1、机械能及其守恒定律一、 系统机械能守恒例1. 如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L（未超过弹性限度），则在圆环下滑到最大距离的过程中（ ） A圆环的机械能守恒B弹簧弹性势能变化了mgLC圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变【考点】功能关系；机械能守恒定律菁优网版权所有【分析】分析圆环沿杆下滑的过程的受力和做功情况，由于弹簧的拉力对圆环做功，所以圆环机械能不守恒，系统的机械能守恒；根据系统的机
2、械能守恒进行分析【解答】解：A、圆环沿杆滑下过程中，弹簧的拉力对圆环做功，圆环的机械能不守恒，故A错误，B、图中弹簧水平时恰好处于原长状态，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L，可得物体下降的高度为h=L，根据系统的机械能守恒得 弹簧的弹性势能增大量为Ep=mgh=mgL，故B正确C、圆环所受合力为零，速度最大，此后圆环继续向下运动，则弹簧的弹力增大，圆环下滑到最大距离时，所受合力不为零，故C错误D、根据圆环与弹簧组成的系统机械能守恒，知圆环的动能先增大后减小，则圆环重力势能与弹簧弹性势能之和先减小后增大，故D错误故选：B【点评】对物理过程进行受力、运动、做功分析，是解决问题的根本方法要注意
3、圆环的机械能不守恒，圆环与弹簧组成的系统机械能才守恒 例2. 如图，一很长的不可伸长的柔软细绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和ba球质量为m，静置于地面，b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧从静止开始释放b后，a可能到达的最大高度为（ ） AhBl.5hC2hD2.5h【考点】机械能守恒定律菁优网版权所有【专题】机械能守恒定律应用专题【分析】本题可以分为两个过程来求解，首先根据ab系统的机械能守恒，可以求得a球上升h时的速度的大小，之后，b球落地，a球的机械能守恒，从而可以求得a球上升的高度的大小【解答】解：设a球到达高度h时两球的速度v，根据机械能守恒：b球的重力势能减小
4、转化为a球的重力势能和a、b球的动能即：3mgh=mgh+（3m+m）V2解得 两球的速度都为V=，此时绳子恰好松弛，a球开始做初速为V=的竖直上抛运动，同样根据机械能守恒：mgh+mV2=mgH解得a球能达到的最大高度H为1.5h故选B【点评】在a球上升的全过程中，a球的机械能是不守恒的，所以在本题中要分过程来求解，第一个过程系统的机械能守恒，在第二个过程中只有a球的机械能守恒 例3. 上端高H处自由下落，刚接触到弹簧时的速度为v，在弹性限度内弹簧的最大压缩量为h，若设球在最低处的重力势能为零，那么弹簧被压缩了h时的弹性势能为（ ） AmgHBmghCmgh+mv2Dmg（H+h）【考点】功
5、能关系菁优网版权所有【分析】小球和弹簧系统机械能守恒，小球自由落体阶段机械能也守恒，根据守恒定律列式求解即可【解答】解：初位置小球的动能为零，重力势能为：mg（h+H），机械能为 mg（h+H）；刚接触弹簧时的机械能为：mgh+mv2；末位置小球的动能为零，重力势能为零；小球和弹簧系统机械能守恒，小球机械能的减小量等于弹簧弹性能的增加量，则弹簧被压缩了h时的弹性势能为 mg（h+H）或者mgh+mv2；故CD正确，AB错误；故选：CD【点评】本题关键根据机械能守恒定律列式求解，要注意多解性，不要漏解属于基础题 例4. 相同大小的物体A、B用轻弹簧相连（弹簧的轴线过两球的球心）静止在水平面上，如
6、图所示已知B球与水平面间的最大静摩擦力足够大，而A球与水平面的摩擦力非常小科忽略不计现对A球施加一个水平向右的外力，使它缓慢向左移动一端距离后撤去外力在A向左移动过程中，B始终处于静止状态，且外力做的功为W就外力撤去后，A向右运动的过程，以下分析判断正确的是（ ） AA物体机械能守恒BB一直处于静止状态，且所受静摩擦力的大小由零增至最大后又从最大减至零CA的动能由零不断增大，且最大动能为WD弹簧的弹性势能从最大不断减小至零后再由零不断增至最大，且最大弹性势能为W【考点】功能关系；机械能守恒定律菁优网版权所有【分析】对于单个物体，在只有重力做功时机械能才守恒分析弹簧弹力的变化，由平衡条件分析B所
7、受的静摩擦力的变化根据能量转化过程，由机械能守恒定律分析能量是如何转化【解答】解：A、由于在A向右运动的过程中，弹簧的弹力对A做功，所以A的机械能增加，故A错误B、弹簧的弹力先减小后增大，由平衡条件可知，B所受静摩擦力的大小先由最大减至零后由零增至最大，故B错误C、A的动能先增大后减小，由功能关系可知，A的最大动能为W，故C错误D、弹簧先压缩后伸长，弹性势能从最大不断减小至零后再由零不断增至最大，且最大弹性势能为W故D正确故选：D【点评】解决本题的关键要准确理解机械能守恒的条件，明确本题中A的机械能不守恒，但弹簧和A组成的系统机械能是守恒的 例5. 如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光
8、滑的水平面上，槽的左侧有一竖直墙壁现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ） A小球从开始下落至运动到半圆形槽最低点的过程中，重力的功率越来越大B小球从开始下落到从右侧离开槽的过程中，小球的机械能守恒C小球从右侧离开半圆形槽后，能上升到与开始下落位置高度相同的地方D小球从刚进入半圆形槽到从右侧离开槽的过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒【考点】机械能守恒定律；功率、平均功率和瞬时功率菁优网版权所有【专题】机械能守恒定律应用专题【分析】一小球自左端槽口A点的正上方从静止开始下落于光滑的半圆柱槽，且槽置于光滑的水平面上由于槽的
9、左侧有一竖直墙壁，只有重力做功，小球的机械能守恒当小球从最低点上升时，槽也会向右运动水平方向满足动量守恒在运动过程中，仍只有重力做功，小球与槽的机械能守恒【解答】解：A、由于小球在最低点时，速度方向沿水平方向；故重力的功率在最低点处时为零；因此重力的功率不是越来越大的；故A错误；B、小球在槽的右侧时，由于槽在运动，故作用力对小球做功；因此小球的机械能不守恒；故B错误；C、由于球的机械能有部分转化为槽的动能；故小球最后不能上升到等高的位置；故C错误；D、由于小球和槽组成的系统没有外力做功；故小球与槽组成的系统机械能是守恒的；故D正确；故选：D【点评】考查动量守恒定律与机械能守恒定律当球下落到最低
10、点过程，由于左侧竖直墙壁作用，小球与槽组成的系统水平方向上的动量不守恒，但小球机械能守恒当球从最低点上升时，小球与槽组成的系统水平方向上的动量守恒，但小球机械能不守恒，而小球与槽组成的系统机械能守恒 例6. 如图，长为2L的轻杆两端分别固定质量均为m的两小球P、Q，杆可绕中点的轴O在竖直平面内无摩擦转动若给P球一个大小为的速度，使P、Q两球在竖直面内做匀速圆周运动不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ） AQ球在运动过程中机械能守恒BP从最高点运动到最低点过程中杆对其做功为2mgLC水平位置时杆对P的作用力大小为mgDQ到达最高点时杆对其作用力大小为mg【考点】功能关系；向心力；动
11、能和势能的相互转化菁优网版权所有【分析】两个小球在运动的过程中受重力和杆的弹力作用，杆的弹力和重力的合力提供向心力，故小球在最高点与最低点时杆的弹力的方向一定与杆平行，但可能与杆同向，也可能与杆反向最低点时方向肯定向上【解答】解：A、由于两个小球的质量相等，所以P、Q两球在竖直面内做匀速圆周运动，两球在运动的过程中，二者的总重力势能保持不变，但单个的小球的重力势能不断变化，Q球在运动过程中机械能不守恒故A错误；B、P从最高点运动到最低点过程中动能不变，重力对其做功是mg2L，所以杆对其做功为2mgL故B错误；C、在水平位置时，杆的弹力和重力的合力提供向心力，受力如图，则：故C正确；D、Q到达最
12、高点时，设在最高点时，假设杆的作用力向下，根据向心力公式得：mg+T=解得：T=mg故D正确故选：CD 【点评】该题中P与Q的质量是相等的，所以系统的力矩平衡，两球都做匀速圆周运动，要注意杆对小球可以是拉力，可以是支持力，要注意对小球的受力分析 例7. 如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与一弹性橡皮绳相连，橡皮绳的另一端固定在地面上的A点，橡皮绳竖直时处于原长h让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零则在圆环下滑过程中 （整个过程中橡皮绳始终处于弹性限度内）（ ） A橡皮绳的弹性势能一直增大B圆环的机械能先不变后减小C橡皮绳的弹性势能增加了mghD橡皮绳再次到达原长时圆环动
13、能最大【考点】功能关系；动能和势能的相互转化菁优网版权所有【分析】分析圆环沿杆下滑的过程的受力和做功情况，只有重力橡皮绳的拉力做功，所以圆环机械能不守恒，但是系统的机械能守恒；沿杆方向合力为零的时刻，圆环的速度最大【解答】解：A、橡皮绳的弹性势能随橡皮绳的形变量的变化而变化，由图知橡皮绳先缩短后再伸长，故橡皮绳的弹性势能先不变再增大故A错误；B、圆环沿杆滑下，滑到杆的底端的过程中有两个力对圆环做功，即环的重力和橡皮绳的拉力；所以圆环的机械能不守恒，如果把圆环和橡皮绳组成的系统作为研究对象，则系统的机械能守恒，因为橡皮绳的弹性势能先不变再增大，所以圆环的机械能先不变后减小，故B正确；C、根据系统
14、的机械能守恒，圆环的机械能减少了mgh，那么橡皮绳的机械能的减小量等于弹性势能增大量，为mgh故C正确；D、在圆环下滑过程中，橡皮绳再次到达原长时，该过程中动能一直增大，但不是最大，沿杆方向合力为零的时刻，圆环的速度最大故D错误故选：BC【点评】对物理过程进行受力、运动、做功分析，是解决问题的根本方法这是一道考查系统机械能守恒的基础好题 【过关检测】1. 如图所示，质量均为m的A、B用轻弹簧连接在一起，弹簧的劲度系数为k，质量为2m的C用细线通过光滑的定滑轮连接开始时A、B均静止在带有挡板的光滑斜面上，A紧靠在挡板处，用手托住C，使细绳刚好被拉直，斜面的倾角为=30现把手拿开，让C从静止开始运
15、动，试分析从C开始运动到A刚要离开斜面的过程中，下列说法正确的是（ ） AC下降的高度为B弹簧的弹性势能增加了CC克服绳的拉力所做的功为DB、C与地球组成的系统，机械能减少了【考点】功能关系；功的计算；机械能守恒定律菁优网版权所有【分析】由平衡条件和胡克定律结合求出刚开始与A刚要离开挡板时弹簧的形变量，再由几何关系求解C下降的高度根据弹簧的形变量分析弹性势能的变化根据系统的机械能守恒求出C的速度，再由动能定理求C克服绳的拉力所做的功【解答】解：A、开始时，弹簧的压缩量 x1=，A刚要离开挡板时，弹簧的伸长量 x2=，则C下降的高度 h=x1+x2=，故A正确B、由于开始时弹簧的压缩量与末了时弹
16、簧的伸长量相等，所以弹簧的弹性势能不变，故B错误C、设A刚要离开挡板时，B、C的速度大小为v由系统的机械能守恒得 2mgh=mgh+（m+2m）v2；对C，由动能定理得：2mghW=联立解得C克服绳的拉力所做的功为故C正确D、B、C与地球组成的系统，机械能减少量等于弹性势能的变化，则知系统的机械能不变，故D错误故选：AC【点评】本题关键是分析求出系统的运动情况，然后结合机械能守恒定律和胡克定律列式求解分析要注意弹簧的弹性势能与形变量大小有关 2. 如图，直立弹射装置的轻质弹簧顶端原来在O点，O与管口P的距离为2xo，现将一个重力为mg的钢珠置于弹簧顶端，再把弹簧压缩至M点，压缩量为xo释放弹簧
17、后钢珠被弹出，钢珠运动到P点时的动能为4mgxo，不计一切阻力，下列说法中正确的是（ ） A弹射过程，弹簧和钢珠组成的系统机械能守恒B弹簧恢复原长时，弹簧的弹性势能全部转化钢珠的动能C钢珠弹射所到达的最高点距管口P的距离为7xoD弹簧被压缩至M点时的弹性势能为7mgxo【考点】功能关系；机械能守恒定律菁优网版权所有【分析】A、只有重力作用下，系统机械能守恒；B、弹簧恢复原长时，钢珠的动能和重力势能都增加；C、D、根据钢珠运动到P点时的动能和势能，计算出总的机械能，即弹簧被压缩至M点时的弹性势能，然后计算出运动的最高位置距离M的距离，进而求出距离管口P的距离【解答】解：A、弹射过程中，对弹簧和钢
18、珠组成的系统而言，只受重力作用，故总系统机械能守恒，故A正确；B、D、弹簧恢复原长时，钢珠的动能增加到4mgxo，且竖直方向上，钢珠位置升高了3x0，即重力势能增加量：Ep=3mgx0，故弹簧被压缩至M点时的总弹性势能为：E=4mgx0+3mgx0=7mgx0，一部分转化为钢珠的动能，一部分转化为钢珠的重力势能，故B错误，D正确；C、钢珠到达管口P点时动能为4mgxo，当钢珠达到最大高度时，动能为0，动能转化为重力势能，则上升的最大高度距离管口的距离h满足：mgh=4mgxo，故上升的最大高度距离管口的距离：h=4xo，故C错误；故选：AD【点评】本题主要考查只受重力作用下的系统机械能守恒定律
19、，需要选择M位置为参考面，钢珠机械能为0，到P点时弹性势能全转变为钢珠的动能和重力势能，注意机械能守恒中，物体动能和重力势能是相互转化的 3. 如图，固定在地面的斜面体上开有光滑凹槽，槽内紧挨放置六个相同小球，各球编号如图斜面与水平光滑轨道OA平滑连接，现将六个小球从61由静止逐个释放，小球离开A点后，落到水平地方上，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ） A球1落地时的动能最大B球6离开A点到落地的所用时间最短C六个小球的在运动过程中机械能不守恒D六个球落地点各不相同【考点】机械能守恒定律；功能关系菁优网版权所有【专题】机械能守恒定律应用专题【分析】将六个小球从61由静止逐个释放，每个小球运动
20、过程中都是只有重力做功，机械能守恒，根据守恒定律判断落地动能大小；球离开A点后做平抛运动，根据h=判断运动的时间长短；根据x=v0t判断射程大小【解答】解：A、每个小球运动过程中都是只有重力做功，机械能守恒，由于球1的重力势能减小量最大，根据机械能守恒定律可知球1落地的动能最大，故A正确；B、每个小球离开A点后均是平抛运动，根据h=，6个球离开A点到落地的所用时间相等，故B错误；C、六个小球的在运动过程中只有重力做功，机械能守恒，故C错误；D、六个球离开A点的速度各不相同，即平抛的初速度均不同，根据x=v0t，故落地点各不相同，故D正确；故选：AD【点评】本题运用机械能守恒时，关键要明确研究对
21、象，选择研究的过程，再进行分析 4. 如图所示，半径分别为R和r（Rr）的甲、乙两光滑半圆轨道放置在同一竖直平面内，两轨道之间由一光滑水平轨道CD相连，在水平轨道CD上有一轻弹簧被a、b两个质量均为m的小球夹住，但不拴接同时释放两小球，弹性势能全部转化为两球的动能，若两球获得相等动能，其中有一只小球恰好能通过最高点，另一小球在最高点时对轨道的压力为mg，两球离开半圆轨道后均做平抛运动落到水平轨道的同一点（不考虑小球在水平面上的反弹，不计空气阻力）则（ ） A恰好通过最高点的是b球Ba球、b球组成的系统机械能守恒C轨道半径R=rDCD两点之间的距离为R【考点】机械能守恒定律；向心力菁优网版权所有
22、【专题】机械能守恒定律应用专题【分析】小球恰好能通过最高点，在最高点，由重力提供向心力，则半径越大，到达最高点的动能越大，而两球初动能相等，其中有一只小球恰好能通过最高点，所以是a球刚好到达最高点，此时对轨道的压力为零，分别对ab两球在最高点，根据牛顿第二定律列式结合机械能守恒定律列式求解半径关系，ab两球离开轨道后做平抛运动，CD的距离等于两球平抛运动的水平距离之和，根据平抛运动的基本公式即可求解CD的距离【解答】解：A、由于两球离开轨道后均做平抛运动且均能经过最高点，a球的轨道半径大，到达最高点的速度小，故恰好通过最高点的是a球，故A错误；B、a球、b球、弹簧组成的系统只有重力和弹簧弹力做
23、功，系统机械能守恒，故B正确；C、对于a球在最高点有，b球在最高点有，由机械能守恒可得，解得，故C错误；D、ab两球离开轨道后做平抛运动，CD的距离等于两球平抛运动的水平距离之和，根据平抛运动的基本公式得：CD之间的距离为=，故D正确故选：BD【点评】本题主要考查了机械能守恒定律、向心力公式、平抛运动基本公式的直接应用，过程较为复杂，要求同学们能正确分析小球的运动过程中，能根据基本规律解题，难度适中 5. 如图所示，在竖直平面内有光滑轨道ABCD，其中BC是半径为R的四分之一圆弧轨道，AB是竖直轨道，CD是水平轨道AB与BC相切于B点，CD与BC相切于C点一根长为2R的轻杆两端分别固定着两个质
24、量均为m的相同小球P、Q（视为质点），从Q与B等高处由静止释放，两球滑到水平轨道上重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ） A下滑的整个过程中P球机械能守恒B下滑的整个过程中两球组成的系统机械能守恒CQ球过C点的速度大小为D下滑的整个过程中Q球机械能增加量为mgR【考点】机械能守恒定律菁优网版权所有【专题】机械能守恒定律应用专题【分析】下滑过程两个球组成的系统，只有重力做功，机械能守恒；根据机械能守恒定律列式求解速度；两个球沿着杆子方向的分速度一直是相等的【解答】解：A、B、下滑过程中，对两个球组成的系统，只有重力做功，故机械能守恒，而单个球机械能均不守恒，故A错误，B正确；C、Q球过C点时
25、，杆与竖直方向的夹角的余弦：cos=，故=60；根据机械能守恒定律，有：mgR+mg（3RR）= 杆不可伸长，故两个球沿着杆方向的分速度相等，故：vPcos30=vQcos60 联立解得：vP=vQ=故C错误；D、下滑的整个过程中，根据机械能守恒定律，有： 解得：v=2故Q球机械能增加量为：E=mgR；故D正确；故选：BD【点评】本题关键是明确两个小球系统的机械能守恒，然后结合机械能守恒定律和运动的合成与分解的知识列式分析，不难 6. 如图所示有一个竖直放置的光滑型框架，质量相等的滑块A、B分别套在框架的水平杆和竖直杆上，两滑块用不可伸长的轻绳相连，两滑块均可视为质点用手托住B物体使A、B系统
26、静止，使绳水平伸直然后释放滑块B，当细绳与竖直方向的夹角为600时，滑块B沿竖直杆下落的速度大小为V，则连接AB的绳长为（ ） ABCD【考点】机械能守恒定律菁优网版权所有【专题】机械能守恒定律应用专题【分析】将A、B的速度分解为沿绳的方向和垂直于绳子的方向，根据两物体沿绳子方向的速度相等，求出A的速度，再根据系统机械能守恒，求出B下降的高度，从而求出AB的绳长【解答】解：将A、B的速度分解为沿绳的方向和垂直于绳子的方向，两物体沿绳子方向的速度相等，有：vBcos60=vAcos30所以：vA=vAB组成的系统机械能守恒，有：mgh=mvA2+mvB2所以：h=绳长l=2h=故D正确，A、B、
27、C错误故选：D【点评】解决本题的关键会对速度进行分解，以及知道AB组成的系统机械能守恒；能根据机械能守恒定律列式求解 7. 如图所示，半径为R的光滑圆环竖直放置，环上套有质量分别为m和2m的小球A和B，A、B之间用一长为R的轻杆相连开始时A在圆环的最高点，现将A、B静止释放，则（ ） AB球从开始运动至到达圆环最低点的过程中，杆对B球所做的总功不为零BA球运动到圆环的最低点时，速度为零CB球可以运动到圆环的最高点D在A、B运动的过程中，A、B组成的系统机械能守恒【考点】机械能守恒定律；功的计算菁优网版权所有【专题】机械能守恒定律应用专题【分析】（1）把AB看成一个系统，只有重力做功，系统机械能
28、守恒，根据机械能守恒定律即可求解；（2）对A球运用动能定理即可求解；（3）设B球到右侧最高点时，OB与竖直方向夹角为，圆环圆心处为零势能面系统机械能守恒，根据机械能守恒定律即可求解【解答】解：A、系统机械能守恒，mAgR+mBgR=mAvA2+mBvB2又因为vA=vB得：vA=根据动能定理：mBgR+W=mBvB2而：vB=解得：W=0，AB错误；C、设O点为圆心，当B球到右侧最高点时，OB与竖直方向夹角为，圆环圆心处为零势能面系统机械能守恒，mAgR=mBgRcosmAgRsin 代入数据得，=37 所以B球在圆环右侧区域内能达到的最高点与竖直方向夹角为37，C错误；D、在A、B运动的过程
29、中，A、B组成的系统只有重力做功，机械能守恒，D正确；故选：D【点评】本题主要考查了机械能守恒定律以及动能定理的直接应用，要求同学们能选取适当的研究对象，难度适中 8. 如图所示，在光滑的水平地面上有一个表面光滑的物块P，它的质量为M，一长为L的轻杆下端用光滑铰链连接于O点，O点固定于地面上，轻杆的上端连接着一个可视为质点的小球Q，它的质量为m，且M=5m开始时，小球斜靠在物块左侧，它距地面的高度为h，物块右侧受到水平向左推力F的作用，整个装置处于静止状态若现在撤去水平推力F，则下列说法中正确的是（ ） A物块先做匀加速运动，后做匀速运动B在小球和物块分离前，当轻杆与水平面的夹角为时，小球的速
30、度大小C小球与物块分离时，小球一定只受重力作用D在小球落地之前，小球的机械能一直减少【考点】机械能守恒定律菁优网版权所有【专题】机械能守恒定律应用专题【分析】当立方体的速度大于小球在水平方向的速度时，立方体和小球分离，在分离之前，小球和立方体的水平方向速度相同，由能量守恒定律可以判断AB，在分离之前，立方体一直向右加速运动，小球的速度也增大，合外力做正功，分离后，只有重力做功，机械能守恒【解答】解：A、假设立方体和地面之间有摩擦力，若摩擦力太大，则小球不会推动立方体运动，如摩擦力太小，立方体会在小球落在水平地面上之前离开小球；若摩擦力适中，小球恰好在落到水平地面的后与立方体分离由于物块P与地面
31、间没有摩擦，故P物体会在小球落在水平地面上之前离开小球，故物块先做匀加速运动，后做匀速运动，故A正确；B、在小球和物块分离前，当轻杆与水平面的夹角为时，由能量守恒定律有：mg（hLsin）= 将小球的速度沿着水平方向和竖直方向正交分解，有：vP=vQsin 联立解得：vQ=故B正确；C、对小球和立方体整体受力分析，受重力、杆的弹力T、支持力，在水平方向运用牛顿第二定律，有：Tcos=（m+M）ax，刚分离时加速度的水平分量为零，故杆的弹力为零，故小球只受重力；故C正确；D、在分离之前，小球的机械能减小，分离后，只有重力做功，机械能守恒，故D错误；故选：ABC【点评】本题关键是找到小球的分运动和
32、合运动，知道当立方体的速度大于小球在水平方向的速度时，立方体和小球分离，在分离之前，小球和立方体的水平方向速度相同，难度适中 9. 如图所示，固定于水平面内的直角形光滑杆，OM与ON段均足够长，转角处为光滑的小圆弧质量均为m的A、B两个有孔小球串在杆上，且被长为L的轻绳相连忽略两球的大小，初态时，它们的位置如图中虚线所示，两球均静止，绳处于伸直状态，且与OM平行现对B球施加沿ON方向的恒定拉力F，当B球运动L，两球位置如图中实线所示，此时B球的速度大小为（ ） ABCD【考点】机械能守恒定律菁优网版权所有【专题】机械能守恒定律应用专题【分析】根据平行板四边形定则，抓住两球沿绳子方向的速度相等求
33、出A、B的速度关系，再根据动能定理即可求解【解答】解：对两球及绳组成的系统分析，由动能定理得： 由于两球沿着绳子方向的速度相同，则vAcos37=vBcos53联立解得：故选：C【点评】本题考查了运动合成、分解与动能定理的综合，注意A、B的速度大小不等，但是在沿绳子方向的分速度大小相等 10. 如图所示轻质弹簧的一端与固定的竖直板P拴接，另一端与物体A相连，物体A静止于光滑水平桌面上，右端接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连开始时用手托住B，让细线恰好伸直，然后由静止释放B直至B获得最大速度下列有关该过程的分析正确的是（ ） AB物体的动能增加量等于B物体重力势能的减少量BB物体的机械能
34、一直减小C细线拉力对A做的功等于A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量DB物体机械能的减少量等于弹簧的弹性势能的增加量【考点】功能关系菁优网版权所有【分析】正确解答该题要分析清楚过程中两物体受力的变化情况和各个力做功情况，根据功能关系明确系统动能、B重力势能、弹簧弹性势能等能量的变化情况，注意各种功能关系的应用【解答】解：A、B、由于要可以细线拉力做功，故物体B的机械能减小，故物体B的重力势能的减小量大于其动能的增加量，故A错误，B正确；C、系统机械能的增量等于系统除重力和弹簧弹力之外的力所做的功，A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于细线拉力对A做的功，故C正确；D、整个系统中，根据功能
35、关系可知，B减小的机械能能转化为A的机械能以及弹簧的弹性势能，故B物体机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量，故D错误；故选：BC【点评】正确受力分析，明确各种功能关系，是解答这类问题的关键，这类问题对于提高学 11. 如图所示，物体A、B的质量都为m现用手托着物体A使弹簧处于原长，细绳刚好竖直伸直，A与地面的距离为h，物体B静止在地面上放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，设物体A落地后不反弹则下列说法中正确的是（ ） AA落地时，弹簧的弹性势能等于mghmv2B弹簧的劲度系数为C与地面即将接触时A的加速度大小为g，方向竖直向上D物体A落地后B能上升到的
36、最大高度为h【考点】功能关系；弹性势能菁优网版权所有【分析】由题，物体B对地面恰好无压力时，物体A下落高度为h，则知此时弹簧所受的拉力大小等于B的重力mg，弹簧伸长的长度为h，由胡克定律F=kx求解弹簧的劲度系数A与弹簧组成的系统机械能守恒，可求解求得弹簧的弹性势能此时物体B的速度为零根据牛顿第二定律求出A的加速度【解答】解：A、A与弹簧组成的系统机械能守恒，则有： mgh=+Ep，则弹簧的弹性势能：Ep=mgh故A正确；B、由题可知，此时弹簧所受的拉力大小等于B的重力，即F=mg，弹簧伸长的长度为x=h，由F=kx得，k=，故B正确；C、根据牛顿第二定律对A有：Fmg=ma，得a=0，故C错
37、误；D、物体A落地后B能上升到的最大高度小于h故D错误故选：AB【点评】本题是含有弹簧的问题，运用胡克定律、机械能守恒和牛顿第二定律进行研究，关键要抓住物体B对地面恰好无压力，确定出弹簧的弹力 12. 如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在竖直放置、半径为R的光滑圆环顶点P，另一端连接一套在圆环上且质量为m的小球，开始时小球位于A点，此时弹簧处于原长且与竖直方向的夹角为45，之后小球由静止沿圆环下滑，小球运动到最低点B时的速率为v，此时小球与圆环之间的压力恰好为零，已知重力加速度为g，下列分析正确的是（ ） A轻质弹簧的原长为RB小球过B点时，所受的合力为mg+mC小球从A到B的过程中，重
38、力势能转化为弹簧的弹性势能D小球运动到B点时，弹簧的弹性势能为mgRmv2【考点】功能关系；向心力菁优网版权所有【分析】从A到B的过程中，小球的机械能减小从A到B的过程中，小球受到弹簧的弹力做负功，重力做正功，根据动能定理分析两个功之间的大小关系小球过B点时，由重力和弹簧弹力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出弹簧的弹力小球过B点时，合力与速度垂直，其功率为零【解答】解：A、由几何知识可知弹簧的原长为R，故A错误；B、根据向心力公式：小球过B点时，则由重力和弹簧弹力的合力提供小球的向心力，F合=m，故B错误；C、以小球和弹簧组成的系统为研究对象，在小球从A到B的过程中，只有重力和弹簧的弹力做
39、功，系统的机械能守恒，小球重力势能减小转化为弹簧的弹性势能和动能故C错误D、根据能量的转化与守恒：mgR=mv2+EP得：EP=mgRmv2故D正确；故选：D【点评】此题中小球的机械能不守恒，可以从能量转化的角度进行分析确定功的大小，可以根据动能定理分析总功的正负来判断 13. 一质量为m的小球套在倾斜放置的固定光滑杆上，一根轻质弹簧的一端悬挂于O点，另一端与小球相连，弹簧与杆在同一竖直平面内，将小球沿杆拉到与弹簧水平的位置由静止释放，小球沿杆下滑，当弹簧位于竖直位置时，小球速度恰好为零，此时小球下降的竖直高度为h，如图所示若全过程中弹簧处于伸长状态且处于弹性限度内，重力加速度为g，则下列说法
40、正确的是（ ） A当弹簧与杆垂直时，小球动能最大B当小球沿杆方向的合力为零时，小球动能最大C在小球自开始下滑至滑到最低点的过程中，弹簧所做的负功小于mghD在小球自开始下滑至滑到最低点的过程中，弹簧弹性势能的增加量等于mgh【考点】功能关系；功的计算菁优网版权所有【分析】弹簧与杆垂直时，合外力方向沿杆向下，小球继续加速，速度没有达到最大值，运动过程中，只有重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，根据机械能守恒定律分析即可求解【解答】解：AB、弹簧与杆垂直时，弹力方向与杆垂直，合外力方向沿杆向下，小球继续加速，速度没有达到最大值故A错误，B正确；CD、小球运动过程中，只有重力和弹簧弹力做功，系统机械
41、能守恒，初末位置动能都为零，所以弹簧的弹性势能增加量等于重力势能的减小量，即为mgh，故C错误，D正确故选：BD【点评】本题主要考查了机械能守恒定律的直接应用，要求同学们能正确分析小球的受力情况和运动情况，难度不大，属于基础题 14. 如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长h让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零则在圆环下滑过程中（ ） A圆环机械能守恒B弹簧的弹性势能先增大后减小再增大C弹簧的弹性势能变化了mghD弹簧的弹性势能最大时圆环动能最大【考点】功能关系菁优网版权所有【分析】分析圆环沿杆下滑的
42、过程的受力和做功情况，只有重力和弹簧的拉力做功，所以圆环机械能不守恒，但是系统的机械能守恒；沿杆方向合力为零的时刻，圆环的速度最大【解答】解：A、圆环沿杆滑下，滑到杆的底端的过程中有两个力对圆环做功，即环的重力和弹簧的拉力；所以圆环的机械能不守恒，如果把圆环和弹簧组成的系统作为研究对象，则系统的机械能守恒，故A选项错误，B、弹簧的弹性势能随弹簧的形变量的变化而变化，由图知弹簧先缩短后再伸长，故弹簧的弹性势能先增大再减小后增大故B选项正确C、根据系统的机械能守恒，圆环的机械能减少了mgh，那么弹簧的机械能即弹性势能增大mgh故C选项正确D、根据系统机械能守恒，弹簧弹性势能最大时圆环的速度等于零，
43、故D选项错误故选：BC【点评】对物理过程进行受力、运动、做功分析，是解决问题的根本方法这是一道考查系统机械能守恒的基础好题 二、 连续体的机械能守恒例1. 一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图a所示若将一个质量为m小球分别拴在链条左端和右端，如图b、图c所示约束链条的挡板光滑，三种情况均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，关于它们的速度关系，下列判断中正确的是（ ）Ava=vb=vcBvavbvcCvcvavbDvavbvc【考点】机械能守恒定律菁优网版权所有【专题】机械能守恒定律应用专题【分析】在运动的过程中，对整个系统而言，机械能守恒抓住
44、系统重力势能的减小量等于动能的增加量，分别求出离开桌面时的速度【解答】解：铁链释放之后，到离开桌面，由于桌面无摩擦，对两次释放，桌面下方L处为0势能面则释放前，系统的重力势能为第一次，Ep1=mgL+mg=第二次，Ep2=（m+m）gL+mg=第三次，Ep3=mgL+mg+mg=mgL释放后Ep1=mgEp2=mgL+mg=mgLEp3=mgL则损失的重力势能Ep1=mgLEp2=mgLEp3=mgL那么Ep1=mva2Ep2=（2m）vb2Ep3=（2m）vc2解得：va2=vb2=gLvc2=gL显然 vc2va2vb2，所以vcvavb，故选：C【点评】解决本题的关键知道系统机械能守恒，
45、抓住系统重力势能的减小量等于系统动能的增加量进行求解 例2. 粗细均匀、全长为L米的链条，对称地挂在轻小而光滑的定滑轮上如图轻轻拉动一下链条的一端，使它从静止开始运动，则链条脱离滑轮的瞬间，其速度的大小为（ ） ABCD【考点】机械能守恒定律菁优网版权所有【专题】机械能守恒定律应用专题【分析】链条在下滑的过程中，对链条整体，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律求出链条的速度【解答】解：铁链从开始到刚脱离滑轮的过程中，链条重心下降的高度为h，在链条下落过程，由机械能守恒定律，得：mgh=mv2解得：v=故选：D【点评】本题主要考查了机械能守恒定律的直接应用，其中求重力势能的减小量时关键要
46、抓住重心下降的高度求解 例3. 如图所示，一条质量分布均匀的长度为L的铁链置于光滑水平桌面上用手按着一端，使另一端长L0的一段下垂放开手后使铁链从静止开始下滑，当铁链完全通过桌边的瞬间时，铁链具有的速率为（ ） ABCD【考点】机械能守恒定律菁优网版权所有【专题】机械能守恒定律应用专题【分析】取桌面为零势能面，将链条分为桌上的部分和桌下的部分分别确定出其初、末的重力势能，然后得到其变化量再机械能守恒列式，从而得出速率大小【解答】解：取桌面为零势能面，链条的重力为m，开始时链条的重力势能为：EP1=mg当链条刚脱离桌面时的重力势能：EP2=mg故重力势能的变化量：EP=EP2EP1=，即重力势能
47、减少；根据机械能守恒得：=解得 v=故选：D【点评】零势能面的选取是任意的，本题也可以选链条滑至刚刚离开桌边时链条的中心为零势能面，结果是一样的，要注意重力势能的正负例4. 如图所示，一个粗细均匀的U形管内装有同种液体，在管口右端盖板A密闭，两液面的高度差为h，U形管内液柱的总长度为4h现拿去盖板，液体开始运动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为（ ） ABCD【考点】理想气体的状态方程；封闭气体压强菁优网版权所有【专题】理想气体状态方程专题【分析】拿去盖板，液体开始运动，当两液面高度相等时，液体的机械能守恒，即可求出右侧液面下降的速度当两液面高度相等时，右侧高为h液柱重心下降了，液柱的
48、重力势能减小转化为整个液体的动能【解答】解：设管子的横截面积为S，液体的密度为拿去盖板，液体开始运动，根据机械能守恒定律得 hSg=4hSv2解得，v=故选D【点评】本题运用机械能守恒定律研究液体流动的速度问题，要注意液柱h不能看成质点，要分析其重心下降的高度 例5. 粗细均匀的U形管内装有总长为4L的液体开始时阀门K闭合，左右支管内液面高度差为L打开阀门K后，左右液面刚好相平时左管液面的速度大小为（不计液体与管壁之间的任何阻力）（ ） ABCD【考点】机械能守恒定律菁优网版权所有【专题】机械能守恒定律应用专题【分析】由于液体在流动时只有重力做功，则由机械能守恒可求得液体的速度【解答】解：设总
49、质量为m；由图可知，在液体流动过程中，液体的重力势能减小了Ep=mg；则由机械能守恒定律可得：mg=mv2；解得：v=；故选：A【点评】本题考机械能守恒定律的应用，要注意机械能改变量的求法，只需确定发生移动的那部分液体的重力势能即可 例6. 长为L质量分布均匀的绳子，对称地悬挂在轻小的定滑轮上，如图所示轻轻地推动一下，让绳子滑下，那么当绳子离开滑轮的瞬间，绳子的速度为 （重力加速度为g） 【考点】机械能守恒定律菁优网版权所有【专题】机械能守恒定律应用专题【分析】绳子在下滑过程中只有重力做功，故系统机械能守恒；由机械能守恒定律可求得绳子的速度【解答】解：以开始时绳子的最小端为零势能面；则绳子在整
50、个下落过程中，减小的机械能为：EP=2mg则由机械能守恒定律可知：mv2=EP=L解得：v=；故答案为：【点评】本题考查机械能守恒定律的应用，要注意明确开始时的重力势能应分为两边绳子进行计算，同时注意在计算中以重心的位置进行计算三、 利用动能定理和机械能守恒定律解决多过程问题例1. 由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段都是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内，A点切线水平一质量为m的小球，从距离水平地面某一高度的管口D处由静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ） A若小球到达A点时恰好对细管无作用力，则管口D离水平地面的高度H=2.
51、5RB若小球到达A点时恰好对细管无作用力，则小球落到地面时与A点的水平距离x=2RC小球在细管C处对细管的压力小于mgD小球能到达A处的最小释放高度Hmin=2R【考点】机械能守恒定律；共点力平衡的条件及其应用菁优网版权所有【专题】机械能守恒定律应用专题【分析】小球到达A点时恰好对细管无作用力，由重力提供向心力，可求小球通过A点的速度从A到D运动过程中只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律求出A点速度，从A点抛出后做平抛运动，根据平抛运动规律求出水平位移，细管可以提供支持力，所以到达A点的速度大于零即可【解答】解：A、由于小球到达A点时，恰好对细管无作用力，有mg=m，从D到A的运动过程
52、中只有重力做功，根据机械能守恒定律得：m+mg2R=mgH，解得vA=，H=2.5R，故A正确；B、根据平抛运动的公式：x=vAt，2R=gt2，得x=2R，故B正确；C、小球到C处时，具有向上的加速度，小球有超重现象，对细管的压力大于mg故C错误；D、小球能到达A处，根据机械能守恒知Hmin=2R，故D正确故选：ABD【点评】本题涉及的知识点较多，关键要掌握圆周运动最高点的临界条件，明确光滑轨道小球的机械能守恒 例2. 如图所示，一质量m0.4 kg的滑块(可视为质点)静止于动摩擦因数0.1的水平轨道上的A点现对滑块施加一水平外力，使其向右运动，外力的功率恒为P10.0 W经过一段时间后撤去
53、外力，滑块继续滑行至B点后水平飞出，恰好在C点沿切线方向进入固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道，轨道的最低点D处装有压力传感器，当滑块到达传感器上方时，传感器的示数为25.6 N已知轨道AB的长度L2.0 m，半径OC和竖直方向的夹角37，圆形轨道的半径R0.5 m(空气阻力可忽略，重力加速度g10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8)，求： (1)滑块运动到C点时速度vC的大小；(2)B、C两点的高度差h及水平距离x；(3)水平外力作用在滑块上的时间t.解析 (1)滑块运动到D点时，由牛顿第二定律得FNmgmD滑块由C点运动到D点的过程，由机械能守恒定律得mgR(1cos )2(
54、1)mvC( 2)2(1)mvD( 2)联立解得vC5 m/s(2)滑块在C点时，速度的竖直分量为vyvCsin 3 m/sB、C两点的高度差为hy0.45 m滑块由B运动到C所用的时间为tyg(vy)0.3 s滑块运动到B点时的速度为vBvCcos 4 m/sB、C间的水平距离为xvBty1.2 m(3)滑块由A点运动到B点的过程，由动能定理得PtmgL2(1)mvB( 2)解得t0.4 s答案 (1)5 m/s (2)0.45 m 1.2 m (3)0.4 s 例3. 如图所示的是某公园设计的一种惊险刺激的娱乐设施，轨道除CD部分粗糙外，其余均光滑，一挑战者质量为m，沿斜面轨道滑下，无能量
55、损失地滑入第一个圆管形轨道根据设计要求，在最低点与最高点各放一个压力传感器，测试挑战者对轨道的压力，并通过计算机显示出来挑战者到达A处时刚好对管壁无压力，又经过水平轨道CD滑入第二个圆管形轨道在最高点B处挑战者对管的内侧壁压力为0.5mg，然后从平台上飞入水池内若第一个圆管轨道的半径为R，第二个圆管轨道的半径为r，水面离轨道的距离为h2.25r，g取10 m/s2，管的内径及人相对圆管轨道的半径可以忽略不计则： 图9(1)挑战者若能完成上述过程，则他至少应从离水平轨道多高的地方开始下滑？(2)挑战者从A到B的运动过程中克服轨道阻力所做的功为多少？(3)挑战者入水时的速度大小是多少？解析 (1)
56、挑战者到达A处时刚好对管壁无压力，可得出mgmA设挑战者从离水平轨道H高处的地方开始下滑，运动到A点时正好对管壁无压力，在此过程中机械能守恒mgH2(1)mvA( 2)mg2R，解得H2(5R)(2)在B处挑战者对管的内侧壁压力为0.5mg，根据牛顿第二定律得：mgFNB，挑战者在从A到B的运动过程中，利用动能定理得：mg2(Rr)Wf2(1)mvB( 2)2(1)mvA( 2)联立解得Wf2(5)mgR4(9)mgr(3)设挑战者在第二个圆管轨道最低点D处的速度为v，则mg2r2(1)mvB( 2)2(1)mv2解得v2(2)挑战者离开第二个圆管轨道后在平面上做匀速直线运动，然后做平抛运动落
57、入水中，在此过程中机械能守恒，设挑战者入水时的速度大小为v，则mgh2(1)mv22(1)mv2解得：v3答案 (1)2(5R) (2)2(5)mgR4(9)mgr (3)3 例4. ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC的末端水平，DEF是半径为r0.4 m的半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，C、D可看做重合的点现有一可视为质点的小球从轨道ABC上距C点高为H的地方由静止释放(g取10 m/s2) (1)若要使小球经C处水平进入轨道DEF且能沿轨道运动，H至少多高？(2)若小球静止释放处离C点的高度h小于(1)中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，求h.答案 (1)0.2 m (2)0.1 m解析 (1)小球沿ABC轨道下滑，机械能守恒，设到达C点时的速度大小为v，则mgH2(1)mv2小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点必须满足mgr(mv2)两式联立并代入数据得H0.2 m.(2)若hH，小球过C点后做平抛运动，设球经C点时的速度大小为vx，则击中E点时，竖直方向上有r2(1)gt2水平方向上有rvxt又由机械能守恒定律有mgh2(1)mvx( 2)由联立可解得h4(r)0.1 m