1、单科标准练(四)(满分：150分时间：120分钟)第卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设集合Ax|x3x，Bx|x23x20，则AB()A1B0,1C1,1D0,1，1A法一：因为集合Ax|x3x0,1，1，Bx|x23x20x|(x1)(x2)0x|1x2，所以AB1，故选A.法二：当x1时，(1)23(1)20，不满足集合B，排除选项C，D；当x0时，023020，不满足集合B，排除选项B，故选A.2已知复数z满足(12i)z(1i)(2i)，则z的虚部为()A2 B2 C1 D1C由题意得，z1i，所以z的虚部为1
2、，故选C.3已知函数f(x)xex(e为自然对数的底数)的图象的一条切线的方程为yx2a，则实数a的值为()A0 B1 C1 D2A由f(x)xex得，f(x)(x1)ex，直线yx2a为函数f(x)图象的一条切线，且f(0)1，f(0)0，2a0，a0.4随着生活水平的提高，进入健身房锻炼的人数日益增加，同时对健身房的服务要求也越来越高，某健身房为更具竞争力，对各项服务都进行了改善，投入经费由原来的200万元增加到400万元，已知改善前的资金投入比例为：健身设施健身培训安全保障其他服务10532.改善后的经费条形统计图如图所示则下列结论正确的是()A改善后的健身设施经费投入变少了B改善后健身
3、培训的经费投入是改善前的2.8倍C改善后安全保障的经费投入所占比例变大了D改善后其他服务的经费投入所占比例变小了BA项，改善前健身设施的经费投入为200100(万元)，改善后为160万元，故A项错误B项，改善前健身培训的经费投入为20050(万元)，140502.8，故B项正确C项，改善后安全保障的经费投入所占比例为15%，改善前所占比例为15%，改善前后安全保障的经费投入所占比例一样，故C项错误D项，改善后其他服务的经费投入所占比例为10%，改善前所占比例为10%，改善前后其所占比例没有变化，故D项错误故选B.5已知圆C1：x28xy270的圆心是双曲线C2：1(a0，b0)的一个焦点，且双
4、曲线C2的渐近线与圆C1相切，则双曲线C2的虚轴长为()A3 B6 C7 D2B因为圆C1：x28xy270的标准方程为(x4)2y29，所以圆C1的圆心C1(4,0)，半径为3.因为双曲线C2：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，双曲线C2的渐近线与圆C1相切，所以3，即7b29a2.又c2a2b2，c4，所以b3，所以双曲线C2的虚轴长为2b6.故选B.6甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小根据以上情况，下列判断正确的是()A甲是教师，乙是医生，丙是记者B甲是医生，乙是记者，丙是教师C甲是医生，乙是教师，丙是记
5、者D甲是记者，乙是医生，丙是教师C由甲的年龄和记者不同与记者的年龄比乙小可以推得丙是记者，再由丙的年龄比医生大，可知甲是医生，故乙是教师故选C.7设公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若a63(a3a5)，则()A. B. C. D.D法一：设数列an的公差为d，d0，由a63(a3a5)得，a15d3(a12da14d)6a118d，所以a1d，所以.故选D.法二：因为a63(a3a5)3(a1a7)，所以(易知a60)，故选D.8执行如图所示的程序框图，则输出S的值为()A126 B62 C30 D14C执行程序框图，S0，S0212，(11)2(11)216，n112，x112，y
6、112；S2226，(21)2(21)216，n213，x213，y213；S62314，(31)2(31)216，n314，x314，y314；S142430，(41)2(41)216，退出循环故输出S的值为30.故选C.9将函数f(x)sin的图象先向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数g(x)的图象，则g(x)在上的最小值为()A0 B C DD将函数f(x)sin的图象先向右平移个单位长度，得ysinsin的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得g(x)sin的图象当x时，4x，因此当4x，即x时，g(x)在上取得最小值.10已知不等式组构成
7、平面区域，若(x，y)，3xy5，则实数m的值不可能为()A. B. C3 D2A画出平面区域如图中的阴影部分所示，因为(x，y)，3xy5，所以应考虑目标函数z3xy5的最大值，即图中交点P(1，m)在直线3xy50的上方，所以3m50，解得m2.故选A.11在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2，c2，1，则C()A. B. C. D.A由1，得1，即cos Asin Bsin Acos B2sin Ccos A，即sin(AB)2sin Ccos A，又sin(AB)sin(C)sin C0，所以2cos A1，cos A，所以A.因为a2，c2，所以ac，所以AC
8、.由正弦定理得，所以sin C.又AC，所以C.12已知抛物线C：y28x，F为其焦点，其准线l与x轴的交点为H，过点H作直线m与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点E到准线l的距离为16，P为直线m上的动点，则点P到点F与点D(3,0)距离和的最小值为()A3 B. C4 D.D由题意知，H(2,0)，可设直线m的方程为yk(x2)(k0)，联立消去y得k2x2(4k28)x4k20，(4k28)216k40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，所以xE2，从而2216，解得k2，满足0.由抛物线的对称性知k的正负不影响结果，故可取k，则直线m的方程为y(x2)设点D(3,0
9、)关于直线m的对称点为D(x0，y0)，则解得则D(1,4)，连接FD，PD，则|PF|PD|PF|PD|FD|.故选D.第卷本卷包括必考题和选考题两部分第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2223题为选考题，考生根据要求作答二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在横线上)13已知向量a(1,2)，b(k，6)，若a(ba)，则k_.17由题意知，ba(k1，8)，a(ba)0，即k12(8)0，解得k17.14已知函数f(x)则使不等式f(x)f成立的x的取值范围为_f2，由f(x)f得，当0x3时，|log2x1|2，得x3；当x3时，2，此时无解综上所述，不
10、等式f(x)f的解集为.15设轴截面为正三角形的圆锥的体积为V1，它的外接球的体积为V2，则_.如图，设球O的半径为R，则由ABC是正三角形可得圆锥的底面圆半径rBO1R，高hAO1R，所以V1r2h2RR3，V2R3，所以.16数列an的前n项和为Sn，an0，anSn1an1Sn2n1an1an.设数列的前n项和为Tn，则_.2anSn1an1Sn2n1an1an，an0，2n1，则1，2，2n2(n2，nN*)以上各式相加，得122n2.1，12n11，Sn2n1an(n2，nN*)n1时上式也成立，Sn2n1an(nN*)，Sn12nan1.两式相减，得an12nan12n1an，即(
11、2n1)an12n1an，Tn12，Tn2.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos C.(1)若ABC是以角C为顶角的等腰三角形，求sin A的值；(2)若bcos Aacos B2，ab6，求ABC的面积解(1)法一：因为ABC是以角C为顶角的等腰三角形，所以AB，则cos(AB)cos 2Acos C.又cos 2A12sin2A，所以12sin2A，得sin A.法二：因为ABC是以角C为顶角的等腰三角形，所以AB.因为cos C2cos21，所以cos，易知A90，所以sin Acos .(2
12、)因为bcos Aacos B2，所以由余弦定理可得ba2，即2，整理得c2.所以c2a2b22abcos Ca2b2ab(ab)2ab4.又ab6，所以ab.因为cos C，所以sin C，所以ABC的面积Sabsin C.18(本小题满分12分)某市爱心人士举办宠物领养活动，为流浪猫、狗寻找归宿，共有560人参加了此次活动，该市宠物收留中心统计了其中70名参加活动的市民的领养意愿，得到如下的统计表领养意愿暂时无领养意愿的人数仅愿意领养流浪狗的人数仅愿意领养流浪猫的人数两种流浪宠物都愿意领养的人数人数10n120n2其中n1n213.(1)求出n1，n2的值，并以此样本的频率估计总体的概率，
13、试估计此次参加活动的人中两种流浪宠物都愿意领养的人数；(2)在此次参加活动并有领养意愿的市民中，按分层抽样的方法选取6名市民，在这6名市民中随机抽取2名当场讲解宠物饲养经验，求抽取的2人恰为仅愿意领养一种流浪宠物的市民的概率解(1)由题意可得，n1n240，结合已知条件n1n213，可得n110，n230.用样本的频率估计总体的概率，可知两种流浪宠物都愿意领养的人数为560240.(2)由(1)可知，n120n2123，由分层抽样的方法可得，6名市民中仅愿意领养流浪狗的市民有61(名)，仅愿意领养流浪猫的市民有62(名)，两种流浪宠物都愿意领养的市民有63(名)这6名市民中，仅愿意领养流浪狗的
14、1名市民记为A，仅愿意领养流浪猫的2名市民分别记为B，C，两种流浪宠物都愿意领养的3名市民分别记为D，E，F.从这6名市民中随机抽取2名的结果有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种，其中恰为仅愿意领养一种流浪宠物的情况有AB，AC，BC，共3种，故所求的概率为.19(本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD是梯形，ADBC，ADAB，ABBC2AD4，PAB是等边三角形，且平面PAB平面ABCD，E是PB的中点，点M在棱PC上(1)求证：AEBM；(2)若三棱锥C MDB的体积为，且PMPC，求实数的值解(1)
15、因为四边形ABCD是梯形，ADBC且ADAB，所以BCAB.又平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，所以BC平面PAB，又AE平面PAB，所以BCAE.因为PAB是等边三角形，E是PB的中点，所以AEPB.又AEBC，BCPBB，所以AE平面PBC，又BM平面PBC，所以AEBM.(2)过点P作PFAB于点F，连接CF(图略)，易知PF平面ABCD，则PFCF.因为PAB是等边三角形，AB4，所以PF2.过点M作MNCF于点N(图略)，易知MNPF，.因为V三棱锥PBCD442，V三棱锥C MDBV三棱锥MBCD，所以.又，所以，所以.20(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab
16、0)过点E(，1)，其左、右顶点分别为A，B，且离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)设M(x0，y0)为椭圆C上异于A，B两点的任意一点，MNAB于点N，直线l：x0x2y0y40.证明：直线l与椭圆C有且只有一个公共点；设过点A且与x轴垂直的直线与直线l交于点P，证明：直线BP经过线段MN的中点解(1)由题意，得得故椭圆C的方程为1.(2)由题意知y00，由得(x2y)x28x0x168y0.因为点M(x0，y0)在椭圆上，所以x2y4，则x22x0xx0，即(xx0)20，得xx0，yy0.所以直线l与椭圆C有且只有一个公共点，即点M.由(1)知，A(2,0)，B(2,0)，过点A且与x
17、轴垂直的直线的方程为x2，结合方程x0x2y0y40，得点P.直线PB的斜率k，则直线PB的方程为y(x2)因为MNAB于点N，所以N(x0,0)，线段MN的中点坐标为.令xx0，得y(x02).因为x2y4，所以y，所以直线PB经过线段MN的中点.21(本小题满分12分)已知函数f(x)aln x1.(1)当a1时，求证：f(x)x；(2)若不等式f(x)0在1，e上恒成立，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(x)ln x1，函数f(x)的定义域为(0，)设g(x)f(x)ln x1ln xx，则g(x).所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以g(x)g(1)0，
18、所以f(x)x.(2)因为f(x)aln x1，所以f(x).当a0时，因为x1，e，所以f(x)0，所以f(x)在1，e上单调递减，所以f(x)f(1)0，所以a0满足题意当a0时，令f(x)0，得x4a2，所以当x(0,4a2)时，f(x)0，当x(4a2，)时，f(x)0，所以f(x)在(0,4a2)上单调递增，在(4a2，)上单调递减当4a2e，即a时，f(x)在1，e上单调递增，所以f(x)f(e)a10，所以a1，此时无解当14a2e，即a时，f(x)在(1,4a2)上单调递增，在(4a2，e)上单调递减，所以f(x)f(4a2)aln 4a22a12aln 2a2a10.设h(x
19、)2xln 2x2x1，则h(x)2ln 2x.当x时，h(x)0，所以h(x)在上单调递增，则当x时，h(x)h0，不满足题意当04a21，即0a时，f(x)在1，e上单调递减，所以f(x)f(1)0，所以0a满足题意综上所述，实数a的取值范围为.请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2.(1)设点M，N分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|MN|的最大值；(2)设直线l：(
20、t为参数)与曲线C1交于P，Q两点，且|PQ|1，求直线l的普通方程解(1)曲线C1的普通方程为(x3)2y24，圆心C1(3,0)，半径r12.曲线C2的直角坐标方程为x2y24，圆心C2(0,0)，半径r22，|MN|max|C1C2|r1r23227.(2)将直线l的参数方程代入(x3)2y24中，得(tcos 4)2(tsin )24，整理得t28tcos 120，0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，t1t28cos ，t1t212，又|PQ|1，|t1t2|1，解得cos ，满足0，直线l的斜率为tan ，直线l的普通方程为y(x1)23(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已
21、知函数f(x)|2x5|x1|.(1)解不等式：f(x)3x；(2)当x1,2时，f(x)ax2x3恒成立，求实数a的取值范围解(1)法一：原不等式等价于或或解得x，故原不等式的解集为.法二：如图，作出函数f(x)的图象，利用f(x)的图象解不等式，由43x3x，解得x，由图象可得原不等式的解集为.(2)法一：当x1,2时，f(x)43x，则不等式f(x)ax2x3可化为ax22x10，令g(x)ax22x1，易知函数g(x)ax22x1的图象恒过点(0，1)，由函数g(x)ax22x1的图象可知，要使x1,2时，f(x)ax2x3恒成立，需a0或或解得a，故实数a的取值范围是.法二：当x1,2时，f(x)43x，则不等式f(x)ax2x3可化为a，因为x1,2，所以21，所以a，故实数a的取值范围是.