1、20222023学年度第一学期期中考试高二数学试题第卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设直线的斜率为，在轴上的截距为，则（ ）A，B，C，D，2中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的，它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为（ ）ABCD43如果圆的圆心位于第三象限，那么直线不经过（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4已知从点发出
2、的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ）ABCD5设，为实数，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（ ）A在圆上B在圆外C在圆内D不能确定6某学习小组研究一种卫星接收天线（如图所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图所示）已知接收天线的口径（直径）为3.6m，深度为0.6m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）A1.35mB2.05mC2.7mD5.4m7已知、是椭圆的左、右焦点，是椭圆的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）ABCD8如
3、图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线右支上的一点，直线与轴交于点，的内切圆半径为1，则双曲线的离心率是（ ）ABCD2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分9已知圆，直线，圆上恰有3个点到直线的距离为3，则的可能取值为（ ）ABC12D1710将一个椭圆绕其对称中心旋转90，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程是（ ）ABCD11如图为陕西博物馆收藏的国宝唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代
4、金银细作的典范该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线与坐标轴交于，则（ ）A双曲线的方程为B双曲线与双曲线共渐近线C存在一点，使过该点的任意直线与双曲线有两个交点D存在无数个点，使它与，两点的连线的斜率之积为312已知抛物线的焦点为，、是抛物线上两动点，是平面内一定点，下列说法正确的有（ ）A抛物线的准线方程为B若，则线段中点到轴的距离为3C的周长的最小值为D以线段为直径的圆与抛物线的准线相切第卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的
5、切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆若椭圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为_14若三点，共线，则_15已知为圆的直径，点为椭圆上一动点，则的最小值为_16已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，为上两点，点为弦的中点，且，记双曲线的离心率为，则_四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）已知双曲线的焦点坐标为，实轴长为4，（1）求双曲线的标准方程；（2）若双曲线上存在一点使得，求的面积18（本小题满分12分）已知直线恒过定点（1）若直线经过点且与直线垂直，求直线的方程；（
6、2）若直线经过点且坐标原点到直线的距离等于3，求直线的方程19（本小题满分12分）已知圆经过点，从下列3个条件选取一个_过点；圆恒被直线平分；与轴相切（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆相交于、两点，求中点的轨迹方程20（本小题满分12分）已知椭圆经过点和（1）求椭圆的标准方程；（2）经过点的直线与相交于，两点（不经过点），设直线，的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由21（本小题满分12分）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长为10米，在边上距离点4米的处放置一只电子狗，在距离点2米的
7、处放置一个机器人，机器人行走速度为，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人同时出发，在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么电子狗将被机器人捕获，点叫成功点（1）求在这个矩形场地内为成功点的轨迹方程；（2）为矩形场地边上的一动点，若存在两个成功点到直线的距离为，且直线与点的轨迹没有公共点，求点横坐标的取值范围22（本小题满分12分）如图，已知点为抛物线的焦点过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧记，的面积分别为，（1）求的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时点的坐标2022-2023学年度第一学期期中考试高二数学参考答案一、单项选择题：本大
8、题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求题号12345678答案BCDABADD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分题号9101112答案BCACABDBC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分1314315216四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解：（1）由条件，所以，所以双曲线方程为，（2）由双曲线定义，因为，所以，所以，所以的面积为综上的面积为118解：直线可化为，由可解得，所以点的坐
9、标为（1）设直线的方程为，将点代入上面方程可得，所以直线的方程为（2）当直线斜率不存在时，因为直线过点，所以直线方程为，符合原点到直线的距离等于3，此时直线的方程为当直线斜率存在时，设直线方程为，即，因为原点到直线的距离为3，所以，解得，所以直线的方程为，综上，直线的方程为或19解：（1）若选设圆的方程为，由题意可得，解得，则圆的方程为即；若选圆恒被直线平分，因为直线方程恒过定点，所以圆心坐标为，则半径为1，所以圆方程为；若选圆与轴相切，设圆方程为，将，代入圆方程得，解得，所以圆方程为（2）因为为中点，为圆心，根据垂径定理，得，所以点落在以为直径的圆上，又因为点，故其方程为即点的轨迹为以为直径
10、的圆落在圆内的一段弧，由，解得，所以的轨迹方程为：20解：（1）由题意，且，得所以椭圆的方程为；（2）因为点在椭圆外部，且经过点的直线与相交于，两点，故直线的斜率存在并设为，则直线方程为联立，得，设，则，则所以是定值21解：（1）设，由题意可得，且，据此可得，两边平方整理可得，故点的轨迹方程为（2）点的轨迹方程即，它表示以点为圆心，以为半径的右侧半圆，考查满足题意的临界情况：临界情况1：圆心到直线的距离为，设，则的方程为，即，据此可得，解得（舍去）临界情况2：圆上的点到直线的距离为，设，则的方程为，即，据此可得，解得（舍去），综上，可得点横坐标的取值范围是22解：（1）由抛物线的性质可得，所以，所以抛物线的准线方程为（2）设，重心，令，则，由于直线过，故直线的方程为，代入，得：，所以，即，所以，又，重心在轴上，所以，所以，所以直线的方程为，得，所以在焦点的右侧，所以，所以，令，则，所以当时，取得最小值为，此时