1、高考巡航函数零点主要考查零点所在区间、零点个数的判断以及由函数零点的个数求解参数的取值范围；函数的实际应用问题常以实际生活为背景，与最值、不等式、导数、解析几何等知识交汇命题.核心梳理知识回顾一、概念1函数存在性定理如果函数 yf(x)在区间a，b满足(1)图象是连续的(2)f(a)f(b)0则函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)使得 f(c)0.2函数 F(x)f(x)g(x)的零点，就是方程 f(x)g(x)的根，即函数 yf(x)的图象与 yg(x)的图象交点的横坐标二、重要技法1数学方法：图象法，分离参数法，最值的求法2数学思想：数形结合，转化与化归，函数与方
2、程专题回访1已知 x0 是 f(x)12x1x的一个零点，x1(，x0)，x2(x0,0)，则()Af(x1)0，f(x2)0，f(x2)0Cf(x1)0，f(x2)0 Df(x1)0解析：x0 是函数 f(x)12x1x的一个零点，f(x0)0，f(x)12x1x在(，0)上是单调递减函数，且 x1(，x0)，x2(x0,0)，f(x1)f(x0)0f(x2)，故选 C.答案：C2已知函数 f(x)x2，xa，x25x2，xa，函数 g(x)f(x)2x 恰有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是()A1,1)B0,2C2,2)D1,2)解析：解法一：由题意知 g(x)2x，xa，x23x
3、2，xa，因为 g(x)恰有三个不同的零点，所以 2x0，当 xa 时，有一个解，由 x2 得 a2.由 x23x20 得 x1 或 x2，由 xa 得 a1.综上，实数 a 的取值范围为1,2)，故选 D.D解法二：利用排除法，在同一平面直角坐标系内作出函数 yx2，yx25x2 的图象和直线 y2x，如图所示由图可知，当 a2时，直线 y2x 与 yx2 在(a，)上有一个交点，当 a1 时，直线 y2x 与 yx25x2 的图象在(，a上有两个交点，由于函数 g(x)f(x)2x 恰有三个不同的零点，即函数 yf(x)的图象与直线 y2x 恰有三个交点，故1a2.3已知函数 f(x)ln
4、x3x8 的零点 x0a，b，且 ba1，a，bN*，则 ab()A0 B2C5 D7解析：f(2)ln268ln220，且函数 f(x)lnx3x8 在(0，)上为单调递增函数，x02,3，即 a2，b3，ab5.答案：C4下列函数中不存在零点的是()Ayx1xBy x2x1Cylog2 013x Dyex2解析：对于 A，令 yx1x0，则 x1；对于 B，由于 x2x10 无实数根，则函数 y x2x1无零点；对于 C，令 log2 013x0，则 x1；对于 D，令 yex20，则 xln2.故选 B.答案：B5已知 f(x)|xex|，g(x)f2(x)tf(x)(tR)，若方程 g
5、(x)1 有四个实数根，则 t 的取值范围为()A.，e21e B.e21e，C.e21e，2D.2，e21eA解析：f(x)|xex|xexx0 xexx0 恒成立，所以 f(x)在0，)上为增函数；当 x0，f(x)为增函数，当 x(1,0)时，f(x)ex(x1)0，则只需 1e 0，即1e21et10，得 t0 对任意的 xR 恒成立，所以f(x)在 R 上递增，且 f(0)10，所以 f(x)有 1 个零点(2)由题意知，当 x0 时，f(x)2x1x，x1，0|x3|1，x，1，作出函数 f(x)的图象如图所示，设函数 yf(x)与 y1交点的横坐标从左到右依次为 x1，x2，x3
6、，x4，x5，由图象的对称性可知，x1x26，x4x56，x1x2x4x50，令2x1x1，解得 x3112，所以函数 F(x)f(x)1的所有零点之和为112.方法规律 判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令 f(x)0，则方程解的个数即为零点的个数(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a，b上是连续的曲线，且 f(a)f(b)0 x1，x0.求 gf(1)的值；若方程 gf(x)a0 有 4 个实数根，求实数 a 的取值范围C 见解析自主解答(1)由题意，g(x)x33x(tx)33(tx)3tx23t2xt33t，当 t0 时，显然 g(x)0 恒成立；当 t0 时，只需(3
7、t2)243t(t33t)0，化简得 t212，即2 3t2 3，t0.综上可知，实数 t 的取值范围是2 3，2 3(2)利用解析式直接求解得 gf(1)g(3)312.令 f(x)t，则原方程化为 g(t)a，易知方程 f(x)t 在 t(，1)内有 2 个不同的解，则原方程有 4 个解等价于函数 yg(t)(t1)与 ya 的图象有 2 个不同的交点，作出函数 yg(t)(t1)的图象，由图象可知，当 1a54时，函数 yg(t)(t0，故 y1 为增函数，当 x200 时，y1 取得最大值 1 980200a，即投资生产甲产品的最大年利润为(1 980200a)万美元y20.05(x1
8、00)2460(1x120，xN*)，当 x100 时，y2 取得最大值 460，即投资生产乙产品的最大年利润为 460 万美元(3)为研究生产哪种产品年利润最大，我们采用作差法比较：由(2)知生产甲产品的最大年利润为(1 980200a)万美元，生产乙产品的最大年利润为 460 万美元，(1 980200a)4601 520200a，且 6a8，当 1 520200a0，即 6a7.6 时，投资生产甲产品 200 件可获得最大年利润；当 1 520200a0，即 a7.6 时，生产甲产品与生产乙产品均可获得最大年利润；当 1 520200a0，即 7.6a8 时，投资生产乙产品 100 件可
9、获得最大年利润方法规律 应用函数知识解应用题的步骤(1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键，转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类(2)用相关的函数知识，进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解(3)把计算获得的结果带回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答提醒：在建立函数模型时一定要根据实际情况，确定函数的定义域专能提升1.(热点一)定义在区间0,3上的函数 ysin 2x 的图象与 ycos x的图象的交点个数是_7解析：在同一平面直角坐标系内画出两个函数在区间0,3上的图象，通过分析和观察图象确
10、定交点个数也可以通过解方程确定图象交点个数(方法一)函数 ysin 2x 的最小正周期为22，ycos x 的最小正周期为 2，在同一坐标系内画出两个函数在0,3上的图象，如图所示通过观察图象可知，在区间0,3上两个函数图象的交点个数是7.(方法二)联立两曲线方程，得ysin 2x，ycos x，两曲线交点个数即为方程组解的个数，也就是方程 sin 2xcos x 解的个数方程可化为 2sin xcos xcos x，即 cos x(2sin x1)0，cos x0 或 sin x12.当 cos x0 时，xk2，kZ，x0,3，x2，32，52，共 3 个；当 sin x12时，x0,3，
11、x6，56，136，176，共 4 个综上，方程组在0,3上有 7 个解，故两曲线在0,3上有 7 个交点2(热点二)已知函数 f(x)x24a3x3a，x0，logax11，x0(a0，且 a1)在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f(x)|2x 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是()A.0，23 B.23，34C.13，23 34D.13，23 34C解析：根据题意画出函数的图象，利用函数图象的特征、分段函数的单调性以及函数的零点等知识求解参数的范围由 yloga(x1)1 在0，)上递减，得 0a1.又由 f(x)在 R 上单调递减，则024a303af01，34a20 1
12、3a34.如图所示，在同一坐标系中作出函数 y|f(x)|和y2x 的图象由图象可知，在0，)上，|f(x)|2x 有且仅有一个解，故在(，0)上，|f(x)|2x 同样有且仅有一个解当 3a2，即 a23时，由 x2(4a3)x3a2x(其中 x0)，得x2(4a2)x3a20(其中 x0)，则(4a2)24(3a2)0，解得 a34或 a1(舍去)；当 13a2，即13a23时，由图象可知，符合条件综上所述，a13，23 34.故选 C.3(热点二)已知函数 f(x)|x|，xm，x22mx4m，xm，其中 m0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m 的
13、取值范围是_(3，)解析：先作出函数图象，结合图象进行求解作出 f(x)的图象如图所示当 xm 时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程 f(x)b 有三个不同的根，则 4mm2m，即m23m0.又 m0，解得 m3.4(热点二)若集合 Ax|(k2)x22kx10有且仅有两个子集，则实数 k 的值是()A2 B2 或1C2 或1 D2 或1解析：由集合 A 有且仅有两个子集得，集合 A 中只有一个元素，即方程(k2)x22kx10 有唯一解当 k20，即 k2 时，方程4x10 有唯一解 x14，满足题意，所以 k2 满足题意；当 k2 时，(2k)24(k2)0，解得 k1 或 2，
14、都满足题意所以实数 k 的值为 2，2 或1.答案：D5(热点二)若函数 f(x)x22a|x|4a23 的零点有且只有一个，则实数 a()A.32 或 32 B 32C.32D以上都不对解析：令|x|t，原函数的零点有且只有一个，即方程 t22at4a230 只有一个 0 根或一个 0 根、一个负根，4a230，解得 a32 或 32，经检验，a 32 满足题意答案：C6(热点三)某地上年度电价为 0.8 元，年用电量为 1 亿千瓦时本年度计划将电价调至 0.55 元0.75 元之间(包含 0.55 元和 0.75 元)，经测算，若电价调至 x 元，则本年度新增用电量 y(亿千瓦时)与(x0
15、.4)(元)成反比又当 x0.65 时，y0.8.(1)求 y 与 x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本为 0.3 元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年增加 20%?收益用电量(实际电价成本价)解析：(1)因为 y 与(x0.4)成反比，所以可设 ykx0.4(k0)，把x0.65，y0.8 代入上式得 0.8k0.650.4，解得 k0.2，所以 y 0.2x0.415x2，则 y 与 x 之间的函数关系式为 y15x2(0.55x0.75)(2)根据题意，得115x2(x0.3)1(0.80.3)(120%)，整理得 x21.1x0.30，解得 x10.5，x20.6，因为 x 的取值范围是0.55，0.75，所以 x0.5 不符合题意，舍去，则 x0.6，所以当电价调至 0.6 元时，本年度电力部门的收益将比上年增加 20%.