1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.不等式-x2-5x+60的解集为()A.x|-6x1B.x|2x3C.x|x3,或x2D.x|x1,或x-6解析:不等式-x2-5x+60可化为x2+5x-60,即(x+6)(x-1)0,解得-6x1,故不等式的解集为x|-6x1.答案:A2.已知A=x|x2-2x0,B=xx-3x-10,则AB=()A.x|1x2B.x|2x3C.x|x1D.x|x0,或1x2,或x0,B=x|1x3,AB=x|x1.答案:C3.李辉准备用自己节省的零花钱买
2、一台学习机,他现在已存有60元.计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元.设x个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要的月数x的不等式是()A.30x-60400B.30x+60400C.30x-60400D.30x+40400解析:设x月后所存的钱数为y,则y=30x+60,由于存的钱数不少于400元,故不等式为30x+60400.答案:B4.若a11bB.ba1C.a2b2D.aba+b解析:对于A,若a=-2,b=2,则不成立,对于B,若a=-2,b=2,则不成立,对于C,若a=-2,b=2,则不成立,对于D,a1b,a-10,(a-1)(b-1)0,即ab-a-b+1
3、0,ab+1a+b,aba+b,故D成立.答案:D5.设函数y=4x+1x-1(x0),则y()A.有最大值3B.有最小值3C.有最小值-5D.有最大值-5解析:x0.y=4x+1x-1=-(-4x)+1-x-1-4-1=-5,当且仅当x=-12时,等号成立.y有最大值-5.答案:D6.如果aR,且a2+aa-aB.-aa2aC.-aaa2D.a2-aa解析:因为a2+a0,即a(a+1)0,所以-1aa20,有-aa2a.故选B.答案:B7.已知a0,b0,且2a+b=2,则ab的最大值为()A.12B.22C.1D.2解析:a0,b0,且2a+b=2,ab=12(2ab)122a+b22=
4、12,当且仅当2a=b,且2a+b=2,即a=12,b=1时,取得最大值12.故选A.答案:A8.某人从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(ab),其全程的平均速度为v,则()A.v=a+b2B.v=abC.avabD.abva+b2解析:设甲、乙两地的距离为S,往返的速度分别为a=St1,b=St2(ab),则其全程的平均速度为v=2St1+t2=2SSa+Sb=21a+1ba,故av0,1a+1b=130(4a+b)1a+1b=1305+ba+4ab130(5+24)=310,当且仅当ba=4ab,4a+b=30时,取“=”.这时a=5,b=10.答案:A10.已知不等式ax2+5x+b0的
5、解集是x|2x0的解集是()A.x-12x13B.xx12C.x|x-2D.x|-3x0的解集是x|2x3,所以a0为-6x2-x+10,即6x2+x-10,解得-12x0的解集是x-12x13.答案:A11.已知函数y=x2-3x+2(x-2),则函数y()A.有最小值-2B.有最小值2C.有最大值-2D.有最大值-6解析:x-2,x+20,令x+2=t,则t0.y=x2-3x+2,y=(t-2)2-3t=t2-4t+1t=t+1t-4=-(-t)+-1t-4-2-4=-6,当且仅当t=1t,且t0,b0,则下列不等式中不一定成立的是()A.a+b+1ab22B.2aba+babC.a2+b
6、2aba+bD.(a+b)1a+1b4解析:a0,b0,a+b+1ab2ab+1ab22,当且仅当a=b,且2ab=1ab,即a=b=22时,取等号,故A成立;a+b2ab0,2aba+b2ab2ab=ab,当且仅当a=b时,取等号,2aba+bab不一定成立,故B不成立;2aba+b2ab2ab=ab,当且仅当a=b时,取等号,a2+b2a+b=(a+b)2-2aba+b=a+b-2aba+b2ab-ab,当且仅当a=b时,取等号,a2+b2a+bab,a2+b2aba+b,故C一定成立;(a+b)1a+1b=2+ba+ab4,当且仅当a=b时,取等号,故D一定成立.故选B.答案:B二、填空
7、题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)13.设M=5a2-a+1,N=4a2+a-1,则M,N的大小关系为.解析:M-N=5a2-a+1-(4a2+a-1)=a2-2a+2=(a-1)2+110,MN.答案:MN14.已知关于x的不等式x2-x+a-10在R上恒成立,则实数a的取值范围是.解析:因为关于x的不等式x2-x+a-10在R上恒成立,所以其对应二次函数的图象与x轴最多有一个交点,所以判别式=(-1)2-4(a-1)0,解得a54.答案:a5415.已知方程ax2+bx+1=0的两个根为-14,3,则不等式ax2+bx+10的解集为.解析:根据题意,方程ax
8、2+bx+1=0的两个根为-14,3,则有-143=1a,解得a=-430-14x3,即不等式的解集为x-14x3.答案:x-14x316.下列命题:设a,b是非零实数,若aa2b;若ab1b;函数y=x2+3x2+2的最小值是2;若x,y是正数,且1x+4y=1,则xy的最小值是16.其中正确的是.(填序号)解析:中ab2-a2b=ab(b-a).由于a,b符号不定,故上式符号无法确定,故不对.中在a1b,故对.中y=x2+3x2+2=x2+2+1x2+22,但由x2+2=1x2+2,得x2+2=1无解,故不对.中,1x+4y=124xy,xy16,即对.答案:三、解答题(本大题共6小题,共
9、70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知a0,b0,且ab,比较a2b+b2a与a+b的大小.解:a2b+b2a-(a+b)=a2b-b+b2a-a=a2-b2b+b2-a2a=(a2-b2)1b-1a=(a2-b2)a-bab=(a-b)2(a+b)ab,又a0,b0,ab,(a-b)20,a+b0,ab0,a2b+b2a-(a+b)0,a2b+b2aa+b.18.(本小题满分12分)解关于x的不等式56x2+ax-a20.解:原不等式可化为(7x+a)(8x-a)0,即x+a7x-a80.当-a70时,-a7xa8,即a0时,a8x0时,原不等式的解集
10、为x-a7xa8;当a=0时,原不等式的解集为;当a0时,原不等式的解集为xa8x0,解得-1x3,故使式子有意义的x的取值集合是x|-1x3.(2)yx的解集为R,当xR时,x2-(4a+1)x+a20恒成立.=(4a+1)2-4a20,即12a2+8a+10,即(2a+1)(6a+1)0,-12a-16,a的取值范围为a-12a-16.20.(本小题满分12分)已知关于x的不等式ax-5x2-a0的解集为M.(1)若3M,且5M,求实数a的取值范围.(2)当a=4时,求集合M.解:(1)由3M,知3a-59-a0,解得a9;若5M,则5a-525-a0,解得a25.则由5M,知1a25,因
11、此所求a的取值范围是1a53或9a25.(2)当a=4时,4x-5x2-40.4x-5x2-40,x2-40或4x-50x54,-2x2或x54,x254x2或x-2.故M=xx-2,或54x2.21.(本小题满分12分)证明不等式:a,b,cR,a4+b4+c4abc(a+b+c).证明:a4+b42a2b2,b4+c42b2c2,c4+a42c2a2,2(a4+b4+c4)2(a2b2+b2c2+c2a2),即a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2.又a2b2+b2c22ab2c,b2c2+c2a22abc2,c2a2+a2b22a2bc,2(a2b2+b2c2+c2a2)2(ab2
12、c+abc2+a2bc),即a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).a4+b4+c4abc(a+b+c).22.(本小题满分12分)某商店预备在一个月内分批购买每张价值为20元的书桌共36张,每批都购入x张(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4张,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用y;(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.解:(1)设题中比例系数为k,若每批购入x张,则共需分36x批,每批价值20x.由题意,y=36x4+k20x,由x=4时,y=52,得k=1680=15.故y=144x+4x(0x36,xN*).(2)可以使资金够用.理由如下:由(1)知y=144x+4x(0x36,xN*),则y2144x4x=48(元).当且仅当144x=4x,即x=6时,上式等号成立.故只需每批购入6张书桌,可以使资金够用.