1、北京市昌平区2020届高三数学6月适应性试题（含解析）一、选择题共10个小题，每个小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出集合、，由此能求出【详解】，因此，.故选：C.【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2. 复数为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】把所给的复数先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标
2、，根据坐标的正负得到所在的象限【详解】解：，复数在复平面对应的点的坐标是它对应的点在第一象限，故选：【点睛】本题主要考查复数的基本概念，判断复数对应的点所在的位置，只要看出实部和虚部与零的关系即可，把所给的式子展开变为复数的代数形式，得到实部和虚部的取值范围，得到结果3. 下列函数中有最小值的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用函数的性质，求出函数的最值判断选项即可【详解】是指数函数，函数的值域，没有最小值；，函数有最小值，最小值为0的值域为，没有最小值是偶函数，函数的值域是，没有最小值故选：【点睛】本题考查函数的最值的判断，函数的简单性质的应用，是基本知识的考查4.
3、 直线与圆交于，两点，若，则点到直线的距离为（ ）A. B. 1C. D. 【答案】C【解析】【分析】设点到直线的距离为，根据圆中的弦长公式可得：，代入即可得到答案【详解】设点到直线的距离为，由题设条件知，根据圆中的弦长公式可得：故选：【点评】本题主要考查圆中的弦长公式，属于基础题5. 已知非零向量，满足，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】由非零向量，满足，推导出“” “”，从而得到“”是“”的充分必要条件【详解】非零向量，满足， “”， “”， “”， ， “”是“”的充分必要条件故选：C.【
4、点睛】该题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题目6. 某三棱锥的三视图如图所示（图中小正方形的边长为，则该三棱锥的体积为（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积即可.【详解】由题意，该几何体直观图为三棱锥，如下图，其中底面，在中，边上的高为2，所以三棱锥的体积为.故选：A【点睛】本题考查三视图和几何体之间的转换，考查三棱锥的体积，考查学生的推理能力与计算能力，属于基础题型.7. 若函数在，内恰有2个零点，则的值不可能为（ ）A. B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析
5、】【分析】逐一代入四个选项的的值，结合辅助角公式和余弦函数的零点问题，分析函数在，内的零点个数即可得解【详解】当时，令，则，所以在，内的零点为和，符合题意，即成立；当时，由余弦函数的图象可知，在，内的零点为和，符合题意，即成立；当时，令，则，所以在，内的零点为和，符合题意，即成立；当时，令，则或，所以在，内的零点为、和，共4个零点，不符合题意，即不成立故选：【点评】本题考查三角恒等变换与三角函数的综合，熟练掌握辅助角公式、二倍角公式和余弦函数的零点问题是解题的关键，考查学生的数形结合思想、推理论证能力和运算能力，属于中档题8. 已知平面向量，的夹角为，且，则的最小值为（ ）A. 1B. C.
6、2D. 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的数量积的应用，利用基本不等式即可求解【详解】平面向量，的夹角为，则，当且仅当时取等号，故的最小值为，故选：【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用以及基本不等式的应用，利用数量积的定义求出向量长度之间的关系是解决本题的关键，属于基础题9. 如图，正方体的棱长为3，点在棱上，且满足，动点在正方体表面上运动，且，则动点的轨迹的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】在，上分别取点，使得，则的轨迹为，进而求出周长【详解】解：由正方体的特点可知平面，在，上分别取点，使得，连接，则，平面平面，平面，的轨迹为正方体棱长为3，的周长为 故
7、选：【点评】本题考查了棱柱的结构特征，线面垂直的判定，属于中档题10. 如图，在的方格中，移动规则如下：每行均可左右移动，每列均可上下移动，每次仅能对某一行或某一列进行移动，其他行或列不变化例如：若想移动成每行的数字相同，则最少需要移动（ ）次A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】易知最易达到的效果是第一行2，第二行1，第三行3，则需上下移动第三行，左右移动第二行【详解】最易达到的效果是第一行2，第二行1，第三行3，则需上下移动第三行，左右移动第二行故变换过程为221213331第三列上移1223211331第二行左移1223112331第三列上移1222111333故选：
8、【点睛】本题考查合情推理的应用，注意理解题目中移动的规则，属于基础题二、填空题共5个小题，每小题5分，共25分11. 的展开式中常数项为_（用数字作答）【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，故该展开式中的常数项为，故答案为【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.12. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且一个焦点在抛物线的准线上，
9、则该双曲线的方程为_【答案】【解析】【分析】利用双曲线的渐近线方程得到，然后求出双曲线的焦点坐标，得到，即可得到双曲线方程【详解】解：双曲线的一条渐近线方程为，抛物线的准线方程为，该双曲线一个焦点在抛物线的准线上，而，由，得，双曲线的方程为故答案为：【点评】本题考查双曲线与抛物线的简单性质，考查方程思想与理解、运算能力，属于中档题13. 已知等差数列的首项为2，等比数列的公比为2，是数列的前项和，且，则_，_【答案】 (1). 8 (2). 62【解析】【分析】由已知条件，令可得，可得，令可得，再由等比数列的求和公式，计算可得所求和【详解】等差数列的首项为2，公差设为，等比数列的公比为2，由，
10、可得，则，即，可得，则，故答案：8，62【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题14. 中国地大物博，大兴安岭的雪花还在飞舞，长江两岸的柳枝已经发芽，海南岛上盛开着鲜花燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为（米秒），其中表示燕子的耗氧量，则燕子静止时耗氧量为_；若某只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米秒），另一只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米秒），两只燕子同时起飞，当时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为_米【答案】 (1). 10 (2). 600【解析】【分析】静止时，解对数方程可求出耗氧
11、量；再由速度差、时间求出两只燕子飞过的路程差【详解】当 时，又，故 米故答案为：10；600【点睛】本题联系实际应用题，考查对数的运算，属于基础题15. 已知函数，直线与轴和轴分别交于点，直线与函数的图象交于，两点（点在点，之间），给出下列四个结论：若点为轴上一点，则存在符合条件的点和实数，使得为等边三角形；记，则（a）；记，则（a）的值域为；记，则对任意的非零实数，都有成立，表示，中最大的数，表示，中最小的数）其中正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】根据等边三角形性质判断，联立方程组，当为中点时，根据方程是否有解判断，根据和的不等关系判断，根据对称性判断【详解】解：直线与轴，轴均相交，
12、对于，当时，则当时，为等边三角形，故正确；对于，联立方程组，消元可得：，解得，若（a），则，即为的中点，又，即，即，解得，故当时，（a），故正确；对于，故（a），故错误；对于，直线和直线关于轴对称，且抛物线都关于轴对称，故（a），即成立，故正确故答案为：【点评】本题考查了直线与抛物线得位置关系，考查数学抽象与运算求解能力，属于中档题三、解答题共6个小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 如图，三棱柱中，底面，是的中点，（）证明：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（）证明见解析；（）.【解析】【分析】（）连结，交于，连结，推导出，由此能证明平面（）以为原点，为轴，为
13、轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值【详解】解：（）证明：连结，交于，则是的中点，连结，是的中点，平面，平面，平面（）三棱柱中，底面，是的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，2，1，0，0，0，1，设平面的法向量，则，取，得，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查线面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置有关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17. 2020年岁末年初，“新冠肺炎”疫情以其汹汹袭来之势席卷了我国的武汉，在这关键的时刻，在党中央的正确指导下
14、，以巨大的魄力，惊人的壮举，勇敢的付出，及时阻断了疫情的传播，让这片土地成为了世界上最温暖的家园；通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制如表统计了2月12日到2月18日连续七天全国的治愈人数：（单位：例）日期12131415161718治愈人数1171108113731323142517011824请根据以上信息，回答下列问题：（）记前四天治愈人数的平均数和方差分别为和，后三天治愈人数的平均数和方差分别为和，判断与，与的大小（直接写出结论）；（）从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数多于200例的概率；（）设集合，表示
15、2月日的治愈人数，13，从集合中任取两个元素，设其中满足的个数为，求的分布列和数学期望【答案】（），；（）；（）分布列见解析，.【解析】【分析】（），（）从这七天中任选取连续的两天，共有 6 种选法，其中 13 日和 14 日，16 日和 17 日符合要求，由此能求出从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数多于200例的概率（）由题意可知 的可能取值为 0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望【详解】解：（）记前四天治愈人数的平均数和方差分别为和，后三天治愈人数的平均数和方差分别为和，则，（）设事件：“从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一
16、天的治愈人数多 于 200 例”从这七天中任选取连续的两天，共有 6 种选法，其中 13 日和 14 日，16 日和 17 日符合要求，所以从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数多于200例的概率为：（）设集合，表示2月日的治愈人数，13，从集合中任取两个元素，设其中满足的个数为，由题意可知 的可能取值为 0，1，2，的分布列为： 0 1 2 数学期望【点睛】本题考查平均数、方差、概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、超几何分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题18. 已知中，（）求证：是钝角；（）若同时满足下列四个条件中的三个：；请指出这三个
17、条件，说明理由，并求出的值【答案】（）证明见解析；（）只有满足时【解析】【分析】（）在三角形中由正弦定理可得不等式的变形，可证得为钝角；（）任意选3个条件讨论，由正弦定理及为钝角的条件可得再由满足的情况符合条件，再由余弦定理求出边【详解】解：（）因为，由正弦定理可得，在三角形中，且，所以不等式整理为，即，在三角形中可得，所以，所以得证为钝角；（）若满足，则正弦定理可得，即，所以，又，所以，在三角形中，所以或，而由（）可得所以可得，所以若满足，由（）为钝角，为锐角，及，可得，所以不符合为钝角，故这种情况不成立；若满足，由为钝角，所以，而，所以，这时，不符合为钝角的情况，所以这种情况不成立；综上所
18、述：只有满足时【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，两角和的正弦公式的展开式，属于中档题19. 已知椭圆的离心率为，右焦点为（）求椭圆的标准方程；（）过点且斜率为1的直线交椭圆于不同的两点，点是直线上任意一点，求证：直线，的斜率成等差数列【答案】（）；（）证明见解析【解析】【分析】（）由已知得：，所以，进而可得椭圆的标准方程（）设，设直线的方程为：，联立直线与椭圆的方程得，所以所以直线，的斜率成等差数列【详解】解：（）由已知得：，所以，所以椭圆的标准方程为（）证明：设，设直线的方程为：，由，得，因为，所以，所以直线，的斜率成等差数列【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆相交问题，等差数
19、列，关键是计算化简要细心，属于中档题20. 已知函数（）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；求函数的最小值；（）若曲线与轴有且仅有一个公共点，求实数的取值范围【答案】（）（i），；（ii）0；（）或.【解析】【分析】（）当时，求导数，得（1），进而写出曲线在点，（1）处的切线方程令，求导数，分析单调性，进而得出最小值（）因为（1），且曲线与轴有且仅有一个公共点，所以函数有且仅有1个零点，这个零点为1，求导数，分三种情况：当时，当时，当时，讨论函数的零点，进而得出结论【详解】解：（）当时，曲线在点，处的切线方程为，令，在上单调递增，（1），当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，（），且曲线与
20、轴有且仅有一个公共点，函数有且仅有1个零点，这个零点为1，当时，函数在上单调递增，时，时，所以符合函数有且仅有1个零点，这个零点为1，当时，令，所以在上，单调递增，所以，（1），所以时，即，所以在上，单调递减，在，上，单调递增，所以，所以如果有1个零点，只能是，不符合题意当时，令，所以在上，单调递增，所以，（1），所以在上，单调递减，上，单调递增，所以（1），符合题意所以实数的取值范围：或【点评】本题考查导数的几何意义，利用导数求最值，利用导数研究函数的零点个数以及根据零点个数求参数的取值范围，属于较难题21. 对给定的正整数，令，2，3，对任意的，定义与的距离设是的含有至少两个元素的子集，集
21、合，中的最小值称为的特征，记作（A）（）当时，直接写出下述集合特征：，0，1，0，1，0，1，0，0，1，1，（）当时，设且（A），求中元素个数的最大值；（）当时，设且（A），求证：中的元素个数小于【答案】（）答案详见解析；（）2；（）证明详见解析.【解析】【分析】（）根据与的距离的定义，直接求出的最小值即可；（）一方面先证明中元素个数至多有2 个元素，另一方面证明存在集合中元素个数为2 个满足题意，进而得出中元素个数的最大值；（）设，定义的邻域，先证明对任意的， 中恰有 2021 个元素，再利用反证法证明，于是得到中共有 个元素，但中共有 个元素，所以，进而证明结论【详解】（）（A），（B）
22、，（C）；（）（a） 一方面：对任意的，令（a），则，（a），故（a），令集合（a），则， 且 和 的元素个数相同，但 中共有 个元素，其中至多一半属于，故中至多有2 个元素（b）另一方面：设， 是偶数，则 中的元素个数为 对任意的，易得与 奇偶性相同，故 为偶数，由，得，故，注意到，0，0，0，0，1，0，0， 且它们的距离为2，故此时满足题意，综上，中元素个数的最大值为2（）当 时，设 且（A），设，任意的，定义的邻域，（a） 对任意的， 中恰有 2021 个元素，事实上若，则，恰有一种可能；，若，则 与，恰有一个分量不同，共2020种可能；综上， 中恰有2021个元素，（b） 对任意的，事实上，若，不妨设，则，这与（A），矛盾，由 （a） 和 （b），中共有 个元素，但中共有 个元素，所以，注意到是正整数，但 不是正整数，上述等号无法取到，所以，集合 中的元素个数小于【点睛】本题考查集合的新定义，集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系，反证法的应用，考查学生分析、解决问题的能力，正确理解新定义是关键，综合性较强，属于难题