1、第二部分 高考题型解读 题型二 填空题第二十一讲 特殊值型、图象分析型、构造型、综合型好方法好成绩1.特殊值型特殊值法在考试中应用起来比较方便，它的实施过程是从特殊到一般，优点是简便易行当暗示答案是一个“定值”时，就可以取一个特殊数值、特殊位置、特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化，把一般形式变为特殊形式当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤其有效2图象分析型依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，利用图形直观性求解的填空题，称为图象分析型填空题，这类问题的几何意义一般较为明显由于填空题不要求写出解答过程，因而有些问题可以借助图形，然后参照图形的形状、位置、性质，综合图
2、象的特征，进行直观地分析，加上简单的运算，一般就可以得出正确的答案事实上许多问题都可以转化为数与形的结合，利用图解法解题既浅显易懂，又能节省时间利用数形结合的思想解决问题能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题的能力，此类问题为近年来高考考查的热点内容3构造型构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷地解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似的问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决4综合型综合型
3、填空题综合考查中学数学的基础知识和方法，涉及多个知识点，思维跨度较大，凸现知识的网络交汇求解这类填空题需深刻理解题意，通过类比、联想、构造等手段准确找到切入点，充分挖掘题目隐含条件，运用向量、函数、方程、不等式与导数等基本知识为工具，灵活转化，才能顺利有效的求解.高频考点类型一 特殊值型【例 1】在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，如果 a、b、c 成等差数列，则 cosAcosC1cosAcosC_.分析 由题意易知，本题结果与ABC 的形状无关，只需取符合要求的特殊值即可解析 解法一：取特殊值 a3，b4，c5，则cosA45，cosC0，cosAcosC1cosAc
4、osC45.解法二：取特殊角 ABC3，cosAcosC12，cosAcosC1cosAcosC45.答案 45点评 特殊化是求解填空题的常用技巧之一，当填空题题设条件中虽含有某些不确定量，但填空题结论唯一或题设条件暗示答案为定值时，可以考虑采用特殊化技巧在求解过程中，将题中变化的不定量选取适当特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊方程、特殊模型，或图形的特殊位置，特殊点等)进行处理，从而快速得出结论，大大简化推理论证过程【探究 1】(2011山东泰安模拟)如图，在ABC 中，AO 是 BC 边上的中线，K 为 AO上一点，且AO 2AK，过点 K 的直线分别交直线 AB、AC于不同的两点
5、 M、N，若AB mAM，AC nAN，则 mn_.分析：题目中过点 K 的直线是任意的，因此 m 和 n 的值是变化的，但从题意看 mn 的值是一个定值，故可取一条特殊的直线进行求解解析：当过点 K 的直线与 BC 平行时，MN 就是ABC 的一条中位线(AO 2AK，K 是 AO 的中点)这时由于有AB 2AM，AC 2AN，因此 mn2，故 mn4.答案：4类型二 图象分析型【例 2】已知 m、n 分别是方程 10 xx10 与 lgxx10 的根，则 mn_.分析 因为方程 10 xx10 与 lgxx10 的根 m、n不是特殊值，所以本题不宜直接求 m、n 的值求解本题应另辟蹊径，抓
6、住隐含条件函数 y1lgx 与函数 y210 x的图象关于直线 yx 对称，利用函数图象求解解析 m、n 分别是方程 10 xx10 与 lgxx10 的根，令 y1lgx，y210 x，y310 x，在同一坐标系中作出它们的图象，设其交点为 A、B，如图所示设直线 yx 与直线 y310 x 的交点为 M，联立方程组yx，y310 x，得 M(5,5)又函数 y1lgx 与函数 y210 x的图象关于 yx 对称，mnxAxB2xM10.答案 10点评 可以将本题拓展：已知 m、n 分别是方程 axxa 与 logaxxa 的根，则 mna，由此可以变换若干个题，本题应作为结论掌握，其证明过
7、程可以类比本题求解过程，这里不再赘述【探究 2】若直线 l：axy20 与连结点 A(2,3)和点 B(3,2)的线段有公共点，则 a 的取值范围为_解析：解法一：利用数形结合求解 如图所示，连接AC、BC.由方程 axy20，可知此直线恒过定点 C(0，2)由A(2,3)，B(3,2)，可得 kAC3220 52，kBC223043.故 l 的斜率a 应满足a52或a43，即 a52或 a43.解法二：利用交点范围求解 由两点式求得直线 AB 的方程为 x5y130.解方程组x5y130，axy20，得 x 2315a.根据题意知，该点横坐标 x 应满足2 2315a3，解之得 a52或 a
8、43.故满足条件的实数 a 的取值范围为 a52或 a43.解法三：利用平面区域代数表示求解 由题意知，点A(2,3)和点 B(3,2)应在直线 axy20 的两侧或一点在此直线上(2a32)(3a22)0，解之得 a43或 a52.答案：a43或 a52点评：本题是比较经典的题目，所给的三种方法中利用交点范围求解相对比较复杂，计算量大，而利用数形结合法和平面区域代数表示求解比较简单，但容易在以下地方出错：(1)在解法一中易犯两个错误：在确定 kybxa的范围时易出错，解题的关键是联系倾斜角(几何)和斜率(代数)，最好结合函数 ytanxx0，2 思考；直线 l：axy20 的斜率是a，而不是
9、 a，需多加小心(2)在解法三中利用平面区域代数表示，准确列不等式是关键，但容易忽略 A、B 可能在直线 axy20 上这一条件类型三 构造型【例 3】函数 y6 16x8 x9的最大值为_，最小值为 _.分析：本题属于求无理数的最值问题，最常规的方法是利用导数求解，但本题结构比较特殊，可以构造向量 m(6,8)，n(16x，x9)，利用向量的数量积求解解析 解法一：导数法 y 62 16x 82 x9 316x 4x9 4 16x3 x916x x9，令 y4 16x3 x916x x90，得 x7.函数 y6 16x8 x9的定义域为9,16函数自变量、导函数与因变量的变化关系如下表：x9
10、(9,7)7(7,16)16y0y30 5040故函数 y6 16x8 x9的最大值为 50，最小值为30.解法二：构造向量求解令 m(6,8)，n(16x，x9)，则|m|10，|n|5，y6 16x8 x9mn.设 u 16x，v x9，则 u2v225(u0，v0)n(16x，x9)的终点落在以(0,0)为圆心，5 为半径的第一象限的圆弧上(包括与 x 轴，y 轴的交点)，如图所示cosm，n35，1ymn|m|n|cosm，n30,50故函数 y6 16x8 x9的最大值为 50，最小值为30.答案 50 30点评 导数是求解函数最值问题的最常用的方法，对于以下四类特殊函数可以采用构造
11、法求解：(1)ya mxb xn型无理函数，可以类比本题构造向量或圆锥曲线求解；(2)y a1x2b1xc1 a2x2b2xc2型无理函数，联系平面两点的距离公式，构造与距离相关的平面图形求解；(3)分式型函数可以联系斜率公式，构造与斜率相关的平面图形求解；(4)含a2x2型无理函数，联系三角公式 sin2cos21，建立三角函数模型【探究 3】在三棱锥 OABC 中，三条棱 OA、OB、OC 两两互相垂直，且 OAOBOC，M 是 AB 的中点，则OM 与平面 ABC 所成角的正弦值是_分析：解答本题大致有以下两条途径：(1)利用等积变换求出三棱锥的高，然后求解 OM 与高构成的直角三角形即
12、可；(2)构造正方体，将三棱锥置放在正方体中，利用正方体的性质可以迅速求解解析：解法一：等积变换 如图(1)所示，设 OAOBOCa，设 OP平面 ABC，垂足为 P，PMO 是直线OM 与平面 ABC 所成的角VOABC1312aaa13 34(2a)2OP，OP 33 a.sinPMOOPOM33 a22 a 63.解法二：构造法 将三棱锥 OABC 放在如图(2)所示的边长为 a的正方体中，由正方体的性质，知三棱锥 OABC的高为 33 a，而 OM 22 a，所以 OM 与平面 ABC 所成角的正弦值为 63.答案：63点评：正方体是最基本的几何体之一，蕴含着大量的空间线线、线面、面面
13、位置关系，一直是高考命题的热点内容因此在求解三棱锥、三棱柱等问题时，常常根据几何体的结构特征构造相应的正方体，转化为正方体问题求解而求解过程有以下两个关键点：(1)熟悉基本图形之间的相互联系，特别是正方体与一些特殊四面体之间的联系；(2)注意分析条件与结论在转化过程中的变化关系类型四 综合型【例 4】已知直线 y(a1)x1 与曲线 y2ax 只有一个公共点，则实数 a 的值为_分析 直线和二次曲线的位置关系问题常常转化成一元二次方程解的个数问题，求解的关键是如何准确分类讨论解析 联立方程组ya1x1，y2ax.1当a0时，此方程组恰有一组解x1，y0.2当a0时，消去x，得a1a y2y10
14、.*若a1a 0，即a1时，方程*为y10，所以此时方程组恰有一组解x1，y1；若a1a 0，即a1时，令14a1a0，解 之得 a45，此时直线与曲线相切，只有一个公共点综上所述，当 a0，1，45时，直线与曲线 y2ax只有一个公共点答案 0，1，45点评 求解本题时，易在以下两处犯错：(1)审题中误认为 a0，人为增加条件而漏解；(2)未讨论二次项系数a1a，忽略a1a 0 的情形实际上消去变量后得到的一元二次方程中，“0”并非“直线与曲线只有一个公共点”的充要条件，而是充分但不必要条件【探究 4】曲边梯形由曲线 yx21，y0，x1，x2 所围成，过曲线 yx21，x1,2上一点 P
15、作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形则这一点的坐标为_解析：解法一：特殊值法 注意特殊性，可以发现围成的梯形的高为 1，上、下底边长随着动点的运动而变化，当动点为曲线 yx21，x1,2的中点时，所求普通梯形的面积最大，此时动点的坐标为 P32，134.解法二：导数法 将目标函数化归为二次区间上的问题设 P(x0，x201)，x01,2，则切线方程为 y(x201)2x0(xx0)，y2x0(xx0)x201g(x)，g(1)g(2)2(x201)2x0(1x02x0)Sg1g221x203x01x0322134.P32，134 为所求点答案：32，134点评：本题以曲边梯
16、形切出的普通梯形面积的最值为背景，考查导数的几何意义和信息反馈应用能力，背景虽有些陌生，但具体方法却是传统的最值问题的求解，关键是将目标函数化归为二次函数区间上的问题，这是求解综合问题常用的方法，对于选择题可选用特殊值法求解.高考陪练1.离 心 率 为 黄 金 比512的 椭 圆 称 为“优 美 椭圆”设x2a2y2b21(ab0)是优美椭圆，F、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF等于_解析：本题主要考查“优美椭圆”的相关知识，它必然具有椭圆的相关性质，不妨设 c 51，a2，B 为椭圆的短轴的一个上端点则 b2 52.有 F(1 5，0)，A(2,0)，B(0，
17、2 52)所以BA(2，2 52)，BF(1 5，2 52)则BA BF 0，所以夹角为 90，即ABF90.答案：90点评：给了椭圆的离心率即可直接设相应的 a 与 c，求出 b，再由椭圆的标准方程，结论自然可得实际上无论什么样的椭圆都具有椭圆的基本性质，都需要按照椭圆的有关性质去研究2(2011广东)如图所示的几何体是将高为 2，底面半径为 1 的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的，A，A，B，B分别为CD，CD，DE，DE 的中点，O1、O1、O2、O2 分别为 CD、CD、DE、DE的中点(1)证明：O1，A，O2，B 四点共面；(2)设 G 为 AA中点，
18、延长 AO1 到 H，使得O1HAO1，证明：BO2平面 HBG.解：(1)证明：再将右边半圆柱向左平移则可以还原且H在圆周上，同时取下底CD中点 H，则 BB 平移后与 HH 重合则 AAHH，则 AHHA 共面且 AAHH是矩形通过上面过程 O1AAH，又 AHBO2BO2O1A，O1，A，O2，B 四点共面(2)通过上面平移 O1HO2B在正方形 AHHA 中 G 是中点，O1是 AH中点则HAGHHO，HHO1AHG又HO1MHHM90HO1MO1HM90HMO190，HGO1H，BO2HG又四边形 HBO2O1是矩形HBBO2，HBBB，HB平面O2BBBO2BH，BO2HGBHHG
19、HBO2平面 HBG.3若 f(x)asinx4 bsinx4(ab0)是偶函数，则有序实数对(a，b)可以是_(写出你认为正确的一组数即可)解析：当 a1，b1 时，ysinx4 sinx4 22sinx 22 cosx22 sinx 22 cosx 2cosx 为偶函数故填(1，1)(答案不唯一)答案：(1，1)(答案不唯一)4直线 l 过抛物线 y2a(x1)(a0)的焦点，并且与 x轴垂直，若 l 被抛物线截得的线段长为 4，则 a_.解析：抛物线 y2a(x1)与抛物线 y2ax 具有相同的垂直于对称轴的焦点弦长，故可用标准方程 y2ax 替换一般方程 y2a(x1)求解，而 a 值
20、不变由通径长公式得 a4.答案：45如果点 P 在平面区域2xy20 xy202y10上，点 Q 在曲线 x2(y2)21 上，那么|PQ|的最小值为_解析：|PQ|是平面区域内的一个点和圆上一个点之间的距离，先把平面区域和圆都画出来，如图所示：圆和平面区域是相离的，要求圆上的点到平面区域的最短距离，只要求圆心到平面区域的最短距离，由图象，知圆心 A 到平面区域的距离为52，再减去圆的半径，则|PQ|的最小值为32.答案：326已知数列 an12an1，a11，其中 nN*，则数列an的通项 an_，解析：解法一：由 an12an1，可以考虑转化为 an1x2(anx)的形式，构造新等比数列a
21、nx令 an1x2(anx)，即 an12anx，x1.故递推式 an12an1 转化为 an112(an1)，则an11是以 a112 为首项，2 为公比的等比数列，故 an2n1.解法二：an12an1，an2an11，an12an21，a22a11.an2(2an21)122an22122(2an31)2123an322212n1a12n222212n1，故数列an的通项 an2n1.答案：2n17f(x)ax3blog2(x x21)2 在(，0)上有最小值5，a、b 为常数，则 f(x)在(0，)上的最大值为_解析：f(x)2ax3blog2(x x21)为奇函数，f(x)2f(x)
22、2，f(x)f(x)4.f(x)f(x)49.答案：98.已知某质点的运动方程为s(t)t3bt2ctd，如图所示是其运动轨迹的一部分，若 t12，4时，s(t)0；当 t(1,3)时，s(t)0，当 t1 时，s(t)取得极大值 4d.又s(4)4d，当 t12，4时，s(t)的最大值为 4d.当 t12，4时，s(t)3d2 恒成立4d43或 d43或 d19用一张半径为 R 的圆形滤纸，做一个容量最大的过滤器(圆锥形)，则将这圆形滤纸剪去一个扇形的中心角(弧度)应是_解析：如图所示，设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长 lR.h2R2r2.2rR2，r2R2.h2R212242V 锥
23、13r2h13(R2h2)h3 12R2h2R2h22h2.显然，当 R2h22h2，即 h2R23，r22R23 时，V 锥最大，此时 2 63 2，22 63.答案：22 63 10设集合 M1,2,3,4,5,6，S1，S2，Sk都是 M 的含有两个元素的子集，且满足：对任意 Siai，bi，Sjaj，bj(ij，i、j1,2,3，k)都有 minaibi，biaiminajbj，bjaj(minx，y表示两个数 x，y 中的较小者)，则 k 的最大值是_解析：集合 M1,2,3,4,5,6含有两个元素的子集为：S11,2，则 min12，2112；S21,3，则min13，3113；同理 S31,4，S41,5，S51,6，S62,3，S72,4，S82,5，S92,6，S103,4，S113,5，S123,6，S134,5，S144,6，S155,6再检查是否满足minaibi，biaiminajbj，bjaj，即任意两个集合的最小值不相等，则符合条件的集合为1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,5，3,4，3,5，4,5，5,6共 11 个，即 k 的最大值为 11.答案：11高考专题训练二十一