1、十九平面与平面垂直(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)如果直线l,m与平面,满足l=,l,m,m,那么不成立的是()A.和lmB.和mC.m和lmD.和【解析】选BCD.由m,l,可得ml.由m,m,可得.2.从空间一点P向二面角-l-的两个面,分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若EPF=60,则二面角-l-的平面角的大小是()A.60B.120C.60或120D.不确定【解析】选C.若点P在二面角内,则二面角的平面角为120;若点P在二面角外,则二面角的平面角为60.【补偿训练】在四面体ABCD中,A
2、B=BC=CD=AD,BAD=BCD=90,A-BD-C为直二面角,E是CD的中点,则AED的度数为()A.45B.90C.60D.30【解析】选B.如图,设AB=BC=CD=AD=a,取BD的中点F,连接AF,CF,则AFBD,CFBD,所以AFC是二面角A-BD-C的平面角,由题意知AFC=90,即AFFC由题意可得AF=CF=a.在RtAFC中,易得AC=a.所以ACD为正三角形.又因为E是CD的中点,所以AECD,即AED=90.3.经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有()A.0个B.1个C.无数个D.1个或无数个【解析】选D.当两点连线与平面垂直时,可作无数个垂面,否则,只有
3、1个.4.设平面平面,在平面内的一条直线a垂直于平面内的一条直线b,则()A.直线a必垂直于平面B.直线b必垂直于平面C.直线a不一定垂直于平面D.过a的平面与过b的平面垂直【解析】选C.当,在平面内垂直交线的直线才垂直于平面,因此,垂直于平面内的一条直线b的直线不一定垂直于.5.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C平面ABCD,且AB=BC,AD=CD,则BD与CC1()A.平行B.共面C.垂直D.不垂直【解析】选C.如图所示,在四边形ABCD中,因为AB=BC,AD=CD.所以BDAC.因为平面AA1C1C平面ABCD,平面AA1C1C平面ABCD=AC,BD平面AB
4、CD,所以BD平面AA1C1C.又CC1平面AA1C1C,所以BDCC1.6.如图,正四面体ABCD中,E,F分别是线段AC的三等分点,P是线段AB的中点,G是直线BD上的动点,则()A.存在点G,使PGEF成立B.存在点G,使FGEP成立C.不存在点G,使平面EFG平面ACD成立D.不存在点G,使平面EFG平面ABD成立【解析】选C.正四面体ABCD中,E,F分别是线段AC的三等分点,P是线段AB的中点,G是直线BD上的动点,在A中,不存在点G,使PGEF成立,故A错误;在B中,不存在点G,使FGEP成立,故B错误;在C中,不存在点G,使平面EFG平面ACD成立,故C正确;在D中,存在点G,
5、使平面EFG平面ABD成立,故D错误.二、填空题(每小题4分,共8分)7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)二面角D1-AB-D的大小是_.(2)二面角A1-AB-D的大小是_.【解析】(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB平面AD1,则ABAD1.又ABAD,所以D1AD即为二面角D1-AB-D的平面角,在RtD1AD中,D1AD=45.(2)与第一问同理可得,A1AD为二面角A1-AB-D的平面角,所以二面角A1-AB-D的大小为90.答案:(1)45(2)908.已知PA矩形ABCD所在的平面(如图),则图中互相垂直的平面有_对.【解析】因为DAAB,DAPA,
6、ABPA=A,所以DA平面PAB,同理BC平面PAB,又AB平面PAD,所以DC平面PAD,所以平面PAD平面AC,平面PAB平面AC,平面PBC平面PAB,平面PAB平面PAD,平面PDC平面PAD,共5对.答案:5三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图所示,四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,PDQA,QA=AB=PD.证明:平面PQC平面DCQ.【证明】由四边形ABCD为正方形,可得CDAD,又PD平面ABCD,所以PDCD,PDAD,因为ADPD=D,所以CD平面AQPD,因为PQ平面AQPD,所以CDPQ.如图所示,取PD的中点E,连接QE.则DEAQ,且DE=AQ,从而
7、四边形AQED是平行四边形,则QEAD,所以QEPD,所以DQ=QP.设QA=1,则AB=1,PD=2.在DQP中,有DQ=QP=,PD=2.所以DQ2+QP2=PD2,故PQD=90,即DQPQ.又CDDQ=D,所以PQ平面DCQ.又PQ平面PQC,所以平面PQC平面DCQ.10.(2020全国卷)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点,过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)证明:AA1MN,且平面A1AMN平面EB1C1F;(2)设O为A1B1C1的中心,若AO平面EB1C1F,且AO=AB
8、,求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.【解析】(1)因为M,N分别为BC,B1C1的中点,所以MNBB1,又AA1BB1,所以MNAA1,在正ABC中,M为BC的中点,则BCAM,又因为侧面BB1C1C为矩形,所以BCBB1,因为MNBB1,所以MNBC,又MNAM=M,MN,AM平面A1AMN,所以BC平面A1AMN,又因为B1C1BC,所以B1C1平面A1AMN,又因为B1C1平面EB1C1F,所以平面EB1C1F平面A1AMN.(2)连接NP,因为AO平面EB1C1F,平面AONP平面EB1C1F=NP,所以AONP,根据三棱柱上下底面平行,平面A1NMA平面ABC=AM,平面A
9、1NMA平面A1B1C1=A1N,所以ONAP,故四边形ONPA是平行四边形,设ABC边长是6m(m0),可得:ON=AP,NP=AO=AB=6m,因为O为A1B1C1的中心,且A1B1C1边长为6m,所以ON=6msin 60=m,故ON=AP=m,易证得EFBC,所以=,所以=,解得EP=m,在B1C1上截取B1Q=EP=m,故QN=2m,因为B1Q=EP,且B1QEP,所以四边形B1QPE是平行四边形,所以B1EPQ,由(1)知B1C1平面A1AMN,故QPN为B1E与平面A1AMN所成的角,在RtQPN中,根据勾股定理可得:PQ=2m,所以sin QPN=,所以直线B1E与平面A1AM
10、N所成角的正弦值为.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.(多选题)用a,b,c表示空间中三条不同的直线,表示平面,则下列命题为真命题的是()A.若ab,bc,则acB.若ab,ac,则bcC.若a,b,则abD.若a,b,则ab【解析】选BD.对于A,正方体从同一顶点引出的三条直线a,b,c,满足ab,bc,但是ac,所以A错误;对于B,若ab,ac,则bc,所以B正确;对于C,平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面,所以C错误;对于D,由垂直于同一平面的两条直线平行,知D正确.2.如图所示,三棱
11、锥P-ABC的底面在平面内,且ACPC,平面PAC平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是()A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆,但要去掉两个点【解析】选D.因为平面PAC平面PBC,ACPC,AC平面PAC,且平面PAC平面PBC=PC,所以AC平面PBC.又因为BC平面PBC,所以ACBC,所以ACB=90,所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆,除去A和B两点.3.将角A为60,边长为a的菱形ABCD沿BD折成60的二面角,则折叠后A与C之间的距离为()A.aB.aC.aD.a【解析】选C.设折叠后点A到A1的位置,取BD的中点E,连接A1E,CE.则BDC
12、E,BDA1E.于是A1EC为二面角A1-BD-C的平面角.故A1EC=60.因为A1E=CE,所以A1EC是等边三角形.所以A1E=CE=A1C=a.4.如图所示,在四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,将ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列命题正确的是()A.平面ABD平面ABCB.平面ADC平面BDCC.平面ABC平面BDCD.平面ADC平面ABC【解析】选D.在题图中因为BAD=90,AD=AB,所以ADB=ABD=45.因为ADBC,所以DBC=45.又因为BCD=45,所以BDC=90,即BDCD.在
13、题图中,此关系仍成立.因为平面ABD平面BCD,所以CD平面ABD.因为BA平面ADB,所以CDAB.因为BAAD,CDAD=D,所以BA平面ACD.因为BA平面ABC,所以平面ABC平面ACD.【补偿训练】如图,在四面体P-ABC中,AB=AC,PB=PC,D,E,F分别是棱AB,BC,CA的中点,则下列结论中不成立的是()A.BC平面PDFB.DF平面PAEC.平面PDF平面PAED.平面PDF平面ABC【解析】选D.因为D,F分别为AB,AC的中点,则DF为ABC的中位线,则BCDF,依据线面平行的判定定理,可知BC平面PDF,A成立.又E为BC的中点,且PB=PC,AB=AC,则BCP
14、E,BCAE,依据线面垂直的判定定理,可知BC平面PAE.因为BCDF,所以DF平面PAE,B成立.又DF平面PDF,则平面PDF平面PAE,C成立.要使平面PDF平面ABC,已知AEDF,则必须有AEPD或AEPF,由条件知此垂直关系不一定成立.二、填空题(每小题4分,共16分)5.如图,在三棱锥P-ABC内,侧面PAC底面ABC,且PAC=90,PA=1,AB=2,则PB=_.【解析】因为侧面PAC底面ABC,交线为AC,PAC=90(即PAAC),PA平面PAC,所以PA平面ABC,所以PAAB,所以PB=.答案:6.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,BAC=90,F是AC
15、的中点,E是PC上的点,且EFBC,则=_.【解析】在三棱锥P-ABC中,因为PA底面ABC,BAC=90,所以AB平面APC.因为EF平面PAC,所以EFAB,因为EFBC,BCAB=B,所以EF底面ABC,所以PAEF,因为F是AC的中点,E是PC上的点,所以E是PC的中点,所以=1.答案:17.如图所示,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),直线PA垂直于圆O所在的平面,点M为线段PB的中点.有以下四个命题:PA平面MOB;MO平面PAC;OC平面PAC;平面PAC平面PBC.其中正确的命题是_.(填上所有正确命题的序号)【解析】因为PA平面MOB,所以不正确;因为MOPA,而
16、且MO平面PAC,所以正确;OC不垂直于AC,所以不正确;因为BCAC,BCPA,ACPA=A,所以BC平面PAC,所以平面PAC平面PBC,所以正确.答案:8.如图,ABC是等腰直角三角形,BAC=90,AB=AC=1,将ABC沿斜边BC上的高AD折叠,使平面ABD平面ACD,则折叠后BC=_.【解析】因为在原ABC中,ADBC,所以折叠后有ADBD,ADCD,所以BDC是二面角B-AD-C的平面角.因为平面ABD平面ACD,所以BDC=90.在RtBCD中BDC=90,BD=CD=,所以BC=1.答案:1三、解答题(共38分)9.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD
17、,底面ABCD是直角梯形,ABAD,CDAD.求证:平面PDC平面PAD.【证明】因为PA平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD.又因为CDAD,PAAD=A,所以CD平面PAD.又因为CD平面PDC.所以平面PDC平面PAD.10.(12分)已知三棱锥P-ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC.(1)求证:ABBC.(2)若AB=BC,过点A作AFPB于点F,连接CF,求证:平面PBD平面AFC.【证明】如图所示:(1)取AC的中点D,连接PD,BD,因为PA=PC,所以PDAC,又平面PAC平面ABC,且平面PAC平面ABC=AC,所以PD平面ABC,D为垂足.因为P
18、A=PB=PC,所以DA=DB=DC,所以AC为ABC的外接圆的直径,故ABBC.(2)因为PA=PC,AB=BC,PB=PB,所以ABPCBP.因为AFPB,所以CFPB,又AFCF=F,所以PB平面AFC,又PB平面PBD,所以平面PBD平面AFC.11.(14分)在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,PD平面ABCD,PD=a.(1)求证:AC平面PBD.(2)求二面角P-BC-D的平面角.(3)求二面角P-AC-D的平面角的正切值.【解析】(1)因为四边形ABCD为正方形,所以ACBD,又PD平面ABCD,PD平面ABCD,所以ACPD,又PDBD=D,所以AC平面PBD.(2)因为四边形ABCD为正方形,所以BCCD,又PD平面ABCD,所以BCPD.又CDPD=D,所以BC平面PCD,所以BCPC,所以PCD为二面角P-BC-D的平面角,在RtPCD中,因为PD=DC=a,所以PCD=45,即二面角P-BC-D的平面角为45.(3)连接PO,由(1)知AC平面PBD,则POAC,DOAC,所以POD为二面角P-AC-D的平面角,在RtPDO中,tanPOD=.所以二面角P-AC-D的平面角的正切值为.