1、第二部分 高考题型解读 题型三 解答题第二十三讲 函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题1.函数与不等式型解答题一直是高考的压轴题之一，这类解答题的命题方式灵活多变，其主要特点有两个：一是涉及的知识面广泛，从简单的一次函数到复杂的复合后的指数、对数函数及导数等；二是试题中蕴含着丰富的数学思想方法，考生必须对数学思想方法有较为深刻的领会，才能做出正确的解答这类试题中值得注意的题型是：函数、导数与不等式恒成立问题，利用好方法好成绩函数、导数证明不等式型解决这类试题时，一要注意基础知识的正确使用；二要学会对题目中的各种关系做出分析，实行转化，将新问题转化为我们所熟悉的问题解决，注意数学思想方法在
2、解决问题中的作用2高考对平面解析几何的考查主要以圆锥曲线为载体，综合考查解析几何的基础知识和基本方法，该部分涉及的内容广泛，方法多，数学思想丰富，又容易和平面向量、函数、不等式等问题交汇，在高考中多出现新颖别致的试题由于解析几何试题的运算量大，在解决解析几何试题时要注意分析题意，把握问题的实质，注意尽可能地使用数学思想(如设而不求，代入消元等)简化运算，同时要注意其他知识在解决问题中的综合应用，使解题过程尽可能地优化3数列问题中蕴含着丰富的数学思想方法，是考查考生数学素养的良好素材，数列解答题历来为高考命题者所青睐，这些新型的数列解答题往往背景新颖，结构简明，数学关系式对称优美，而涉及的知识仅
3、仅是高中数学中所讲的数列的基本问题，解决问题的方法也是考生所熟悉的，这类试题也往往是整套试卷的压轴题解决这类试题除了灵活地使用基础知识外，更重要的是要灵活地使用数学的各种推理论证方法，用数学思想方法作指导灵活地解决问题.高频考点【热点例 1】(2011新课标全国卷)等比数列an的各项均为正数，且 2a13a21，a239a2a6.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bnlog3a1log3a2log3an，求数列1bn 的前 n 项和分析 本题主要考查等比数列的通项公式、数列求和及对数运算考查灵活运用基本知识解决问题的能力、运算求解能力和创新思维能力对于通项公式，可以利用基本量法求出首项和公
4、比；对于数列求和，可通过对数运算求出 bn，然后利用裂项法求和解(1)设数列an的公比为 q.由 a239a2a6得 a239a24，所以 q219.由条件可知 q0，故 q13.由 2a13a21，得 2a13a1q1，得 a113.故数列an的通项公式为 an 13n.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n)nn12.故 1bn2nn121n 1n1.1b1 1b2 1bn2112 1213 1n 1n1 2nn1.所以数列1bn 的前 n 项和为 2nn1.【热点例 2】(2011新课标全国卷)已知函数 f(x)alnxx1bx，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线
5、方程为 x2y30.(1)求 a，b 的值；(2)如果当 x0 且 x1 时，f(x)lnxx1kx，求 k 的取值范围分析 此题主要考查利用导数来求曲线的切线及函数的单调性，利用函数单调性来证明不等式，及利用不等式恒成立求参数的取值范围考查了运算求解能力及综合分析和解决问题的能力解题过程中往往需要对参数的取值进行分类讨论不等式恒成立有时可转化为函数求最值解(1)f(x)ax1x lnxx12 bx2.由于直线 x2y30 的斜率为12，且过点(1,1)，故f11，f112，即b1，a2b12.解得 a1，b1.(2)由(1)知 f(x)lnxx11x，所以f(x)lnxx1kx 11x22l
6、nxk1x21x.考虑函数 h(x)2lnxk1x21x(x0)，则h(x)k1x212xx2.()设 k0，由 h(x)kx21x12x2知，当x1 时，h(x)0，可得11x2h(x)0；当 x(1，)时，h(x)0.从而当 x0 且 x1 时，f(x)lnxx1kx 0，即f(x)lnxx1kx.()设 0k0，故 h(x)0.而 h(1)0，故当 x1，11k 时，h(x)0，可得11x2h(x)0，而 h(1)0，故当 x(1，)时，h(x)0，可得11x2h(x)0)连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹，加上 A1、A2两点所成的曲线 C 可以是圆、椭圆或双曲线(1)求曲线
7、C 的方程，并讨论 C 的形状与 m 值的关系(2)当 m1 时，对应的曲线为 C1；对给定的 m(1,0)(0，)，对应的曲线为 C2，设 F1、F2 是 C2的两个焦点试问：在 C1上，是否存在点 N，使得F1NF2的面积 S|m|a2.若存在，求 tanF1NF2的值；若不存在，请说明理由分析：本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想解：(1)设动点为 M，其坐标为(x，y)，当 xa 时，由条件可得 kMA1kMA2 yxa yxay2x2a2m，即 mx2y2ma2(xa)，又 A1(a,0)、A2(a,0)的坐标满足 mx
8、2y2ma2，故依题意，曲线 C 的方程为 mx2y2ma2.当 m1 时，曲线 C 的方程为x2a2y2ma21，C 是焦点在 y 轴上的椭圆；当 m1 时，曲线 C 的方程为 x2y2a2，C 是圆心在原点的圆；当1m0 时，曲线 C 的方程为x2a2 y2ma21，C 是焦点在x 轴上的双曲线(2)由(1)知，当 m1 时，C1的方程为 x2y2a2；当 m(1,0)(0，)时，C2 的两个焦点分别为 F1(a 1m，0)，F2(a 1m，0)对于给定的 m(1,0)(0，)，C1上存在点 N(x0，y0)(y00)使得 S|m|a2 的充要条件是x20y20a2，y00，122a 1m
9、|y0|m|a2.由得 0|y0|a，由得|y0|m|a1m.当 0|m|a1ma，即1 52m0 或 0a，即1m1 52时，不存在满足条件的点 N.当 m1 52，0 0，1 52时，由NF1(a 1mx0，y0)，NF2(a 1mx0，y0)，可得NF1 NF2 x20(1m)a2y20ma2.令|NF1|r1，|NF2|r2，F1NF2，则由NF1 NF2 r1r2cosma2，可得 r1r2ma2cos，从而 S12r1r2sinma2sin2cos 12ma2tan，于是由 S|m|a2，可得12ma2tan|m|a2，即 tan2|m|m.综上可得：当 m1 52，0 时，在 C
10、1 上，存在点 N，使得 S|m|a2，且 tanF1NF22；当 m0，1 52时，在 C1 上，存在点 N，使得 S|m|a2，且 tanF1NF22；当 m1，1 521 52，时，在 C1上，不存在满足条件的点 N.2(2011山东卷)等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1，a2，a3 中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：bnan(1)nlnan，求数列bn的前n 项和 Sn.分析：本题考查等比数列、数列求和等基础知识，考查分析问题解决问题的
11、能力，考查运算能力根据已知的数列an为等比数列和数表逐个检验可得只能是 a12，a26，a318，即数列an的公比为 3，这样即可求出数列的通项公式；lnan 是等差数列，对数列的(1)nlnan求和，采用分 n 为奇数和偶数的情况求解，然后再整合结论解：(1)当 a13 时，不合题意；当 a12 时，当且仅当 a26，a318 时，符合题意；当 a110 时，不合题意因此 a12，a26，a318.所以公比 q3，故 an23n1.(2)因为 bnan(1)nlnan23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln2(n1)ln323n1(1)n(ln2ln3)(1)nnln3，所以 S
12、n2(133n1)111(1)n(ln2ln3)123(1)nnln3，所以当 n 为偶数时，Sn213n13 n2ln33nn2ln31；当 n 为奇数时，Sn213n13(ln2ln3)n12 n ln33nn12 ln3ln21.综上所述，Sn3nn2ln31，n为偶数，3nn12 ln3ln21，n为奇数.3.(2011山东卷)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803 立方米，且 l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 c
13、(c3)千元设该容器的建造费用为 y 千元(1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的 r.分析：本题主要考查空间几何体的面积和体积、函数建模、导数在解决实际问题中的应用首先根据容积(体积)求出 r，l 的关系，即使用 r 表示 l，根据 l2r 即可求出 r 的取值范围，根据一个圆柱的侧面积和一个球的表面积建立造价y 关于 r 的函数关系，然后使用导数求解这个函数的最小值解：(1)设容器的容积为 V，由题意知 Vr2l43r3，又 V803，故 lV43r3r2803r243r4320r2 r.由于 l2r，因此 0r2.所以建造费用 y2rl
14、34r2c2r4320r2 r 34r2c，因此 y4(c2)r2160r，0r2.(2)由(1)得y 8(c 2)r 160r2 8c2r2r3 20c2，0r3，所以 c20，当 r3 20c20 时，r320c2.令320c2m，得m0，所以 y8c2r2(rm)(r2rmm2)当 0m92时，当 rm 时，y0；当 r(0，m)时，y0；所以 rm 是函数的极小值点，也是最小值点当 m2 即 3c92时，当 r(0,2)时，y0，函数单调递减，所以 r2 是函数 y 的最小值点综上所述，当 392时，建造费用最小时 r320c2.4(2011四川卷)已知函数 f(x)23x12，h(x
15、)x.(1)设函数 F(x)f(x)h(x)，求 F(x)的单调区间与极值；(2)设 aR，解关于 x 的方程 log432fx134 log2h(ax)log2h(4x)；分析：本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、特殊与一般等数学思想方法以及推理运算、分析问题、解决问题的能力解：(1)由 F(x)f(x)h(x)23x12 x(x0)知，F(x)4 x36 x，令 F(x)0，得 x 916.当 x0，916 时，F(x)0.故当 x0，916 时，F(x)是减函数；当 x916，时，F(x)是增函数F(x)在 x 916处有极小值且 F916 18.(2)原方程可化为 log4(x1)log2h(4x)log2h(ax)，即12log2(x1)log2 4xlog2 ax，x10，4x0，ax0，x14xax.1x4，xa，ax325.当 1a4 时，原方程有一解 x3 5a；当 4a5 时，原方程无解164k32k4k12k14k3 k4k1 k11614k3 k4k1 k10.高考专题训练二十三