e，所以2a3，12a2b0)的焦点与抛物线C2：y28x的焦点F重合，且椭圆C1的右顶点P到F的距离为32.(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l与椭圆C1交于A，B两点，且满足PAPB，求PAB面积的最大值解：(1)设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得ab，且F(2，0)，c2，ac32a3，b1，所以椭圆C1的方程为y21 .(2)依题意，可设直线PA，PB的斜率存在且不为零，不妨设直线PA：yk(x3)，则直线PB：y(x3)，联立： 得(19k2)x254k2x(81k29)0，则|PA|.同理可得：|PB|，所以PAB的面积为：S|PA|PB|，当且仅当3(k21)8k，即k时，面积取得最大值.
