1、课时素养检测七二项式系数的性质、杨辉三角及二项式定理的应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1.如图，杨辉三角的第4行的第5个数是1，第5行的第5个数是5，第6行的第5个数是15，第18行的第5个数是x，则的值为()A.38B.36C.34D.32【解析】选C.把这些数写成以下形式：，所以它们的和为+=+=+=+=，所以=34.2.对任意实数x，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3，则a2的值为()A.3B.6C.9D.21【解析】选B.由于x3=2+(x-2)3，其展开式的通项为23-r(
2、x-2)r，当r=2时，为21(x-2)2=6(x-2)2，故a2=6.3.在(1+x)6(1+y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)+f(2，1)+f(1，2)+f(0，3)=()A.45B.60C.120D.210【解析】选C.因为xmyn项的系数为f(m，n)=，所以f(3，0)+f(2，1)+f(1，2)+f(0，3)=+=120.4.已知+2+22+23+2n=729，则+等于()A.63B.64C.31D.32【解析】选A.逆用二项式定理得+2+22+23+2n=(1+2)n=729，即3n=36，所以n=6，所以+=26-1=63.5.设函数f(x)=
3、则当x0时，f(f(x)表达式的展开式中常数项为()A.-20B.20C.-15D.15【解析】选A.因为当x0时，f(x)=-0，所以f(f(x)=的展开式的通项为=(-1)6-rx3-r，令3-r=0，得r=3，所以所求的常数项为(-1)3=-20.6.(多选题)在的展开式中，系数最大的项为()A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项【解析】选AC.由二项式定理知，展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等.由于二项式系数的最大项为T6，且T6=x5=-，二项式系数等于项的系数的相反数，此时T6的系数最小.而T5=x6=x2，T7=x4=x-2，且=，所以系数最大的项为第5项和第7项
4、.二、填空题(每小题5分，共10分)7.已知n，kN*，且kn，k=n，则可推出+2+3+k+n=n(+)=n2n-1，由此，可推出+22+32+k2+n2=_.【解析】因为k2=kk=kn，所以+22+32+k2+n2=n1+n2+n3+nn=n(1+2+3+n)=n0+1+2+(n-1)+=n(n-1)2n-2+2n-1=n(n+1)2n-2.答案：n(n+1)2n-28.已知fn(x)=(1+x)n.若f2 019(x)=a0+a1x+a2 019x2 019，则a1+a3+a2 017+a2 019的值为_；若g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x)，则g(x)中含x6项的系数
5、为_.【解析】因为fn(x)=(1+x)n，所以f2 019(x)=(1+x)2 019，又f2 019(x)=a0+a1x+a2 019x2 019，所以f2 019(1)=a0+a1+a2 019=22 019，f2 019(-1)=a0-a1+a2 018-a2 019=0，-得：2(a1+a3+a2 017+a2 019)=22 019，所以a1+a3+a2 017+a2 019=22 018.因为g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x)，所以g(x)=(1+x)6+2(1+x)7+3(1+x)8，所以g(x)中含x6项的系数为1+2+3=99.答案：22 01899三、解答题
6、(每小题10分，共20分)9.已知的展开式中二项式系数的最大值是中间的一项，等于70，(1)求n的值.(2)问展开式中系数最大的项是第几项？(3)求(1+2x2)的展开式中的常数项.【解析】(1)由杨辉三角中的数可知当n=8时的行中最大的数是70，所以n=8.(2)的展开式的第r+1项的系数为208-r18r，解不等式组得r=4，所以第5项的系数最大.(3)的展开式的通项为x8-r=(-1)rx8-2r，令8-2r=0得r=4，令8-2r=-2得r=5，所以(1+2x2)的展开式中的常数项是(-1)4+2(-1)5=-42.10.(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项
7、式系数最大的项和系数最大的项.【解析】T6=(2x)5，T7=(2x)6，依题意有25=26，得n=8.所以(1+2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5=(2x)4=1 120x4.设第r+1项系数最大，则有即解之得5r6，因为rN，所以r=5或r=6.所以系数最大的项为T6=1 792x5，T7=1 792x6.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.将多项式a6x6+a5x5+a1x+a0分解因式得(x-2)(x+m)5，m为常数，若a5=-7，则a0=()A.-2B.-1C.1D.2【解析】选D.因为(x+m)5的通项公式为Tr+1=x5-rmr，a5x5=xx5-
8、1m1+(-2)x5=(5m-2)x5，所以a5=5m-2，又a5=-7，所以 5m-2=-7，所以m=-1，a0=(-2)(-1)5=2.2.已知(1+a)1+(1+a)2+(1+a)3+(1+a)n=b0+b1a+b2a2+bnan，若b0+b1+b2+bn=14，则正整数n的值为()A.3B.4C.5D.6【解析】选A.在已知的等式中，令a=1，得21+22+23+2n=b0+b1+b2+bn=14，由b0+b1+b2+b3=21+22+23=14知，n=3.3.已知(3-x)n=a0+a1x+a2x2+anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a0-a1+a2-+(-
9、1)nan=()A.32B.64C.128D.256【解析】选D.由题意可得=，所以n=4.令x=-1，则(3-x)n=(3+1)4=a0-a1+a2-a3+a4=256.所以a0-a1+a2-+(-1)nan=256.4.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+，则a0+a2+a4+等于()A.2nB.C.2n+1D.【解析】选D.令x=1得3n=a0+a1+a2+a2n-1+.令x=-1得1=a0-a1+a2-a2n-1+a2n.+得3n+1=2(a0+a2+a2n)，所以a0+a2+a2n=.二、填空题(每小题5分，共20分)5.(x-y)7的展开式中，系数绝对值最大的项是_.【解
10、析】(x-y)n的展开式，当n为偶数时，展开式共有n+1项，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，展开式有n+1项，中间两项的二项式系数最大.而(x-y)7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4，5两项.答案：第4，5两项6. (1+)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是_.【解析】因为8+32，即82n32.所以n=4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3=()2=6x.答案：6x7.(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=_.【解析】方法一：将(a+x)(1+x)4展开得x5+(a+4)x4+(6+4a)x3+(4+6a)x2
11、+(1+4a)x+a，由题意得1+(6+4a)+(1+4a)=32，解得a=3.方法二：(1+x)4展开式的通项为=xr，由题意可知a(+)+=32，解得a=3.答案：38.(x2+1)(x-2)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a11(x-1)11，则a1+a2+a3+a11的值为_.【解析】令x=1，得a0=-2.令x=2，得a0+a1+a2+a11=0.所以a1+a2+a3+a11=2.答案：2三、解答题(每小题10分，共30分)9.已知(1+3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求：(1)展开式中二项式系数最大的项.(2)展开式中系数最大的项
12、.【解析】(1)由已知得+=121，则n(n-1)+n+1=121，即n2+n-240=0，解得n=15，所以，展开式中二项式系数最大的项是T8=(3x)7和T9=(3x)8.(2)Tr+1=(3x)r，由题意得，设第r+1项系数最大，则所以11r12.所以展开式中系数最大的项对应的r=11，12，即展开式中系数最大的项是T12=(3x)11和T13=(3x)12.10.在(3x-2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项.【解析】(1)二项式系数最大的项是第11项，T11=310(-2)10x10y10=610x10y10.(2)设系数绝
13、对值最大的项是第r+1项，于是化简得解得7r8(rN)，所以r=8，即T9=31228x12y8是系数绝对值最大的项.(3)由于系数为正的项为y的偶次方项，故可设第2r-1项系数最大，于是化简得解得r=5，即25-1=9，故第9项系数最大.T9=31228x12y8.11.在杨辉三角中，除每行的两端数值外，每一数值都是它左上角和右上角两个数值之和，杨辉三角开头几行如图所示.(1)利用杨辉三角展开(1-x)6；(2)在杨辉三角中哪一行会出现相邻的三个数，它们的比是345？【解析】(1)根据杨辉三角的规律“每行两端都是1，其余每个数都等于它肩上的两个数的和”，可写出第6行的二项式系数为1，6，15，20，15，6，1，所以(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6.令a=1，b=-x，得(1-x)6=1-6x+15x2-20x3+15x4-6x5+x6.(2)设在第n行出现的三个相邻的数的比是345，并设这三个数分别是，则有所以所以即所以即在第62行会出现=345.