1、考点测试8二次函数与幂函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度考纲研读1.了解幂函数的概念2结合函数yx，yx2，yx3，yx1，y的图象，了解它们的变化情况3理解并掌握二次函数的定义、图象及性质4能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题一、基础小题1若，则a，b，c的大小关系是()Aabc BcabCbca Dbac答案D解析因为在第一象限内是增函数，所以a，因为yx是减函数，所以a，所以bac.2在函数f(x)ax2bxc中，若a，b，c成等比数列，且f(0)4，则f(x)()A有最小值4 B有最大值4C有最小值3 D有最大值3答案D解析由a，b，c成
2、等比数列且f(0)4，得显然a0，故f(x)有最大值，最大值为3，故选D.3已知函数f(x)x22xm，若f(x1)f(x2)(x1x2)，则f的值为()A1 B2 Cm1 Dm答案C解析由题意知，函数的对称轴为直线x1，所以ff(1)m1.故选C.4.幂函数yx1，yxm与yxn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A1m0n1B1n0mC1m0nD1n0m1答案D解析在第一象限作出幂函数yx，yx0的图象，在(0,1)内作直线xx0与各图象有交点，如图，由“点低指数大”，知1n0m0时，要使ykx24x2在区间1,2上是增函数，只需1，解得k2.当k0时，0的解集是()A(4
3、,2) B(2,4)C(，4)(2，) D(，2)(4，)答案C解析依题意，知f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x1，方程ax2bxc0的一个根是2，另一个根是4.因此f(x)a(x4)(x2)(a0)，由f(x)0，解得x2或x2x的解集为(1,3)若方程f(x)6a0有两个相等的根，则实数a()A B1C1或 D1或答案A解析因为f(x)2x0的解集为(1,3)，设f(x)2xa(x1)(x3)，且a0，所以f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由方程f(x)6a0得ax2(24a)x9a0.因为方程有两个相等的根，所以(24a)24a9a0，解得a1或a.由于a0，mZ
4、，m1，幂函数f(x)x4，f(2)16.故选A.11函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上单调递减，则实数a的取值范围是_答案3,0解析当a0时，f(x)3x1在1，)上单调递减，满足条件当a0时，f(x)的对称轴为直线x，由f(x)在1，)上单调递减，知解得3a0.综上，实数a的取值范围为3,012已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，则f(x)_.答案x24x3解析因为f(2x)f(2x)对xR恒成立，所以f(x)的图象关于直线x2对称又因为yf(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)0的两根为2
5、1或23.所以二次函数f(x)的图象与x轴的两交点坐标为(1,0)和(3,0)因此设f(x)a(x1)(x3)又点(4,3)在yf(x)的图象上，所以3a3，则a1.故f(x)(x1)(x3)x24x3.二、高考小题13(2019北京高考)下列函数中，在区间(0，)上单调递增的是()答案A解析，y的图象如图所示由图象知，只有y在(0，)上单调递增故选A.14(2019全国卷)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x1)2f(x)，且当x(0,1时，f(x)x(x1)若对任意x(，m，都有f(x)，则m的取值范围是()A. BC. D答案B解析当x(0,1时，f(x)x(x1)，当x(0,1时，f
6、(x).f(x1)2f(x)，当x(1,0时，x1(0,1，f(x)f(x1)(x1)x，f(x)；当x(2，1时，x1(1,0，f(x)f(x1)f(x2)(x2)(x1)，f(x)；当x(1,2时，x1(0,1，f(x)2f(x1)2(x1)(x2)，f(x)；当x(2,3时，x1(1,2，f(x)2f(x1)4f(x2)4(x2)(x3)，f(x)1,0；.f(x)的图象如图所示若对任意x(，m，都有f(x)，则有2m3.设f(m)，则4(m2)(m3)，m或m.结合图象可知，当m时，符合题意故选B.15(2017浙江高考)若函数f(x)x2axb在区间0,1上的最大值是M，最小值是m，
7、则Mm()A与a有关，且与b有关 B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关 D与a无关，但与b有关答案B解析解法一：设x1，x2分别是函数f(x)在0,1上的最小值点与最大值点，则mxax1b，Mxax2b.Mmxxa(x2x1)，显然此值与a有关，与b无关故选B.解法二：由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定随着b的变动，相当于图象上下移动，函数值变化相同，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为Mk，mk，而(Mk)(mk)Mm，故与b无关随着a的变动，相当于图象左右移动，函数值变化不同，则Mm的值在变化，故与a有关故选B.16(2016全国卷)已知，
8、则()Abac Babc Cbca Dcab答案A解析因为，函数y在(0，)上单调递增，所以，即ac，又因为函数y4x在R上单调递增，所以，即ba，所以bac.故选A.17(2018上海高考)已知.若幂函数f(x)x为奇函数，且在(0，)上递减，则_.答案1解析幂函数f(x)x为奇函数，可取1,1,3，又f(x)x在(0，)上递减，f(4)，则()Aa0,4ab0 Ba0,2ab0 Daf(4)，所以f(x)在(2，)上为减函数，所以开口向下，a0，即m，所以m1.故选B.22(2019丰台期末)已知函数f(x)x2axb的图象过坐标原点，且满足f(x)f(1x)，则函数f(x)在1,3上的值
9、域为()A0,12 BC. D答案B解析因为函数f(x)x2axb的图象过坐标原点，所以f(0)0，所以b0.因为f(x)f(1x)，所以函数f(x)的图象的对称轴为直线x，所以a1，所以f(x)x2x2，所以函数f(x)在上递减，在上递增，故当x时，函数f(x)取得最小值，且为.又f(1)0，f(3)12，故函数f(x)在1,3上的值域为，故选B.23(2020广西南宁高三模拟)已知函数f(x)则对任意x1，x2R，若0|x1|x2|，下列不等式成立的是()Af(x1)f(x2)0Cf(x1)f(x2)0 Df(x1)f(x2)0答案D解析函数f(x)的图象如图所示，且f(x)f(x)，从而
10、f(x)是偶函数，且在0，)上是增函数又0|x1|f(x1)，即f(x1)f(x2)0，bR，cR)(1)若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(x)求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在区间(0,1上恒成立，试求b的取值范围解(1)由已知得c1，abc0，1，解得a1，b2，则f(x)(x1)2.则F(x)故F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)由题意得f(x)x2bx，原命题等价于1x2bx1在(0,1上恒成立，即bx且bx在(0,1上恒成立又当x(0,1时，x的最小值为0，x的最大值为2，所以2b0.故b的取值范围是2,02(2019广东潮汕模拟)
11、已知幂函数f(x)(m1)2在(0，)上单调递增，函数g(x)2xk.(1)求m的值；(2)当x1,2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：xA，q：xB，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围解(1)依题意得，(m1)21m0或m2，当m2时，f(x)x2在(0，)上单调递减，与题设矛盾，舍去，m0.(2)由(1)得，f(x)x2，当x1,2)时，f(x)1,4)，即A1,4)，当x1,2)时，g(x)2k,4k)，即B2k,4k)，由于p是q成立的必要条件，则BA，则即得0k1.3(2020宁夏育才中学月考)已知函数f(x)x24xa3，aR.(1)若函数f(x)在(
12、，)上至少有一个零点，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在a，a1上的最大值为3，求a的值解(1)由164(a3)0，得a1.故实数a的取值范围是(，1(2)f(x)(x2)2a1.当a12，即a1时，f(x)maxf(a)a23a33，解得a0或a3(舍去)；当1a时，f(x)maxf(a)3，解得a0或a3(均舍去)；当2时，f(x)maxf(a1)a2a3，解得a或a(舍去)综上，a0或a.4(2019安徽合肥模拟)已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR且a0)，xR.(1)若函数f(x)的最小值为f(1)0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)xk在区间3，1上恒成立，试求实数k的取值范围解(1)由题意知解得所以f(x)x22x1，由f(x)(x1)2知，函数f(x)的单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1(2)由题意知，x22x1xk在区间3，1上恒成立，即kx2x1在区间3，1上恒成立，令g(x)x2x1，x3，1，由g(x)2知g(x)在区间3，1上是减函数，则g(x)ming(1)1，所以k1，故实数k的取值范围是(，1)
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