1、北京市新学道临川学校20182019学年度第二学期第一次月考高二数学理科班级_ 姓名_一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1根据导数的定义， 等于（ ）A BC D2=（ ）A B C D3如图，把1,3,6,10,这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是()A30 B29 C28 D274下列说法正确的是（ ）A类比推理，归纳推理，演绎推理都是合情推理 B合情推理得到的结论一定是正确的C合情推理得到的结论不一定正确 D归纳推理得到的结论一定是正确的5用反证法证明命题+是无理数”时，假设正确
2、的是A假设是有理数 B假设或是有理数C假设或是有理数 D假设+是有理数6已知函数的导函数的图象如图所示， 则函数的图象可能是（ ）A B C D7设，则z的虚部是A B C D8曲线在处的切线的倾斜角为（ ）A B C D9等比数列an中，a1=2，a8=4，函数f(x)=x(x-a1)(x-a2).(x-a8).则= ( )A26 B29 C212 D21510已知, 则等于（ ）A5 B4 C4 D011函数的最大值为（ ）A B C D12若函数的图像上存在不同两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相平行，则称具有“同质点”.关于函数：； ； ； 以上四个函数中具有“同质点”的函数是(
3、)A B C D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13用数学归纳法证明（）时，第一步应验证的不等式是 14如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则_15某物体做直线运动，其运动规律是 ( 的单位是秒，的单位是米)，则它在的瞬时速度为_.（单位：米/秒）16对于三次函数 有如下定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.若点是函数的“拐点”，也是函数图像上的点，则函数的最大值是_三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分10分） 求证：18（本小题满分12分） 请认真阅读下列材料：“杨辉三角” (1
4、261年)是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角”(1653年)早了300多年(如表1).在“杨辉三角”的基础上德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为1,分母为正整数的分数）,称为莱布尼兹三角形(如表2)请回答下列问题：（I）记Sn为表1中第n行各个数字之和,求，并归纳出；（II）根据表2前5行的规律依次写出第6行的数19（本小题满分12分） 已知函数（I）求函数的单调区间；（II）求在曲线上一点的切线方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 20（本小题满分12分） 已知函数f(x)=xex（I）求函数方程；（II）求
5、函数f(x)的单调区间21（本小题满分12分） 已知函数在处有极值1（I）求的值；（II）求函数在的值域22（本小题满分12分） 设函数(I)若曲线在点处的切线与轴平行，求；(II)若在处取得极小值，求的取值范围20182019学年度新临3月月考卷 高二数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1根据导数的定义， 等于（ ）A BC D【答案】C【解析】由导数的定义，得.故选C.2=（ ）A B C D【答案】D【解析】.故选D.3如图，把1,3,6,10,这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，则第七个三
6、角形数是()A30 B29 C28 D27【答案】C【解析】由于,故从第个开始,分别为,所以选.4下列说法正确的是（ ）A类比推理，归纳推理，演绎推理都是合情推理B合情推理得到的结论一定是正确的C合情推理得到的结论不一定正确D归纳推理得到的结论一定是正确的【答案】C【解析】合情推理得到的结论没有经过证明，是不一定正确的，故选选项.5用反证法证明命题“是无理数”时，假设正确的是A假设是有理数 B假设或是有理数C假设或是有理数 D假设是有理数【答案】D【解析】反证法应假设与命题相反地情况即是有理数故选D6已知函数的导函数的图象如图所示， 则函数的图象可能是（ ）(A) (B) (C) (D)【答案
7、】D【解析】试题分析：由图像可知导数值先正后负，所以原函数先增后减，只有D符合考点：函数导数与单调性77设，则z的虚部是A B C D【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法和除法运算，化简式子，即可得虚部。【详解】根据复数的乘法与除法运算，则 根据虚部定义，则虚部为-2。所以选D【点睛】本题考查了虚数的化简运算和基本概念，属于基础题。8曲线在处的切线的倾斜角为（ ）A B C D【答案】C【解析】由题得：切点， 切线斜率为1，故倾斜角为点睛：导数的切线方程的求法，先求切点将切点横坐标代入导数求斜率，然后求倾斜角9等比数列中，函数.则 ( )A B C D【答案】C【解析】因为,所以.10已知
8、,则等于（ ）A5 B4 C4 D0【答案】A【解析】【分析】对函数求导，将代入导函数中，即可得到答案。【详解】，令，故,，故选A.【点睛】本题考查了导数的计算，属于基础题。11函数的最大值为（ ）A B C D【答案】B【解析】的定义域为，。令可得，在的左侧有，在的右侧有，所以函数在处取得最大值，故选B。12若函数的图像上存在不同两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相平行，则称具有“同质点”.关于函数：；.以上四个函数中具有“同质点”的函数是( )A B C D【答案】A【解析】【分析】由题意得，具有“同质点”也就是存在两个不同的点使得，分别求出导函数即可得出结果.【详解】设函数的图像上存
9、在不同两点且，由题意具有“同质点”，则 ，具有“同质点”，不存在，不具有“同质点”，不存在 ，不具有“同质点”， ，具有“同质点”故选：A.【点睛】本题考查了函数切线的斜率问题，应注意是不同的点，属于基础题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13用数学归纳法证明（）时，第一步应验证的不等式是 【答案】【解析】解：用数学归纳法证明（）时，第一步应验证的不等式是14如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则_.【答案】0【解析】【分析】在点P处的斜率就是在该点处的导数，f（3）就是切线斜率，问题得解【详解】在点P处的斜率就是在该点处的导数，f（3）就是切线的斜率，即f（3）-2，f（3
10、）-6+82，f（3）+f（3）220故答案为:0【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础15某物体做直线运动，其运动规律是 ( 的单位是秒，的单位是米)，则它在的瞬时速度为_.（单位：米/秒）【答案】【解析】依题意，.16对于三次函数 有如下定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.若点是函数的“拐点”，也是函数图像上的点，则函数的最大值是_【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，二次导函数，通过函数的“拐点”，求出b，化简函数h（x）x为一个角的一个三角函数的形式，然后求解最大值【详解】g（x）3x22ax+b，g（x）6x2a，
11、则a3，又g（1）3，得b4，所以h（x）sinx+2cos2xsinx-2+2,令sinx=t,则t，即求y=+t+2 ，t时的最大值，当时，y有最大值故答案为：.【点睛】本题考查函数的导数的运算，三角函数的化简及二次函数的最值问题，考查计算能力，属于简单的综合题三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分） 请认真阅读下列材料：“杨辉三角” (1261年)是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角”(1653年)早了300多年(如表1).在“杨辉三角”的基础上德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为1,分母为正
12、整数的分数）,称为莱布尼兹三角形(如表2)请回答下列问题:（I）记Sn为表1中第n行各个数字之和,求，并归纳出；（II）根据表2前5行的规律依次写出第6行的数.17（本小题满分12分） 【答案】(1)=8，;(2)见解析.【解析】试题分析：根据第4行和第7行的和可以归纳出前n项和的公式；根据前5行的规律得：由已知得相邻的两个数相加等于它们所夹得上一层的数，由此能求出第6行的数详解：(1)第四行的和为8,第7行的和为32,则归纳第n行的和为；(2)根据前5行的规律得：由已知得相邻的两个数相加等于它们所夹得上一层的数，第6行的数依次是：，故答案为：，点睛：本题考查数列的第6行的数的求法，是基础题，
13、解题时要注意归纳总结规律这类题目和数列通项问题类似，常用方法：归纳推理求通项，根据相邻两项的关系找通项，根据前n项和与通项的关系解出通项公式.18（本小题满分10分）求证：18（本小题满分10分）证明：由于，故只需证明2分只需证，即4分只需证6分因为显然成立，所以8分19（本小题满分12分） 已知函数。（I）求函数的单调区间；（II）求在曲线上一点的切线方程。【答案】（1）增区间：减区间：（2）【解析】试题分析：(I)函数求导，令得或，令得，所以增区间：，减区间：(II) ，所以过点的切线斜率为0，切线方程为考点：函数导数求单调区间求切线斜率点评：函数导数可得增区间，可得减区间，函数在某点处的
14、导数值等于该点处的切线斜率20（本小题满分12分） 已知函数（I）求函数方程；（II）求函数的单调区间.20【答案】（本小题满分12分）（1）;（2）的递增区间是【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。利用导数的几何意义得到切线方程以及函数的符号与函数单调性的关系的综合运用。（1）因为，得到再x=0处的导数值，得到切线的斜率，点斜式得到直线的方程。（2）根据导数得到单调增区间，得到减区间。解：3分（1）7分（2）令解得令，解得故的递增区间是12分21（本小题满分12分） 已知函数在处有极值1.（I）求的值；（II）求函数在的值域.21（本小题满分12分）【答案】（本小题满分12分）（
15、1）；（2）（1）求出，利用解方程组即可得结果；（2）当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，求出对应的函数值，比较大小即可得结果.（1）因为函数在处有极值1，所以，, ，经检验可知满足题意.（2），当时，当时，在上单调递减，在上单调递增.，值域为.本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于中档题.求函数极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值
16、也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.22（本小题满分12分） 设函数(I)若曲线在点处的切线与轴平行，求；(II)若在处取得极小值，求的取值范围22（本小题满分12分） 【解析】(1)因为，所以（）=由题设知，即，解得此时所以的值为1(2)由(1)得若，则当时，；当时，所以在处取得极小值若，则当时，所以所以2不是的极小值点综上可知，的取值范围是备用： 18已知，设函数（1）若，求函数在上的最小值（2）判断函数的单调性【答案】（1）1（2）当时，函数的单调递增区间是当时，函 数的单调递增区间是，单调递减区间是【解析】试题分析：（1）若，则所以，所以，在上单调
17、递减，在上单调递增。故 当时，函数取得最小值，最小值是（2）由题意可知，函数的定义域是又当时，函数在上单调递增；当时，令解得，此时函数是单调递增的令解得，此时函数是单调递减的综上所述，当时，函数的单调递增区间是当时，函 数的单调递增区间是，单调递减区间是考点：函数单调性与最值点评：函数在闭区间上的最值出现在极值点或区间端点处，利用导数求单调区间时若含有参数，一般都需要对参数的范围分情况讨论，当参数范围不同时，单调区间也不同22已知函数f(x)x2ex，试判断f(x)的单调性并给予证明。求出函数的导函数，把导函数二次求导后，求出导函数的最大值，得到导函数的最大值小于0，从而得到原函数是实数集上的
18、减函数【详解】f(x)x2ex，f(x)在R上单调递减，f(x)2xex，只要证明f(x)0恒成立即可.设g(x)f(x)2xex，则g(x)2ex，当xln2时，g(x)0，当x(，ln2)时，g(x)0，当x(ln2，)时，g(x)0.f(x)maxg(x)maxg(ln2)2ln220，f(x)0恒成立，f(x)在R上单调递减.【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，属于基础题.21已知函数(1)求函数的极值点；(2)若直线过点且与曲线相切，求直线的方程；【答案】（1）是函数的极小值点，极大值点不存在.（2）【解析】（1）0 1分而0lnx+10000所以在上单调递减，在上单调递增.3分 所以是函数的极小值点，极大值点不存在.4分（2）设切点坐标为，则切线的斜率为所以切线的方程为 6分又切线过点，所以有解得所以直线的方程为8分（3），则 0000所以在上单调递减，在上单调递增.9分当即时，在上单调递增，所以在上的最小值为10分当1e，即1a2时，在上单调递减，在上单调递增.在上的最小值为 12分当即时，在上单调递减，所以在上的最小值为13分综上，当时，的最小值为0；当1a2时，的最小值为；当时，的最小值为14分证明不等式“”最适合的方法是（ ）A综合法 B分析法 C反证法 D数学归纳法【答案】B【解析】易知证明不等式“”最适合的方法是分析法.故选B.
