1、二余 弦 定 理(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.在ABC中,若b=1,c=,C=,则a=()A.1B.2C.3D.4【解析】选A.由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得3=a2+1-2a1cos ,即a2+a-2=0.解之得a=-2(舍去)或a=1,所以a=1.2.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a=3,b=,c=2,那么B等于()A.30B.45C.60D.120【解析】选C.因为a=3,b=,c=2,所以cos B=.又因为B为三角形内角,所以B=60.3.已知ABC的内角A,B,
2、C的对边分别为a,b,c,cos A=,a=7,c=6,则b=()A.8B.7C.6D.5【解析】选D.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,所以49=b2+36-2b6,整理得5b2-12b-65=0,解得b=5或b=-(舍去).4.在ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则BAC=()A.B.C.D.【解析】选C.因为cos BAC=-,又因为0BAC,所以BAC=.【补偿训练】在ABC中,D为边BC的中点,AB=2,AC=4,AD=,则BAC为()A.30B.60C.120D.150【解析】选B.如图,设BD=CD=x.在ABD和ACD中,由余弦定理及诱导公式,得,即14+2
3、x2=20,解得x=,即BC=2.则cosBAC=,所以BAC=60.5.(2020全国卷)在ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则cos B=()A.B.C.D.【解析】选A.由余弦定理可知cos C=,可得=3,又由余弦定理可知:cos B=.6.(多选题)在ABC中,a=1,b=2,cos C=,则()A.c=1B.c=2C.sin A=D.sin A=【解析】选BD.根据余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=12+22-212=4,解得c=2.由a=1,b=2,c=2,得cos A=,所以sin A=.二、填空题(每小题4分,共8分)7.在ABC中,已知a=4,b=5,
4、c=6,则sin A=_.【解析】在ABC中,已知a=4,b=5,c=6,由余弦定理得,cos A=,则sin A=.答案:8.在ABC中,已知BC=7,AC=8,AB=9,则AC边上的中线长为_.【解析】方法一:由条件知cos A=,设中线长为x,由余弦定理知x2=+AB2-2ABcos A=42+92-249=49,所以x=7.所以AC边上的中线长为7.方法二:设AC中点为M,连接BM(图略).则=(+),所以=(+2)=(92+72+2|cos ABC),由余弦定理得2|cos ABC=|2+|2-|2=92+72-82,所以|2=(92+72+92+72-82)=49.所以BM=7,即
5、AC边上的中线长为7.答案:7【补偿训练】在ABC中,已知角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c,若a2=b2+c2,则=_.【解析】因为a2=b2+c2,所以c2=4a2-4b2,又由余弦定理可得:cos B=.所以=.答案:三、解答题(每小题14分,共28分)9.在ABC中,已知sin C=,a=2,b=2,求边c.【解析】因为sin C=,且0C,所以C为或.当C=时,cos C=,此时,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=4,即c=2.当C=时,cos C=-,此时,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=28,即c=2.所以边c的长为2或2.10.在ABC中,内
6、角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4sin2+4sin Asin B=2+.(1)求角C的大小.(2)已知b=4,ABC的面积为6,求边长c的值.【解析】(1)由已知得21-cos(A-B)+4sin Asin B=2+,化简得-2cos Acos B+2sin Asin B=,故cos(A+B)=-,所以A+B=,从而C=.(2)因为SABC=absin C,由SABC=6,b=4,C=,得a=3.由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C=10,得c=.【补偿训练】在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且满足cos 2A+2sin2(+B)+2cos2-1=2sin
7、Bsin C.(1)求角A的大小.(2)若b=4,c=5,求sin B.【解析】(1)因为cos 2A+2sin2(+B)+2cos2-1=2sin Bsin C,所以sin2B+sin2 C-sin2A=sin Bsin C.由正弦定理得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cos A=,因为0A,所以A=.(2)因为a2=b2+c2-2bccos A=16+25-245=21,所以a=.由正弦定理=,即=,解得sin B=.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.在ABC中,a2+b2-c2+ab=0,则C等于()A.
8、30B.45C.120D.135【解析】选D.由a2+b2-c2+ab=0知,c2=a2+b2+ab,由余弦定理得,cos C=-,因为0C180,所以C=135.【补偿训练】在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且a2=c2+b2+bc,则角A的大小为()A.B.C.D.【解析】选D.因为a2=b2+c2+bc,所以b2+c2-a2=-bc.由余弦定理的推论得cos A=-,又因为0A,所以A=.2.在ABC中,abc=357,那么ABC是()A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.非钝角三角形【解析】选B.因为abc=357,所以可设a=3t,b=5t,c=7t,由余弦定
9、理可得cos C=-,因为0C,所以C=120,故ABC是钝角三角形.3.(多选题)已知ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=5,b=7,c=8,则()A.B=45B.B=60C.cos C=D.sin A=【解题指南】利用余弦定理的变形公式计算三角形内角的余弦值,再计算角.【解析】选BCD.最小的角为A,最大的角为C,则cos A=,cos B=,cos C=,则sin A=,又0B180,所以B=60.4.在ABC中,sin B=,BC边上的高为AD,D为垂足,且BD=2CD,则cosBAC=()A.-B.C.-D.【解析】选A.依题意设CD=x,AD=y,则BD=2x,B
10、C=3x.因为sin B=,所以AB=3y.因为BC边上的高为AD,如图所示,所以AB2=AD2+BD2=y2+4x2=9y2,即x=y.所以AC=y.根据余弦定理得cosBAC=-.二、填空题(每小题4分,共16分)5.已知在ABC中,B=60,b2=ac,则ABC一定是_三角形.【解析】因为B=60,b2=ac,由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B,得ac=a2+c2-ac,即(a-c)2=0,所以a=c.又B=60,所以ABC是等边三角形.答案:等边6.如图所示,在ABC中,已知点D在BC边上,ADAC,sin BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为_.【解析】因为sin
11、 BAC=sin(90+BAD)=cos BAD=,所以在ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2ABADcos BAD,所以BD2=18+9-233=3,所以BD=.答案:7.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ac=b2-a2,A=,则B=_.【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-bc,与ac=b2-a2联立,得ac+c2-bc=0,即c=b-a,代入ac=b2-a2,得a(b-a)=b2-a2,解得b=a,所以c=b-a=2a,所以cos B=,又因为B(0,),所以B=.答案:8.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+b2=4 037c2
12、,则的值为_.【解析】=cos C=cos C=2 018.答案:2 018三、解答题(共38分)9.(12分)(2020全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150.(1)若a=c,b=2,求ABC的面积;(2)若sin A+sin C=,求C.【解析】(1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-2c2cos 150,解得c=-2(舍去),c=2,从而a=2.ABC的面积为22sin 150=;(2)在ABC中,A=180-B-C=30-C,所以sin A+sin C=sin(30-C)+sin C=sin(30+C),故sin(30+C)=.而0Cba,故B=2A,即的值为2.