1、2018年北京市朝阳区高三一模数学（文）考试解析第I卷（选择题共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知全集为实数集,集合,则（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】本题考查集合的运算.集合,集合.所以或,所以,故选.2.在复平面内,复数所对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【答案】【解析】本题考查复数的运算与坐标表示.,在复平面内对应的点为,在第一象限,故选.3.已知平面向量,且,则实数的值是（A）（B）（C）（D）或【答案】【解析】本题考查平面向量的平行的坐标运算.由,且,可以得到,
2、即,所以或,故选.4.已知直线平面,则“直线”是“”的（A）充分但不必要条件（B）必要但不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件【答案】【解析】本题考查线面位置关系的判定、性质与充分必要条件.（充分性）当且时,我们可以得到或（因为直线与平面的位置关系不确定）,所以充分性不成立;（必要性）当时,过直线可做平面与平面交于直线,则有.又有,则有,即.所以必要性成立,故选.5.已知为抛物线的焦点,过点的直线交抛物线于两点,若,则线段的中点到直线的距离为（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】本题考查抛物线的定义.如图,抛物线的焦点为,准线为,即.分别过作准线的垂线,垂足为,则有.过的中点作准
3、线的垂线,垂足为,则为直角梯形中位线,则,即到准线的距离为.故选.6.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】本题考查三视图还原和锥体体积的计算抠点法:在长方体中抠点,1.由正视图可知:上没有点;2.由侧视图可知:上没有点;3.由俯视图可知:上没有点;4.由正（俯）视图可知:处有点,由虚线可知处有点,点排除.由上述可还原出四棱锥,如右图所示,.故选.7.函数的零点个数为（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】本题考查函数零点.定义域为,通分得:,设,时,画出大致图象如下.易发现,即与交于点,又,即点为公切点,点为内唯一交点,又均为偶函数,点也为公切
4、点,为交点,有两个零点.故选8.某学校举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛,该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下:小张说:“甲或乙团队获得一等奖”;小王说:“丁团队获得一等奖”;小李说:“乙、丙两个团队均未获得一等奖”;小赵说:“甲团队获得一等奖”.若这四位同学中只有两位预测结果是对的,则获得一等奖的团队是（A）甲（B）乙（C）丙（D）丁【答案】【解析】本题考查学生的逻辑推理能力.1. 若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;2. 若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;
5、3. 若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;4. 若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.故选.第卷（非选择题共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.执行如图所示的程序框图,若输入则输出的值为【答案】【解析】本题考查程序框图.初始50第一次91第二次172第三次333第四次654第四次时,所以.10.双曲线的焦距为渐近线方程为.【答案】【解析】本题考查双曲线的基本量.由题知故,焦距:,渐近线:.11.已知圆内有一点经过点的直线与圆交于两点,当弦恰被点平分时,直线的方程为【答案】【解析】本题考查直线与圆的位置关系.圆,弦被平分,
6、故,由得即,所以直线方程为.12.已知实数满足若取得最小值的最优解有无数多个,则的值为【答案】【解析】本题考查线性规划.,取得最小值,则直线的截距最小,最优解有无数个,即与边界重合,故.13.函数的部分图象如图所示,则【答案】【解析】本题考查三角函数的图象与性质.由图可知,解得.14.许多建筑物的地板是用正多边形的砖板铺成的（可以是多种正多边形）.如果要求用这些正多边形的砖板铺满地面,在地面某一点（不在边界上）有块砖板拼在一起,则的所有可能取值为【答案】【解析】本题考查逻辑推理与多边形的性质.由题意知只需这块砖板的角度之和为即可.显然,因为任意正多边形内角小于;且,因为角度最小的正多边形为正三
7、角形,.当时,个正六边形满足题意;当时,个正方形满足题意;当时,个正三角形与个正方形满足题意;当时,个正三角形满足题意.综上,所以可能为3,4,5,6.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知数列的前项和满足.（）求的值;（）若数列满足,求数列的通项公式.【解析】（）由题知得,得得,（）当时,所以,得,即,是以为首项,2为公比的等比数列,则.当时,经验证:,综上:.16.（本小题满分13分）在中,已知,.（）若,求的面积;（）若为锐角,求的值.解:（）由正弦定理得,因为,所以,因为,所以,所以,.（）由（）知,因为为锐角
8、,所以.17.（本小题满分13分）某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理、化学和生物”为其选考方案.某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:性别选考方案确定情况物理化学生物历史地理政治男生选考方案确定的有6人663120选考方案待确定的有8人
9、540121女生选考方案确定的有10人896331选考方案待确定的有6人540011（）试估计该学校高一年级确定选考生物的学生有多少人？（）写出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数.（直接写出结果）（）从选考方案确定的男生中任选2名,试求出这2名学生选考科目完全相同的概率.【解析】（）设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为因为在选考方案确定的学生的人中,选生物的频率为所以选择生物的概率约为所以选择生物的人数约为人.（）2人.（）设选择物理、生物、化学的学生分别为选择物理、化学、历史的学生为,选择物理、化学、地理的学生分别为所以任取2名男生的基本事件有所以两名男生所学科目相同
10、的基本事件共有四个,分别为概率为18.（本小题满分14分）如图,在梯形中,于,.将沿折起至,使得平面平面（如图2）,为线段上一点.（）求证:;（）若为线段中点,求多面体与多面体的体积之比;（）是否存在一点,使得平面?若存在,求的长.若不存在,请说明理由.【解析】（）在梯形中,因为,所以,平面平面,平面平面,平面,平面,平面,.（）为中点,到底面的距离为,在梯形中,.,在中,平面,平面,平面平面,平面平面,到平面的距离为.,.（）连结交于,连结,在四边形中,平面,平面平面,在中,在中,.19.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为,且过点.（）求椭圆的方程;（）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点
11、,直线过坐标原点且直线与的斜率互为相反数,直线与椭圆交于两点且均不与点重合,设直线的斜率为,直线的斜率为,证明:为定值.【解析】（）由题可得,解得.所以椭圆的方程为.（）由题知直线斜率存在,设.联立,消去得,由题易知恒成立,由韦达定理得,因为与斜率相反且过原点,设,联立,消去得,由题易知恒成立,由韦达定理得,则所以为定值.20.（本小题满分13分）已知函数.（）若,求曲线在点处的切线方程;（）若,求函数的单调区间;（）若,求证:.解:（）若,则,所以在点处的切线方程为.（）令,则.令,得(依题意)由,得;由,得.所以,在区间上单调递减,在区间上单调递增所以,因为,所以.所以,即.所以函数的单调递增区间为.（）由,等价于,等价于.设,只须证成立.因为由,得有异号两根.令其正根为,则.在上,在上则的最小值为又所以则因此即所以.所以.