1、第三部分 高考专题讲解 第二十七讲 转化与化归思想转化与化归思想的核心是把陌生的问题转化为熟悉的问题事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，因此每一个数学问题的解答都离不开转化与化归，它既是一种数学思想又是一种数学能力，高考对这种思想方法的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点预测2012年高考对转化与化归思想的考查重点为：(1)常量考情分析与变量的转化：如分离变量，求范围等；(2)数与形的互相转化：如解析几何中的斜率、函数中的单调性等；(3)数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化；(4)出现更多的实际问题向数学模型的转化考情分析
2、要点串讲化归是转化与归结的简称，其基本内涵是：人们在解决数学问题时，常常将待解决的数学问题 A，通过某种转化手段，归结为另一问题 B，而问题 B 是相对较容易解决的或已经有固定解决模式的问题，且通过问题 B的解决可以得到原问题 A 的解答用框图可直观地表示为：其中问题 B 称为化归目标或方向，转化的手段称为化归策略化归思想有着坚实的客观基础，它着眼于揭示联系，实现转化，通过矛盾转化解决问题在高中数学的学习中，化归更是我们研究问题最基本、最重要的思想方法，它无处不在，比如：解不等式时，将分式不等式转化为整式不等式，无理不等式转化为有理不等式，超越不等式转化为代数不等式；处理立体几何问题时，将空间
3、问题化归到一个平面上解决；在解析几何中，通过建立坐标系将几何问题化归为代数问题；复数问题化归为实数问题等等新课程标准强调数学思想方法的教学，高考更是明确指出加强对函数与方程、数形结合、分类讨论、化归等思想方法的考查化归有一定的原则：目标简单化原则，即复杂的问题向简单的问题转化；和谐统一性原则，即化归应朝着使待解决的问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当；具体化原则，即化归方向应由抽象到具体；低层次原则，即将高维空间问题化归成低维空间问题基于上述原则，化归就有一定的策略我们在应用化归方法时，应“有章可循，有法可依”，通常可以从以下几个方面去考
4、虑：1点集到有序实数对集合上的映射，可将平面几何问题转化为解析几何问题，即解析法2直角坐标平面与复数集合之间的映射：(x，y)xyi，将直角坐标平面变成复平面，实现几何问题与复数问题的互化，即复数法3通过变量替换、增量代换、等价代换等方法，将问题化归成为变量个数少、次数低、结构简单的问题4在解决一个一般性问题有困难时，先解决它的特殊情况，然后再将结果推广到一般问题，获得一般问题的解答，即特殊化策略5为了解决问题 A，先解决比 A 更一般的问题 A，然后再将其特殊化获得解答，即一般化策略6数学符号表达一定的语义，采用语义转化策略，将问题适当变形并作不同于其表面的非常规性的语义解释，将问题化归为另
5、一个问题，比如“数”的语义与“形”的语义间的相互转化7当问题的目标较复杂时，通过降维、降幂、减少变量个数等手段，将目标简化，有利于问题的解决.高频考点类型一 解析法转化【例 1】在三角形 ABC 中，已知 ABAC 5，BC6.点 M 是 AC 的中点，试问在线段 BM 上是否存在点 P 使得 PCBM?解 假设在线段 BM 上存在点 P 使得 PCBM，以 B 为原点，BC 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系由于 ABAC5，BC6，所以 B(0,0)，A(3,4)，C(6,0)，M92，2.则 BM 所在直线的方程为 y49x.又 PCBM，不妨设 PC 所在直线的斜率为
6、k，则49k1，即 k94.所以 PC 所在直线的方程为 y94(x6)两方程联立即可求出 P 点的坐标为48697，21697.因为48697 92，所以在线段 BM 上不存在点 P 使得 PCBM.【探究 1】如图所示，已知正六边形 P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是()A.P1P2 P1P3B.P1P2 P1P4C.P1P2 P1P5D.P1P2 P1P6分析：建立适当的坐标系，用坐标分别表示各选项中向量的数量积，化简求值即可建立直角坐标系 用坐标表示向量 计算向量的数量积 得答案解析：如图所示，建立坐标系，设正六边形边长为 2，则 P1(1，3)，P2(1，3)，P3
7、(2,0)，P4(1，3)，P5(1，3)，P6(2,0)P1P2(2,0)，P1P3(3，3)，P1P4(2,2 3)，P1P5(0,2 3)，P1P6(1,3)P1P2 P1P3 6，P1P2 P1P4 4，P1P2 P1P5 0，P1P2 P1P6 2.P1P2 P1P3 6 最大，故选 A.答案：A点评：(1)本题采用的解析法是将平面几何问题转化为解析几何问题的方法其一般步骤是：建立坐标系；设点的坐标与曲线方程；运算与推理；返回几何结论(2)解决此类问题常见的思路有两种：一是由数量积公式求解；二是转化为坐标运算类型二 目标简单化转化【例 2】(2011南昌模拟)若函数 f(x)sin2
8、axsinaxcosax(a0)的图象与直线 ym 相切，并且切点的横坐标依次成公差为2的等差数列(1)求 a 和 m 的值；(2)若点 A(x0，y0)是函数 yf(x)的图象的对称中心，且 x00，2，求点 A 的坐标解(1)f(x)12(sin2axcos2ax)12 22 sin2ax4 12，f(x)的最大值和最小值分别为1 22和1 22，m1 22或 m1 22，又依题意函数 f(x)的周期为2，2a4，a2.(2)f(x)22 sin4x4 12，令 sin4x04 0，则 4x04k(kZ)，x0k4 16(kZ)，x00，2，0k4 162(kZ)，得 k1 或 k2，x0
9、316或 x0716，故点 A 的坐标为316，12 或716，12.点评 本题考查三角函数的周期性、对称性、值域等，解题的关键是将函数解析式通过三角变换化为只含有一个三角函数的形式，即将目标简单化一般地，目标简单化指问题结构的简单化和处理方法的简单化，本题中将复杂的三角函数式化为一个角的一个三角函数就是如此，这样可求值、求周期、求单调性、求最值等【探究 2】已知34，tancot103.(1)求 tan 的值；(2)求5sin228sin2cos211cos2282sin2的值分析：(1)将已知的 tan 与 cot 表示的等式转化为用tan 表示的式子；(2)中转化为用 tan 表示的式子
10、求出tan 转化为用tan表示的式子 得2式的值解：(1)由 tancot103，得 3tan210tan30，即 tan3 或 tan13，又34 2时，f(t)在 2，2上单调递减，f(t)minf(2)a2 2a12；(3)当 ab0)的半焦距为 c，直线 l 过点(0，a)和点(b,0)，已知原点到 l 的距离等于2 217c，则椭圆的离心率为()A.14B.12C.33 D.22解析：ab2 21c7 a2b2，变形为 12e431e270，再解得 e12，选 B.答案：B3若抛物线 y2x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 P 的坐标为()A.14，24B.18，2
11、4C.14，24D.18，24解析：根据抛物线的定义可知，点 P 到焦点 F 的距离等于它到顶点 O 的距离，因此点 P 在线段 OF 的垂直平分线上，而 F14，0，所以 P 点的横坐标为18，代入抛物线方程得 y 24，故点 P 的坐标为18，24.答案：B4设 a0，b0，且不等式1a1b kab0 恒成立，则实数 k 的最小值等于()A0 B4 C4 D2解析：由1a1b kab0 得 kab2ab，而ab2abbaab24，所以ab2ab4，因此要使 kab2ab恒成立，应有 k4，即实数 k 的最小值等于4.答案：C5过点 M(3,0)的直线交圆 x2y24x0 于 A、B 两点，C 为圆心，则CA CB 的最大值等于()A2 B2 C6 D6解析：由已知得圆的半径为 2，圆心坐标为(2,0)，所以CA CB 4cosACB，因为直线过点 M(3,0)，所以当该直线与 CM 垂直时，ACB 最小，等于 120，这时 cosACB 取到最大值12，CA CB 4cosACB 取到最大值2.答案：B高考专题训练二十七