1、高考巡航 1.利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式化简求值是高考热点备考时，应掌握求值问题的解题规律与途径，要会寻求角之间关系的特殊性，能正确运用公式，做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等2在三角形中，已知边角求其他边或角，判断三角形的形状，求三角形面积是高考热点备考时要求牢记正、余弦定理，掌握用正弦定理、余弦定理判断三角形形状及解任意三角形的方法，会用数学建模思想结合正弦、余弦定理解决实际中的距离、高度、角度等问题.核心梳理知识回顾一、概念1三角恒等变换公式(1)两角和与差的三角函数公式sin()sincoscossincos()coscossinsintan()tantan1tan
2、tan(2)辅助角公式asinxbcosx a2b2sin(x)(辅助角 所在象限由点(a，b)所在的象限决定，tanba)(3)二倍角公式sin22sincoscos2cos2sin22cos2112sin2(4)降幂公式 sin21cos22 cos21cos222实际问题中常用的角(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫俯角(2)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角(3)方向角：相对于某正方向的水平角(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数二、重要公式1正弦定理asinA bsinB csinC2
3、R R 是三角形外接圆的半径2余弦定理a2b2c22bccosA cosAb2c2a22bcb2a2c22accosB cosBa2c2b22acc2a2b22abcosC cosCa2b2c22ab3三角形面积公式SABC12absinC12bcsinA12acsinB4射影定理abcosCccosBbacosCccosAcacosBbcosA.专题回访1已知 cos2 32，且角 的终边上有一点(2，a)，则 a()A 3 B2 3 C2 3 D.3解析：由 cos2 32 得 sin 32，则a4a2 32，解得 a2 3.答案：B2已知 为锐角，且 2tan()3cos2 50，tan
4、()6sin()1，则 sin 的值是()A.3 55 B.3 77 C.3 1010 D.13解析：由已知可得2tan3sin50，tan6sin1，解得tan3，故 sin3 1010.答案：C3已知 tan2，则11sincos的值为_解析：原式sin2cos2sin2cos2sincostan21tan21tan 4141253.答案：534若 tan2tan5，则cos310sin5()A1 B2 C3 D4解析：cos310 cos52 sin5，原式sin5sin5sincos5cossin5sincos5cossin5tantan5tantan5.又tan2tan5，原式2ta
5、n5tan52tan5tan53.答案：C5.3cos101sin170()A4 B2 C2 D4解析：3cos101sin1703cos101sin103sin10cos10sin10cos102sin103012sin202sin2012sin204.答案：D6设 0，2，0，2，且 tan1sincos，则 2_.解析：由 tan1sincos 得sincos1sincos，即 sincoscoscossin，sin()cossin2.0，2，0，2，2，2，20，2，由 sin()sin2，得 2，22.答案：27在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.asinBc
6、osCcsinBcosA12b，则 sinB()A.12 B.34 C.32 D.22解析：由正弦定理得 sinAsinBcosCsinCsinBcosA12sinB，因为 B为ABC 的内角，所以 sinB0，约去 sinB，得 sin(AC)12，所以sinB12.答案：A8若ABC 的三个内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA 成等差数列，则 B()A30 B60 C90 D120解析：由题意知 2bcosBacosCccosA，根据正弦定理可得2sinBcosBsinAcosCcosAsinC，即 2sinBcosBsin(AC)sinB，解
7、得 cosB12，所以 B60.答案：B热点追踪热点考向一三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用典例 1(1)在平面直角坐标系中，点 M(3，m)在角 的终边上，点 N(2m,4)在角 4的终边上，则 m()A6 或 1 B1 或 6C6 D1(2)已知 tan3，则coscos2的值为()A13B3C.13D3(3)已知 sincos18，且42，则 cossin 的值为_AA 32自主解答(1)由题意得，tanm3，tan4 42m2m，2m1m31m3，m6 或 1，故选 A.(2)coscos2cossin 1tan13.(3)(cossin)212sincos1218
8、34，又4cos，cossin 32.方法规律(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候，要注意分情况解决，若机械地使用三角函数的定义就会导致错误(2)使用三角函数诱导公式常见的错误有两个：函数名称，函数值的符号.热点考向二三角恒等变换典例 2(1)函数 f(x)(1 3tanx)cosx 的最小正周期是()A2 BC.2D.4(2)函数 f(x)sin2x 3sinxcosx 在4，2 上的最小值是()A1 B.1 32C1 3 D.32AA 自 主 解 答 (1)f(x)(1 3 tanx)cosx 3 sinx cosx 2sinx6，其最小正周期为 2.(2)f(x)sin2x 3s
9、inxcosx1212cos2x 32 sin2xsin2x6 12，因为4x2，所以32x656，所以当 2x656，即 x2时，函数 f(x)sin2x 3sinxcosx 取得最小值，且最小值为12121.方法规律 求角问题要注意角的范围，要根据已知条件用已知的角表示待求的角，特别要将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.热点考向三解三角形典例 3 在锐角ABC 中，a，b，c 是角 A，B，C 的对边，且 3a2csinA.(1)求角 C 的大小；(2)若 c 7，且ABC 的面积为3 32，求 ab 的值自主解答(1)由正弦定理得：3sinA2sinCsinA，A，C 是锐角，sinC
10、 32，C60.(2)由已知得，ABC 的面积 S12absinC3 32，ab6.由余弦定理得 c2a2b22abcosC(ab)23ab，(ab)225，ab5.母题变式 1 在本例条件下，求 sinAsinB 的取值范围母题变式 1由本例(1)可知 C60，AB120sinAsinBsinAsin(120A)sinA 32 cosA12sinA32sinA 32 cosA 332 sinA12cosA 3sin(A30)又ABC 为锐角三角形，0A90，即 A30(30，120)，3sin(A30)32，3.故 sinAsinB 的取值范围为32，3.母题变式 2 在本例条件下，若 c
11、7，求 ab 的最大值母题变式 2由余弦定理得 c2a2b22abcosCa2b2ab.即 7a2b2ab(ab)23ab(ab)23ab22.714(ab)2，即(ab)228，ab 的最大值为 2 7.母题变式 3 在本例条件下，若 c 7，求ABC 面积的最大值母题变式 3由余弦定理得 c2a2b22abcosCa2b2ab，即 7a2b2ab2abab，ab7，SABC12absinC127sin607 34.故ABC 面积的最大值为7 34.方法规律 三角形问题的求解一般从“角”或“边”两个角度进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可解决.专能提升1.(热点一)已知角 的终边
12、过点 P(4k,3k)(k0)，则 2sincos的值是()A.25 B25C.25或25D随着 k 的取值不同而不同解析：因为角 的终边过点 P(4k,3k)(k0)，所以点 P 到原点的距离为 4k23k25k，所以 sin 3k5k35，cos4k5k45，2sincos235 4525，故选 B.答案：B2(热点一)如果 f(tanx)sin2x5sinxcosx，那么 f(2)_.解 析：f(tanx)sin2x 5sinxcosx sin2x5sinxcosxsin2xcos2xtan2x5tanxtan2x1，f(x)x25xx21，则 f(2)65.答案：653(热点二)函数
13、f(x)sin(2x)3cos(2x)是偶函数，则 tan2等于()A.33 B 33 C.3 D 3解析：由于 f(x)sin(2x)3cos(2x)2sin2x3 为偶函数，故 3k2(kZ)，k6(kZ)，tan2tan2k3 tan3 3.答案：C4(热点二)已知、(0，)，且 tan()12，tan17，则2_.34解析：tantan()tantan1tantan121711217131，所以 04，tan2 2tan1tan22131132341，所以 024.tan(2)tan2tan1tan2tan3417134171.因为 0，所以0，所以24，所以 234.5(热点三)为测
14、出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是()A.3 64 km2B.3 64 km2C.6 34 km2D.6 34 km2解析：如图，连接 AC，根据余弦定理可得 AC 3，故ABC 为直角三角形，且ACB90，BAC30，故ADC 为等腰三角形，设 ADDCx，根据余弦定理得 x2x2 3x23，即 x232 33(23)所以所求小区 的面积 为 12 1312 3(23)12 2 363 346 34(km2)答案：D6(热点三)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 b2c212bca2.(1)求 sin2BC2cos2A 的值；(2)若 a 3，求 bc 的最大值解：(1)根据余弦定理得 cosAb2c2a22bc14.sin2BC2cos2A121cos(BC)(2cos2A1)12(1cosA)(2cos2A1)12114 181 32.(2)b2c212bca2，12bcb2c2a22bca2，bc23a2，当且仅当 bc 时等号成立a 3，bc2，当且仅当 bc 2时等号成立，故 bc 的最大值是 2.