1、课时素养评价 三十距离、直线与平面所成的角 (20分钟35分)1.在正三棱锥P-ABC中,三条侧棱两两互相垂直,侧棱长为a,则点P到平面ABC的距离为()A.aB.aC.aD.a【解析】选C.作PH平面ABC于H,连接CH并延长,交AB于D,连接PD,由PHCD=PCPD,求得PH=a.2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=(01),则点G到平面D1EF的距离为()A.B.C.D.【解析】选D.A1B1面D1EF,所以G到面D1EF的距离为A1到面D1EF的距离.在A1D1E中,过A1作A1HD1E交D1E于H
2、,显然A1H面D1EF,则A1H即为所求,在RtA1D1E中,A1H=.3.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是_.【解析】如图所示,取BC的中点E,连接DE,AE,则AE平面BB1C1C.所以AEDE,因此AD与平面BB1C1C所成角即为ADE,设AB=a,则AE=a,DE=,即有tanADE=,所以ADE=60.答案:604.已知正方形ABCD的边长为1,线段PA垂直于平面ABCD,且PA=1,则点P到点C的距离为_.【解析】如图,连接AC,则AC=.又PA平面ABCD,AC平面ABCD.所以PAA
3、C,又PA=1,所以在RtPAC中,PC=.答案:5.如图,边长为2的正方形ABCD在上的射影为EFCD,且AB到的距离为,则AD与所成的角为_.【解析】在RtAED中,AE=,AD=2,所以ADE=30.答案:306.如图所示,在ABC中,ACB=90,AB=8,BAC=60,PC平面ABC,PC=4,M为AC边上的一个动点,则PM的最小值为_.【解析】作CHAB交AB于H,连接PH.因为PC平面ABC,所以PHAB,则当点M在H处时,PH最小.因为AC=8cos 60=4,所以CH=4sin 60=2,所以PH=2,即PM的最小值为2.答案:2 (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共
4、20分)1.空间四点A,B,C,D每两点的连线长都等于a,动点P在线段AB上,动点Q在线段CD上,则点P与Q的最小距离为()A.B.aC.aD.a【解析】选B.当P,Q为中点时,PQ为AB和CD的公垂线,此时最短,求出得PQ=a.2.如图所示,AA平面ABB,BBAB,BAB=,ABA=,则ABAB等于()A.21 B.31 C.32 D.43【解析】选A.由BAB=,ABA=,设AB=2a,经计算BB=a,AB=a,所以在RtBBA中得AB=a,所以ABAB=21.3.在四面体ABCD中,已知ABAC,BDAC,那么点D在平面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上
5、D.ABC内部【解析】选A.在四面体ABCD中,因为ABAC,BDAC,ABBD=B,所以AC平面ABD,又AC平面ABC,所以平面ABC平面ABD,又平面ABC平面ABD=直线AB,故点D在平面ABC上的射影H必在直线AB上.4.已知平面平面,直线m,直线n,点Am,点Bn,记点A,B之间的距离为a,点A到直线n的距离为b,直线m和n的距离为c,则()A.bcaB.acbC.cabD.cba【解析】选D.如图:,考虑m,n异面时,m和n的距离等于,间的距离,点A到n的距离为:过A作AO于O,过O作OCn于C,则AC为A点到直线n的距离,显然,此时cba.二、多选题(每小题5分,共10分,全部
6、选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知平面外两点A,B到平面的距离分别是2和4,则A,B的中点P到平面的距离可能是()A.1B.2C.3D.4 【解析】选AC.若A,B在同侧,如图,则P到的距离为3;若A,B在异侧,如图,则P到的距离为PO-OO=3-2=1.6.如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SD底面ABCD,则在下列说法中,正确的是()A.ACSBB.AB平面SCDC.SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角D.ACSO【解析】选ABCD.连接SO,如图所示:因为四棱锥S-ABCD的底面是正方形,所以ACBD,因为SD底面ABCD,所以SDAC,因为B
7、DSD=D,所以AC平面SBD,因为SB平面SBD,所以ACSB,则A正确;因为ABCD,AB平面SCD,则B正确;因为SD底面ABCD,所以SAD和SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角,因为AD=CD,SD=SD,所以SAD=SCD,则C正确;因为AC平面SBD,SO平面SBD,所以ACSO,则D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.下列说法:平面的斜线与平面所成的角的取值范围是;直线与平面所成的角的取值范围是;若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线互相平行;若两条直线互相平行,则这两条直线与一个平面所成的角相等.其中正确的是_(填序号).【解析】应为
8、;中这两条直线可能平行,也可能相交或异面.答案:8.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,底面是边长为2的菱形,且ABC=45,PA=AB,则直线AP与平面PBC所成角的正切值为_.【解析】作AEBC于点E,连接PE,则BC平面PAE,可知点A在平面PBC上的射影在直线PE上,故APE为所求的角.AE=ABsin 45=,所以tanAPE= =.答案:四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,在棱长均为a的正三棱柱中,D为AB中点,连接A1D,DC,A1C.(1)求证:BC1平面A1DC;(2)求BC1到平面A1DC的距离.【解析】(1)如图所示,连接AC1交A1C于E,连接
9、DE,则DEBC1,而DE平面A1DC,BC1平面A1DC,所以BC1平面A1DC.(2)由(1)知BC1平面A1DC,所以BC1上任一点到平面A1DC的距离等于BC1到平面A1DC的距离.所以求C1到平面A1DC的距离即可.因为平面A1DC过线段AC1的中点,所以A到平面A1DC的距离等于C1到平面A1DC的距离.由题意知CDAB,CDAA1,ABAA1=A,所以CD平面ABB1A1.过A作平面A1DC的垂线,垂足H在A1D上.在RtA1AD中,A1AAD=A1DAH,解得AH=a,即BC1到平面A1DC的距离为a.10.如图,已知ABCD是矩形,AB=a,AD=b,PA平面ABCD,PA=
10、2c,Q是PA的中点,连接QB,QD,BD.求:(1)Q到BD的距离;(2)P到平面BQD的距离.【解析】(1)在矩形ABCD中,作AEBD,E为垂足,连接QE,因为QA平面ABCD,所以QABD,又AEQA=A,所以BD平面AEQ,得QEBD,所以QE的长为Q到BD的距离.在矩形ABCD中,AB=a,AD=b,所以AE=.在RtQAE中,QA=PA=c,所以QE=.所以Q到BD的距离为.(2)因为平面BQD经过PA的中点Q,所以P到平面BQD的距离等于A到平面BDQ的距离.在AQE中,作AHQE,H为垂足.因为BDAE,BDQE,所以BD平面AQE.所以BDAH,所以AH平面BQE,即AH为
11、A到平面BQE的距离.在RtAQE中,因为AQ=c,AE=,所以AH=.所以P到平面BQD的距离为.1.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,则点C到平面ABC1的距离为()A.B.C.D.【解析】选C.如图,取AB的中点E,连接CE,C1E,过点C作CFC1E,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,则ABCC1,因为ABC是等边三角形,所以ABCE,又CECC1=C,所以AB平面CC1E,因为CF平面CC1E,所以CFAB,所以CF平面ABC1,则CF的长即为所求.在RtCEC1中,CC1=1,CE=AB=,所以C1E=,由等面积得CF=.2.如图,已知AB
12、是圆O的直径,C为圆上一点,AB=2,AC=1,P为O所在平面外一点,且PA垂直于O所在平面,PB与平面ABC所成的角为45.(1)求证:BC平面PAC;(2)求点A到平面PBC的距离.【解析】(1)因为PA平面ABC,所以PABC.因为AB是O的直径,C为圆上一点,所以BCAC.又因为PAAC=A,PA,AC平面PAC,所以BC平面PAC.(2)如图,过点A作ADPC于点D,因为BC平面PAC,AD平面PAC,所以BCAD,所以AD平面PBC,所以AD即为点A到平面PBC的距离.因为PBA为PB与平面ABC所成的角,即PBA=45,所以PA=AB=2,AC=1,可得PC=.因为ADPC=PAAC,所以AD=,即点A到平面PBC的距离为.
