1、三空间向量基本定理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知点O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=+,向量b=+-,则与a,b不能构成空间的一个基底的向量是()A.B.C.D.或【解析】选C.因为=a-b且a,b不共线,所以a,b,共面,所以与a,b不能构成空间的一个基底.2.已知空间四边形OABC,其对角线为AC,OB,M,N分别是OA,BC的中点,点G是MN的中点,则等于()A.+B.(+)C.(+)D.+【解析】选B.如图,=(+)=+(+)=+=(+).3.已知l,m是异面直线,A,Bl,C,Dm,ACm,BDm且AB=2,CD=1,则异面直线l,m所成的角等
2、于()A.30B.45C.60D.90【解析】选C.如图,设=a,=b,=c,则=a+b+c,所以cos=,所以异面直线l,m所成的角等于60.4.如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且BE=BB1, DF=DD1.若=x+y+z,则x+y+z=()A.-1 B.0C. D.1【解析】选C.因为=-=+-(+)=+-=-+,所以x=-1,y=1,z=,所以x+y+z=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知空间的一个基底a,b,c,m=a-b+c,n=xa+yb+c,若m与n共线,则x=,y=.【解析】因为m与n共线,所以存在实数,使m=n,即a
3、-b+c=xa+yb+c,于是有解得答案:1-16.正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是底面A1C1和侧面CD1的中点,若+=0(R),则=.【解析】如图,连接A1C1,C1D,则E在A1C1上,F在C1D上,易知EFA1D,所以=,即-=0,所以=-.答案:-三、解答题(每小题10分,共20分)7.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,E,F分别是AD1,BD的中点.(1)用向量a,b,c表示,;(2)若=xa+yb+zc,求实数x,y,z的值.【解析】(1)如图,=+=-+-=a-b-c,=+=+=-(+)+(+)=(a-c).(2)=(+)=(-+)
4、=(-c+a-b-c)=a-b-c,所以x=,y=-,z=-1.8.如图,已知直三棱柱ABC-ABC中,AC=BC=AA,ACB=90,D,E分别为AB,BB的中点.(1)求证:CEAD;(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值.【解析】(1)设=a,=b,=c,根据题意,|a|=|b|=|c|且ab=bc=ca=0.所以=b+c,=-c+b-a.所以=-c2+b2=0,所以,即CEAD.(2)因为=-a+c,所以|=|a|,|=|a|,因为=(-a+c)=c2=|a|2,所以cos=.所以异面直线CE与AC所成角的余弦值为.(15分钟30分)1.(5分)空间四边形OABC中,=a,=b,=c
5、,点M在OA上,且=2,N为BC中点,则为()A.a-b+cB.-a+b+cC.a+b-cD.a+b-c【解析】选B.=+=+-+(-)=-+=-a+b+c.2.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,用,作为基向量,则=.【解析】2=2+2+2=(+)+(+)+(+)=+,所以=(+).答案:(+)3.(5分)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若=x+2y+3z,则x+y+z=.【解析】因为=+,又=x+2y+3z,所以x=1,2y=1,3z=1,即x=1,y=,z=,故x+y+z=1+=.答案:4.(5分)如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M
6、,N分别是AB,CD的中点,则 MNAB(填“”或“”).【解析】设=p,=q,=r.由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且p,q,r三向量两两夹角均为60.=-=(+)-=(q+r-p),所以=(q+r-p)p=(qp+rp-p2)=(a2cos60+a2cos60-a2)=0.所以.即MNAB.答案:5.(10分)如图所示,空间四边形OABC中,G,H分别是ABC,OBC的重心,求证:GHOA.【证明】设=a,=b,=c.因为H为OBC的重心,D为BC的中点,所以=(+),=,从而=(+)=(b+c).又=+=+,=-,所以=+(+)-=(+)=(a+b+c).因为=-,所以=(b+c
7、)-(a+b+c)=-a=-,所以,即GHOA.1.点P是矩形ABCD所在平面外一点,且PA平面ABCD,M,N分别是PC,PD上的点,且=,=,则满足=x+y+z的实数x,y,z的值分别为()A.-,B.,-,C.-,-D.-,-,【解析】选D.如图所示,取PC的中点E,连接NE,则=-=-(-)=-=-=-(-+)=-+,比较知x=-,y=-,z=.2.已知空间四边形OABC中,M为BC的中点,N为AC的中点,P为OA的中点,Q为OB的中点,若AB=OC,求证:PMQN.【证明】如图,取向量,为空间的一个基底,则=(+),=(+).所以=-=(+)- =(+-),=-=(+)-=(+-).又因为=-,所以=(+),=(-),所以=(+)(-)=(|2-|2),又因为|=|,所以=0,即PMQN.