1、第2讲 空间中的平行与垂直的证明问题 高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题；2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等.真 题 感 悟(2016全国卷)如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；(2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积.
2、(1)证明 因为P在平面ABC内的正投影为D，所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E，所以ABDE.且PDDED，所以AB平面PED，又PG平面PED，故ABPG.又由已知可得，PAPB，从而G是AB的中点.(2)解 在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又EFPB，所以EFPA，EFPC，PAPCP，因此EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影.连接 CG，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是正三角形 ABC 的中心.由(1)知，G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG上，
3、故 CD23CG.由题设可得 PC平面 PAB，DE平面 PAB，所以 DEPC，因此 PE23PG，DE13PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA6，可得 DE2，PE2 2.在等腰直角三角形 EFP 中，可得 EFPF2.所以四面体 PDEF 的体积 V131222243.考 点 整 合 1.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a，b，aba.(2)线面平行的性质定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性质定理：，a，bab.2.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(
4、2)线面垂直的性质定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面 面 垂 直 的 性 质 定 理：，l，a ，ala.热点一 空间平行、垂直关系的证明【例1】(2016山东卷)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB.(1)已知ABBC，AEEC.求证：ACFB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH平面ABC.证明(1)因为EFDB，所以EF与DB确定平面BDEF，连接DE.因为AEEC，D为AC的中点，所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDED，所以AC平面BDEF.因为FB平面BDEF，所以ACFB.(2)设FC的中点为I，连接GI，HI.在CEF中，因
5、为G是CE的中点，所以GIEF.又EFDB，所以GIDB.在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC.又HIGII，所以平面GHI平面ABC，因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.探究提高 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.【训练1】如图，在四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点.求证：(1)CE平
6、面PAD；(2)平面EFG平面EMN.证明(1)法一 如图 1，取 PA 的中点 H，连接 EH，DH.又因为 E 为 PB 的中点，所以 EHAB，且 EH12AB.图1 又 ABCD，CD12AB，所以 EHCD，且 EHCD.所以四边形 DCEH 是平行四边形.所以 CEDH.又 DH平面PAD，CE平面 PAD，因此，CE平面 PAD.法二 如图 2，连接 CF.因为 F 为 AB 的中点，所以 AF12AB.图2 又 CD12AB，所以 AFCD，又 AFCD，所以四边形 AFCD 为平行四边形.因此 CFAD.又 CF平面 PAD，AD平面 PAD，所以 CF平面 PAD.因为 E
7、，F 分别为 PB，AB 的中点，所以 EFPA.又 EF平面 PAD，PA平面 PAD，所以EF平面PAD.因为CFEFF，故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF，所以CE平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又ABPA，所以ABEF.同理可证ABFG.又EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MNDC，又ABDC，所以MNAB，所以MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.热点二 利用平行、垂直关系判断点的存在性【例 2】(2016四川卷)如图，在四棱锥 PABCD中，PACD，AD
8、BC，ADCPAB90，BCCD12AD.(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由.(2)证明：平面PAB平面PBD.(1)解 取棱 AD 的中点 M(M平面 PAD)，点 M 即为所求的一个点，理由如下：因为 ADBC，BC12AD.所以 BCAM，且 BCAM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CMAB.又AB平面PAB.CM平面PAB.所以CM平面PAB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明 由已知，PAAB，PACD.因为 ADBC，BC12AD，所以直线 AB 与 CD 相交，所以 PA平面 ABCD.从而 PABD.连接
9、 BM，因为 ADBC，BC12AD，所以 BCMD，且 BCMD.所以四边形 BCDM 是平行四边形，所以 BMCD12AD，所以BDAB.又 ABAPA，所以 BD平面 PAB.又 BD平面 PBD，所以平面 PAB平面 PBD.探究提高 探求点的位置常常是线段的中点、三等分点等，关键是通过垂直、平行关系寻找线线平行.【训练 2】如图，三棱锥 PABC 中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.(1)求三棱锥 PABC 的体积；(2)证明：在线段 PC 上存在点 M，使得 ACBM，并求PMMC的值.(1)解 由题设 AB1，AC2，BAC60，可得 SABC12ABACsi
10、n 60 32.由 PA平面ABC，可知 PA 是三棱锥 PABC 的高，又 PA1.所以三棱锥 PABC 的体积 V13SABCPA 36.(2)证明 在平面ABC内，过点B作BNAC，垂足为N，在平面PAC内，过点N作MNPA交PC于点M，连接BM.由PA平面ABC知PAAC，所以MNAC.由于BNMNN，故AC平面MBN，又BM平面MBN，所以ACBM.在 RtBAN 中，ANABcosBAC12，从而 NCACAN32，由 MNPA，得PMMCANNC13.热点三 平面图形翻折中的平行、垂直关系【例3】(2016全国卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，
11、CD上，AECF，EF交BD于点H，将DEF沿EF折到DEF的位置.(1)证明：ACHD；(2)若 AB5，AC6，AE54，OD2 2，求五棱锥DABCFE 的体积.(1)证明 由已知得 ACBD，ADCD，又由 AECF 得AEADCFCD，故 ACEF，由此得 EFHD，折后 EF 与 HD 保持垂直关系，即 EFHD，所以 ACHD.(2)解 由 EFAC 得OHDOAEAD14.由 AB5，AC6 得 DOBO AB2AO24，所以 OH1，DHDH3，于是 OD2OH2(2 2)2129DH2，故 ODOH.由(1)知 ACHD，又 ACBD，BDHDH，所以 AC平面 BHD，于
12、是 ACOD，又由 ODOH，ACOHO，所以 OD平面 ABC.又由EFACDHDO得 EF92.五边形 ABCFE 的面积 S126812923694.所以五棱锥 DABCFE 的体积 V13694 2 223 22.探究提高(1)解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口.(2)把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决.【训练 3】(2016江西八校联考)如图 1，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，ADA
13、E，F 是BC 的中点，AF 与 DE 交于点 G，将ABF 沿 AF 折起，得到如图 2 所示的三棱锥 ABCF，其中 BC 22.(1)证明：DE平面 BCF；(2)证明：CF平面 ABF；(3)当 AD23时，求三棱锥 FDEG 的体积 VFDEG.(1)证明 在等边ABC 中，ADAE，ADDBAEEC在折叠后的三棱锥 ABCF 中也成立.DEBC，又 DE平面 BCF，BC平面 BCF，DE平面 BCF.(2)证明 在等边ABC 中，F 是 BC 的中点，AFCF.在三棱锥 ABCF 中，BC 22，BFCF12，BC2BF2CF2，CFBF.又 BFAFF，CF平面 ABF.(3)
14、解 由(1)、(2)可知 GE平面 DFG，即 GE 为三棱锥 EDFG 的高.VFDEGVEDFG1312DGFGGE13121313 32 133324.1.空间中点、线、面的位置关系的判定(1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例.(2)可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义.2.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l，ala.3.在应用直线和平面平行的性质定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面就平行于这个平面内的所有直线”的错误.4.解决平面图形的翻折问题，关键是抓住平面图形翻折前后的不变“性”与“量”，即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等.
