1、第3讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位 常以指数、对数式为载体，考查函数单调性的求法或讨论，以及考查函数极值、最值的求法，综合考查与范围有关的问题.真 题 感 悟(2016山东卷)设f(x)xln xax2(2a1)x，aR.(1)令g(x)f(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x1处取得极大值.求实数a的取值范围.解(1)由 f(x)ln x2ax2a.可得 g(x)ln x2ax2a，x(0，)，则 g(x)1x2a12axx.当 a0 时，x(0，)时，g(x)0，函数 g(x)单调递增；当 a0 时，x0，12a 时，g(x)0 时，函数 g(x)单调递增，x
2、12a，时，g(x)0，函数 g(x)单调递减.所以当 a0 时，g(x)的单调递增区间为(0，)；当 a0 时，g(x)的单调增区间为0，12a，单调减区间为12a，.(2)由(1)知，f(1)0.当a0时，f(x)单调递增，所以当x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递减，当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意.当 0a12时，12a1，由(1)知 f(x)在0，12a 内单调递增.可得当 x(0，1)时，f(x)0，x1，12a 时，f(x)0.所以 f(x)在(0，1)内单调递减，在1，12a 内单调递增.所以 f(x)在 x1 处取得
3、极小值，不合题意.当 a12时，12a1，f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，)内单调递减.所以当 x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意.当 a12时，0 12a1，当 x12a，1 时，f(x)0，f(x)单调递增，当 x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减.所以 f(x)在 x1 处取极大值，符合题意.综上可知，实数 a 的取值范围为 a12.考 点 整 合 1.导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则yf(x)在该区间为增函数；如果f(x)0，则yf(x)在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：求函数的
4、单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.2.极值的判别方法 当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.也就是说x0是极值点的充分条件是点x0两侧导数异号，而不是f(x)0.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点，而且极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小.3.闭区间上函数的最值 在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在
5、这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小者.热点一 利用导数研究函数的单调性 微题型1 求解含参函数的单调区间【例 11】(1)(2016合肥模拟)已知函数 f(x)x3ax23x.若 f(x)在1，)上是增函数，求实数 a 的取值范围；(2)已知函数 g(x)ln(1x)xk2x2(k0)，讨论函数 g(x)的单调性.解(1)对 f(x)求导，得 f(x)3x22ax3.由 f(x)0 在1，)上恒成立，得 a32x1x.记 t(x)32x1x，当 x1 时，t(x)是增函数，所以 t(x)min32(11)0.所以 a0.(2)
6、g(x)x（kxk1）1x，x(1，).当 k0 时，g(x)x1x，所以在区间(1，0)上，g(x)0；在区间(0，)上，g(x)0.故 g(x)的单调递增区间是(1，0)，单调递减区间是(0，).当 0k1 时，由 g(x)x（kxk1）1x0，得 x10，x21kk 0，所以在区间(1，0)和1kk，上，g(x)0；在区间0，1kk上，g(x)0.故 g(x)的单调递增区间是(1，0)和1kk，单调递减区间是0，1kk.当 k1 时，g(x)x21x0，故 g(x)的单调递增区间是(1，).当 k1 时，g(x)x（kxk1）1x0，得 x11kk(1，0)，x20，所以在区间1，1kk
7、和(0，)上，g(x)0，在区间1kk，0 上，g(x)0.故 g(x)的单调递增区间是1，1kk和(0，)，单调递减区间是1kk，0.探究提高 讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制.微题型2 已知函数的单调区间求参数范围【例 12】(2016广东湛江二模)已知函数 f(x)x22aln x.(1)若函
8、数 f(x)的图象在(2，f(2)处的切线斜率为 1，求实数a 的值；(2)若函数 g(x)2xf(x)在1，2上是减函数，求实数 a 的取值范围.解(1)f(x)2x2ax 2x22ax.由已知 f(2)1，解得 a3.(2)由 g(x)2xx22aln x，得 g(x)2x22x2ax.由函数 g(x)为1，2上的单调减函数，则 g(x)0 在1，2上恒成立，即2x22x2ax 0 在1，2上恒成立，即 a1xx2 在1，2上恒成立.令 h(x)1xx2，在1，2上 h(x)1x22x1x22x 0，所以 h(x)在1，2上为减函数，h(x)minh(2)72.所以 a72.探究提高 已知
9、函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f(x)不恒等于0的参数的范围.【训练 1】已知函数 f(x)(ax2x)lnx12ax2x(aR).(1)当 a0 时，求曲线 yf(x)在点(e，f(e)处的切线方程(e2.718)；(2)求函数 f(x)的单调区间.解(1)当 a0 时，f(x)xxln x，f(x)ln x，所以 f(e)0，f(e)1.所以曲线 yf(x)在点(e，f(e)处的切线方程为 yxe，即 xye0.(2)函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)(
10、ax2x)1x(2ax1)ln xax1(2ax1)ln x.当a0时，2ax10，若x(0，1)，则f(x)0，若x(1，)，则f(x)0，所以函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减.当 0a12时，若 x(0，1)或 x12a，则 f(x)0，若 x1，12a，则 f(x)0，所以函数 f(x)在(0，1)，12a，上单调递增，在1，12a 上单调递减.当 a12时，f(x)0 且仅 f(1)0，所以函数 f(x)在(0，)上单调递增.当 a12时，若 x0，12a 或 x(1，)，则 f(x)0，若x12a，1，则 f(x)0，所以函数 f(x)在0，12a，(1，)上
11、单调递增，在12a，1 上单调递减.综上，当 a0 时，函数 f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，)；当 0a12时，函数 f(x)的增区间为(0，1)，12a，减区间为1，12a.当 a12时，函数 f(x)的增区间为(0，)；当 a12时，函数 f(x)的增区间为0，12a，(1，)，减区间为12a，1.热点二 利用导数研究函数的极值【例2】设函数f(x)ln(x1)a(x2x)，其中aR.讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由.解 由题意知，函数 f(x)的定义域为(1，)，f(x)1x1a(2x1)2ax2axa1x1.令 g(x)2ax2axa1，x(1，).当 a0 时，
12、g(x)1，此时 f(x)0，函数 f(x)在(1，)上单调递增，无极值点；当 a0 时，a28a(1a)a(9a8).()当 0a89时，0，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)在(1，)上单调递增，无极值点；()当 a89时，0，设方程 2ax2axa10 的两根为 x1，x2(x1x2)，因为 x1x212，所以 x114，x214.由 g(1)10，可得1x114.所以当 x(1，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递增；当 x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递减；当 x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递增；因此函数
13、有两个极值点.()当 a0 时，0，由 g(1)10，可得 x11.当 x(1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递增；当 x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递减；所以函数有一个极值点.综上所述，当 a0 时，函数 f(x)有一个极值点；当 0a89时，函数 f(x)无极值点；当 a89时，函数 f(x)有两个极值点.探究提高 极值点的个数，一般是使f(x)0方程根的个数，一般情况下导函数若可以化成二次函数，我们可以利用判别式研究，若不是，我们可以借助导函数的性质及图象研究.【训练2】设函数f(x)ax32x2xc.(1)当a1，且函数图象过(0，1)
14、时，求函数的极小值；(2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围.解 由题得 f(x)3ax24x1.(1)函数图象过(0，1)，有 f(0)c1.当 a1 时，f(x)3x24x1.令 f(x)0，解得 x13或 x1；令 f(x)0，解得13x1.所以函数在，13 和(1，)上单调递增，在13，1 上单调递减，极小值是 f(1)13212111.(2)若 f(x)在 R 上无极值点，则 f(x)在 R 上是单调函数，即 f(x)0或 f(x)0 恒成立.当 a0 时，f(x)4x1，显然不满足条件；当 a 0 时，f(x)0 或 f(x)0 恒成立的充要条件是(4)243a10，即 16
15、12a0，解得 a43.综上，a 的取值范围为43，.热点三 利用导数研究函数的最值【例3】(2016武汉二模)设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x0，1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.解(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.令 f(x)0，得 x11 43a3，x21 43a3，x1x2.所以 f(x)3(xx1)(xx2).当xx2时，f(x)0；当x1x0.故f(x)在(，x1)和(x2，)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增.(2)因为a0，所以x10.当a4时，x21，由(1)知，f(x)在0
16、，1上单调递增.所以f(x)在x0和x1处分别取得最小值和最大值.当 0a4 时，x21，由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2，1上单调递减，所以 f(x)在 xx21 43a3处取得最大值.又 f(0)1，f(1)a，所以当 0a1 时，f(x)在 x1 处取得最小值；当 a1 时，f(x)在 x0 处和 x1 处同时取得最小值；当 1a4 时，f(x)在 x0 处取得最小值.探究提高 含参数的函数的极值(最值)问题常在以下情况下需要分类讨论：(1)导数为零时自变量的大小不确定需要讨论；(2)导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论；(3)端点处的函数值和极值大小不确定需
17、要讨论；(4)参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论.【训练 3】(2016陕西质检)已知函数 f(x)(4x24axa2)x，其中 a0.(1)当 a4 时，求 f(x)的单调递增区间；(2)若 f(x)在区间1，4上的最小值为 8，求 a 的值.解(1)当 a4 时，由 f(x)2（5x2）（x2）x0得 x25或 x2，由 f(x)0 得 x0，25 或 x(2，)，故函数 f(x)的单调递增区间为0，25 和(2，).(2)因为 f(x)（10 xa）（2xa）2 x，a0，由 f(x)0 得 x a10或 xa2.当 x0，a10 时，f(x)单调递增.当
18、 x a10，a2 时，f(x)单调递减；当 xa2，时，f(x)单调递增.易知 f(x)(2xa)2 x0，且 f a2 0.当a21 时，即2a0 时，f(x)在1，4上的最小值为 f(1)，由 f(1)44aa28，得 a2 22，均不符合题意.当 1a24 时，即8a2 时，f(x)在1，4上的最小值为 f a2 0，不符合题意.当a24 时，即 a8 时，f(x)在1，4上的最小值可能在 x1 或 x4处取得，而 f(1)8，解得 a2 22，不符合 a8 的条件；由 f(4)2(6416aa2)8 得 a10 或 a6(舍去)，当 a10 时，f(x)在(1，4)上单调递减，f(x
19、)在1，4上的最小值为 f(4)8，符合题意.综上有 a10.1.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用“”连接，而只能用逗号或“和”字隔开.2.可导函数在闭区间a，b上的最值，就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值与最小值.3.可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；(2)对于可导函数f(x)，“f(x)在xx0处的导数f(x0)0”是“f(x)在xx0处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点.4.求函数的单调区间时，若函数的导函数中含有带参数的有理因式，因式根的个数、大小、根是否在定义域内可能都与参数有关，则需对参数进行分类讨论.5.求函数的极值、最值问题，一般需要求导，借助函数的单调性，转化为方程或不等式问题来解决，有正向思维直接求函数的极值或最值；也有逆向思维已知函数的极值或最值，求参数的值或范围，常常用到分类讨论、数形结合的思想.
